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PRIMERA PARTE
Números y Operaciones
Veremos:
1 Conjuntos Numéricos.
2 La Operación Suma.
3 La Operación Producto.
4 La Propiedad Distributiva.
5 Suma, resta multiplicación y división de fracciones.
6 Potencias naturales de números reales.
7 Propiedades de la Potenciación.
8 Potencias de un inverso. Potencias negativas.
9 Cuadrado de un Binomio.
10 Ejercicios Propuestos.
11 Soluciones y pistas.
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1-Conjuntos Numéricos
Naturales: N = {0, 1, 2, 3, . . . } sin fin
Enteros: Z = {0,±1,±2,±3, . . . } sin fin
Racionales Q = { pq , q 6= 0 con p, q ∈ Z} = {0,±
1
1 ,±
2
1 ,±
2
2 ,±
1
2 ,±
1
3 ,±
2
3 , · · · } todas las fracciones
posibles.
Irracionales: I = {
√
2,
√
2 + 1,
√
3, π, e, · · · } todos los que no tienen representación como fracciones de enteros.
Claramente tenemos que
N ⊂ Z ⊂ Q.
Entonces, los números reales serán definidos como la unión de los racionales con los irracionales.
R = Q ∪ I.
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2-La Operación Suma
I. Ley de Cierre. Esta ley indica que sumar dos elementos de un determinado conjunto da como resultado un elemento del
mismo conjunto.
II. Asociatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
(a + b) + c = a + (b + c)
donde a, b y c son elementos de cualquier conjunto numérico definido.
III. Conmutatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
a + b = b + a
IV. Elemento neutro. En la suma tenemos el número cero que es el neutro, ya que sumarle cero a cualquier número no
altera al número en cuestión.
a + 0 = a
V. Elemento opuesto. Para cada elemento de un conjunto (excepto el de los naturales) existe un número denominado
opuesto tal que al sumarselo resulta el neutro,
a + (−a) = 0
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3-La Operación Producto
I. Ley de Cierre. Esta ley indica que sumar dos elementos de un determinado conjunto da como resultado un elemento del
mismo conjunto.
II. Asociatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
(a · b) · c = a · (b · c)
donde a, b y c son elementos de cualquier conjunto numérico definido.
III. Conmutatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
a · b = b · a
IV. Elemento neutro. En la suma tenemos el número uno que es el neutro, ya que multiplicar por uno a cualquier número no
altera al número en cuestión.
a · 1 = a
V. Elemento inverso. Para cada elemento no nulo de un conjunto existe un número denominado inverso tal que al
multiplicárselo resulta el neutro,
a · a−1 = 1
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4-La Propiedad Distributiva
Esta propiedad es la que combina las operaciones suma y producto y se puede resumir
como
a · (b + c) = a · b + a · c
Notemos que por cómo leamos esta propiedad tenemos dos aspectos importantes:
a · (b + c) = a · b + a · c distributiva
a · b + a · c = a · (b + c) factor común
video - Operaciones
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https://drive.google.com/file/d/1gUa604dDP_odgUXFUXV_AQhJb_7-oLtj/view?usp=sharing
5-Repaso: Operaciones con Fracciones. Suma y
Resta
Consideremos dos fracciones
p1
q1
y
p2
q2
.
La suma (o resta) de fracciones se efectúa
p1
q1
±
p2
q2
=
p1 · q2 ± p2 · q1
q1 · q2
Ejemplo
2
5
+
3
7
=
2 · 7 + 3 · 5
5 · 7
=
29
35
Ejemplo
2
5
−
3
2
=
2 · 2− 3 · 5
5 · 2
=
−11
10
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5-Repaso: Operaciones con Fracciones. Producto
p1
q1
·
p2
q2
=
p1 · p2
q1 · q2
Ejemplo:
2
5
·
3
2
=
2 · 3
5 · 2
=
6
10
El inverso de una fracción
Recordemos que dado un número a, el inverso multiplicativo es un número que al multiplicarlo por a resulta el número 1.
Entonces, si tenemos una fracción pq el inverso multiplicativo deberá ser
q
p así tenemos
p
q
·
q
p
=
p · q
q · p
= 1
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5-Repaso: Operaciones con Fracciones. División
Una vez definido el inverso de un número racional, podemos considerar la operación división: Una división será una
multiplicación por el inverso multiplicativo, entonces
p1
q1
÷
p2
q2
=
p1
q1
·
(
p2
q2
)−1
=
p1
q1
·
q2
p2
=
p1 · q2
q1 · p2
Ejemplo.
2
3
÷
5
2
=
2
3
·
2
5
=
2 · 2
3 · 5
=
4
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6-Potencias naturales de números reales
Definimos la potencia n-ésima (n ∈ N) de a
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
Por ejemplo, 32 = 3 · 3 = 9, 23 = 2 · 2 · 2 = 8, etc.
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7-Propiedades de la Potenciación
a) Definición.
an = a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
b) Producto de potencias de igual base. (Se suman los exponentes!)
an · am = (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
m veces a
) = a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
(n+m) veces a
= an+m
c) Potencia de potencia. (Se multiplican los exponentes!)
(
an
)m
= an · an · · · · an︸ ︷︷ ︸
m veces an
= (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · · · · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
)
︸ ︷︷ ︸
m veces an
= a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
(n·m) veces a
= an·m
d) Potencia de un producto. Distributividad de la potencia en el producto.
(a · b)n = ab · ab · · · · ab︸ ︷︷ ︸
n veces a·b
= a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
· b · b · · · · b︸ ︷︷ ︸
n veces b
= an · bn
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7-CUIDADO!!!
La potencia NO ES DISTRIBUTIVA CON LA SUMA. Ni con la resta.
(a + b)n 6= an + bn
Con un contraejemplo ponemos en evidencia la falsedad:
(2 + 1)2 = 32 = 9
por otro lado,
22 + 12 = 4 + 1 = 5
entonces,
(2 + 1)2 6= 22 + 12
Vamos a definir la potencia de manera axiomática, es decir, a partir de propiedades. Esta
manera, permite superar el límite de la potencia natural, para poder definir cualquier tipo
de exponente.
video - Operaciones
combinadas con enteros
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https://drive.google.com/file/d/15SQzUt3xvYLa1xPvq-q4JkuPtHD_sgwI/view?usp=sharing
8-Potencias de un inverso. Potencias negativas
El inverso multiplicativo de a es un número tal que
a · b = 1
Si suponemos que el inverso es una potencia, por ejemplo, ap tendremos a partir de la definición,
a · ap = a1 · ap = a1+p = 1
Pero por los axiomas de potencias, teníamos que
a0 = 1
entonces tendremos que
a1+p = a0, → 1 + p = 0
Entonces, el inverso de un número es
a−1 =
1
a
ahora sí, como potencia.
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9-Cuadrado de un Binomio
Elevar al cuadrado determinada cantidad es multiplicar esa cantidad por sí misma. Entonces consideremos un binomio, por
ejemplo, el a + b. El cuadrado lo calcularemos como
(a + b)2 = (a + b) · (a + b)
Aplicando la propiedad distributiva, tenemos
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b
Los dos términos del centro son iguales en virtud de la propiedad conmutativa, por lo que
(a+ b)2 = a2 + 2 a b + b2
Esta es la expresión que se conoce como cuadrado de un binomio.
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10-Ejercicios Propuestos
1. Resuelve las operaciones combinadas separando previamente en terminos.
a) 5 · (−7 + 3)− 12 : (−4) + 20 : (1− 6) =
b) 3− (4 · 2− 5 · 3) + (−6 + 3) · 8 =
c) −21 : (−2− 5) + (−14) + 6 · (8− 4 · 3) =
d) (−8) · 3 : (−6)− 15 : (−3) · (−2) + 18 : (−1− 2) =
e) (9− 13) · (−5 + 10)− [12 : (−3) + (−11)] =
f) (1− 7) : 3 · 4− 16 · (−1 + 3) : 8 + (−5− 10) =
2. Resuelve y simplifica.
a)
7
16
·
21
12
=
b)
140
18
·
52
210
·
55
104
=
c) −
26
7
·
21
5
·
(
−
9
39
)
=
d)
144
35
·
(
−
63
72
)
=
e) −
15
8
·
5
32
=
f) −
40
54
:
(
−
120
21
)
=
g)
135
4
:
25
5
·
(
−
16
9
)
=
h)
3
70
:
5
32
=
i)
4
3
:
8
9
=
j)
33
16
·
40
6
:
65
4
=
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10-Ejercicios Propuestos
3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a)
5
8
·
( 1
4
)−1
+
9
5
·
√
81
9
−
7
10
=
b)
√
64
25
−
( 3
4
−
7
12
· 2
)−1
+
( 1
2
)2
=
c) 3
√
2
5
+
14
125
+
( 5
8
)−2
−
( 8
3
+ 2
)
:
7
5
=
d)
√
49
36
+
3
10
·
3
2
− 4
√
16
256
=
e) 4−2 +
( 4
9
)−1
−
( 13
9
+
1
18
)
·
√
37
144
+
1
12
=
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10-Ejercicios Propuestos
4. Efectuar las siguientes operaciones en R
a)
[
3
5 +
1
2
]
÷ 1√
2
b) 12 + 1, 3̂ c) 12÷ (−1 + 3,12 + 0, 1̂)
5. Simplificar 12 (12
4−16)
400
6. Simplificar
(
3 · 2n + 4 · 2n−2
)2
· 3
22n+4
7. En cuánto se modifica el perímetro de un cuadrado si el lado se triplica. Considera que el lado mide ` y su perímetro original
vale P. Haz el mismo análisis para el área.
8. Es cierto que la suma de los múltiplos de 10 con los múltiplos de 25 son números que terminan en cero o en cinco.
9. Una piscina se llena con una canilla en 5 horas. Si está llena, esta se vacía por una rejilla también en 5 horas. Suponga que
estando por la mitad, se abre la canilla y se destapa la rejilla. ¿Qué ocurre? Se llena? Se vacía?.
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10-Ejercicios. Continuación
10. Considera la misma piscina, que tarda 6 horas en llenarse con una canilla. Pero que, estando llena tarda 4 horas en vaciarse
destapando la rejilla. Suponga que estando por la mitad, se abre la canilla y se destapa la rejilla. Qué ocurre? Se llena o vacía? y
cuánto tiempo pasará para que ocurra lo que tenga que ocurrir?
11. Supongamos que a una circunferencia cuya longitud (perímetro) mide ` le adicionamos un metro en su perímetro. Cuánto
valdrá el nuevo radio? Y cuánto valdrá la resta del radio nuevo menos el radio viejo.
12. Calcula.
a) el 20 % de 100. Qué cuenta hiciste? b) El 35 % de 1000350
c) El 15 % de una cierta cantidad A
13. Si una cantidad A aumenta en un cierto porcentaje, digamos c %. ¿Cuál será el nuevo valor?
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11-Soluciones y pistas.
4. En estos ejercicios, pasa los números decimales a fracciones.
a) 11
√
2
10 b)
11
6 , c)
1350
251
5. 12 (12
4−16)
25 .
Pistas: Notemos que 16 = 24 Además, tenemos que 124 = (6 · 2)4 = 64 24 Entonces,
4 · 3 · (64 · 24 − 24)
4 · 100
=
3 · 24(64 − 1)
100
=
3 · 4(64 − 1)
25
=
12(64 − 1)
25
6. Pista: Notemos que 4 = 22 Entonces, 4 · 2n−2 = 22 · 2n−2 = 2n Entonces,
3 · 2n + 4 · 2n−2 = 3 · 2n + 2n = 4 · 2n = 22 · 2n = 2n+2
Entonces, (
3 · 2n + 4 · 2n−2
)2
·
3
22n+4
=
[
2n+2
]2
·
3
22(n+2)
= 22(n+2) ·
3
22(n+2)
= 3
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11-Soluciones y pistas. Continuación
7. Si llamamos p al perímetro original. Entonces, p = 4 `. Entonces, si el nuevo lado es `′ = 3 ` entonces, el nuevo perímetro
se calcula p′ = 4 `′. Ahora, sustituyendo el valor de `′ tendremos
p′ = 4`′ = 4 · 3 ` = 3 · 4 `︸︷︷︸
p
= 3p
Es decir, si el lado se triplica, el perímetro también.
El área nueva vale A′ = `2
A′ = `′2 = (3`)2 = 32 `2︸︷︷︸
A
= 9 A
Entonces, si el lado se triplica, el área pasa a ser 9 veces lo que era originalmente.
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11-Soluciones y pistas. Continuación
8. Lo múltiplos de 10, son aquellos que se pueden escribir como m = 10 k donde k es un entero cualquiera. Los múltiplos de 25,
se pueden escribir como n = 25 `. con ` también entero. Entonces la suma de los múltiplos de 10 con los de 5 serán
10 k + 25 ` = 2 · 5 k + 5 · 5` = 5 · (2k + 5`)︸ ︷︷ ︸
también entero!
= 5 j (j ∈ Z)
Entonces, la suma será múltiplo de 5. Entonces, o terminará en 0 o en 5.
9. Si se llena a la misma tasa (tasa: velocidad, cuantificación del cambio) entonces quedará a la mitad siempre.
Este ejercicio sale apenas con el sentido común, pero será necesario plantear situaciones más generales para poder abordar
problemas de estas características de manera más completa. El siguiente ejercicio plantea una situación más general.
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11-Soluciones y pistas. Continuación
10. Este ejercicio tiene un poco más de dificultad, pero servirá para analizar casos con más canillas y problemas semejantes.
Para analizar este tipo de situaciones, es necesario considerar bien precisamente los datos:
i) La canilla tarda 6 horas en llenar la piscina. Bueno, pensemos que si la piscina tiene C cantidad de litros, y llamamos vllenado a
la velocidad de llenado, tendremos
vllenado =
C
6
ii) La velocidad de vaciado (usando negativo para vaciar y positivo para llenar)
vvaciado = −
C
4
Ahora, la velocidad conjunta será
vllenado + vvaciado =
C
6
−
C
4
= C
[ 1
6
−
1
4
]
= C
[
−
1
12
]
= −
C
12
Entonces: 1) Se vacía! (porque nos quedó la velocidad negativa. 2) Tardará 12 horas la pileta llena. Entonces, será 6 horas en
vaciarse la mitad.
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11-Soluciones y pistas. Continuación
11. Notemos que para un radio r , la longitud de la circunferencia será P = 2π r Supongamos que adicionamos 1 metro a la
langitud. Tendremos P′ = P + 1 Pero, una longitud nueva se corresponderá a un radio nuevo, por lo que podemos plantear:
P = 2π r
P + 1 = 2πr ′
Entonces, despejando, tendremos
(r ′ − r) =
1
2π
en metros
Esta será la diferencia de radios. Notemos que esta cuenta no depende de cuán grande o pequeña sea la circunferencia original.
Sirve para una circunferencia de radio 3 metros o para una circunferencia del radio de la tierra! (≈ 6371000 metros)
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11-Soluciones y pistas. Continuación
12. Calcular un porcentaje parece más difícil de lo que en realidad es. Simplemente es multiplicar por una fracción! (con
denominador 100). Veamos.
a) Para calcular el 20 % de 100 (que da justito, sin necesidad de hacer ninguna cuenta). Debemos multiplicar la fracción (20 %)
por la cantidad en análisis. Esto es, el 20 % de 100 será:
20
100︸︷︷︸
porcentaje
· 100︸︷︷︸
cantidad
= 20
b) 35 % es la fracción 35/100 que se le debe multiplicar a la cantidad (en este caso 1000/350). Entonces
35
100︸︷︷︸
porcentaje
·
1000
350︸︷︷ ︸
cantidad
= 1
c) 15100 · A
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11-Soluciones y pistas. Continuación
13. Ahora el problema a analizar es los aumentos y descuentos. Veamos, si una cantidad aumenta un cierto porcentaje, lo
primero que tenemos que hacer es calcular ese porcentaje (como en el ejercicio anterior). Entonces, para la cantidad A
calculamos el porcentaje, en este caso c %. Entonces
c
100
· A
Ahora este porcentaje hay que adicionarlo (para aumento) o restarlo (para descuento) a la propia cantidad A. Entonces, si A
sufre un aumento del c % tendremos que el nuevo valor de A será
A +
c
100
· A = A
[
1 +
c
100
]
(sacamos factor común A)
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SEGUNDA PARTE
Números y Representación en la recta
Veremos:
1 Conjuntos Numéricos en la recta Real
2 Notación de Intervalos
3 Unión e Intersección de conjuntos numéricos
4 Notación de intervalos y desigualdades.
5 Unión de Conjuntos. Unión de Intervalos
6 Intersección de Conjuntos. Intersección de Intervalos.
7 Ecuaciones.
8 Desigualdades.
9 Módulo.
10 Desigualdad con módulo.
11 propiedades
12 Ejercicios.
13 Algunas Pistas.
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1-Conjuntos Numéricos. Representación
Para empezar, representemos en la recta real los siguientes números reales:
a)− 35 b)
1√
2
c) 12÷ (−1 + 3,12)
c)
[
1 + 75
]
÷ 2 (el promedio) d)
√
2 f) π − 1
Para ello, construye una recta (ubica el 0, los negativos hacia la izquierda y los positivos para la derecha). Es importante definir
una escala, para que podamos ver bien los gráficos!
x0 1−1
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1-Conjuntos en la recta numérica
Habiendo representado números en la recta, empecemos a representar conjuntos de puntos, representemos en la recta
numérica conjuntos de números determinados a partir de ciertas condiciones.
Veamos, Consideremos el conjunto de números reales, los cuales están comprendidos entre -1 y 1, inclusive. Para ello,
debemos tener en cuenta que este conjunto es infinito. Por lo tanto, será conveniente ”pintar” el segmento de la recta que
contenga los números del conjunto.
x0 1−1
Notemos que pintado de verde están todos (los infinitos) números reales que están comprendidos entre -1 y 1.
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1-Representación de Conjuntos
Consideremos ahora conjuntos definidos por ”comprensión”.
A = {x /x ∈ R x ≤ 1}
Esto se lee
El conjunto A es aquel que contiene a los números x, tales que x son números reales menores o iguales que 1”
Entonces, para pintarlos deberíamos tener en cuenta que el número 1 pertenece al conjunto y luego, todos los que están a su
izquierda
x0 1−1
y sigue hacia la izquierda... hasta el−∞
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2-Si ponemos más condiciones...
Consideremos ahora el conjunto
A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1}
En este caso hay que tener en cuenta que serán los comprendidos entre -2 y 1. Pero CUIDADO! -2 no pertenece al conjunto. Por
lo tanto será necesario indicarlo de alguna manera.
x0
1−2
](
Denotemos con paréntesis al borde que no pertenezca y con corchete al borde que forma parte del conjunto.
Ejercicio. Grafica en la recta numérica los conjuntos A = {x /x ∈ R − 2 < x < 0} y
B = {x /x ∈ R − 2 ≤ x ≤ 0}
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2-Notación de Intervalos
Con la idea de colocar paréntesis al borde que no pertenezca al conjunto y corchetes al borde que pertenezca, introduzcamos la
notación de intervalos. Volvamos al conjunto
A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1}
Ahora, este conjunto lo podemos definir de manera más compacta como el intervalo
(−2, 1]
Esto es,
A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1} ≡ (−2, 1]
Cuidado, el intervalo denota un conjunto, pero no es la notación de conjunto. Por eso no se puso el ”=”
La manera de denotar esto es o el conjunto A = {x /x ∈ R − 2 < x ≤ 1} o, equivalentemente, x ∈ (−2, 1]
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4-Notación de intervalos y desigualdades
Con la introducción de la notación de intervalos, consideremos los conjuntos:
A = {x /x ∈ R, x ≥ 2}
B = {x /x ∈ R, x ≤ 0}
C = {x /x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 2}
Entonces, tendremos:
A = {x /x ∈ R, x ≥ 2} → x ∈ [2,+∞)
B = {x /x ∈ R, x ≤ 0} → x ∈ (−∞, 0]
C = {x /x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 2} → x ∈ [0, 2]
Observación: Cuando un límite es infinito (o menos infinito) NUNCA podríamos ponerle un corchete.
Ejercicio. Grafica en la recta numérica los conjuntos A, B y C.
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3-Unión de Conjuntos. Unión de Intervalos
Repasemos la definición de UNIÓN entre conjuntos. Dados dos conjuntos, A y B, se
define como la unión A ∪ B al conjunto compuestos por los elementos de A y los
elementos de B. Obviamente, sin repetir, por lo que más formalmente se escribe:
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
remarquemos que el símbolo ∨ significa ”o”.
Entonces, dados dos conjuntos, para que un determinado elemento pertenezca a la unión
basta que pertenezca a uno o al otro de los conjuntos que se unen.
Ejemplos. Consideremos los conjuntos A = {x / x ∈ R, −1 ≤ x < 2} y el
conjunto B = {x / x ∈ R, −7 < x ≤ 0} Entonces,
A ∪ B = {x / x ∈ R, −7 < x ≤ 2}
o, en intervalos tenemos (graficalos para ver los conjuntos en la recta!):
[−1, 2) ∪ (−7, 0] = (−7, 2)
video - intervalos
video - unión de intervalos
video - intersección de intervalos
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https://drive.google.com/file/d/198Keg7LoAM6xgGG3w4uFTekp7wAXW64P/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1vOzMhIsG8gnWb2kV6FhDhcp8irQ1dLLe/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1BsSvuly2ErTzCaf5BSqEkoBZu79LkC2x/view?usp=sharing
3-Intersección de Conjuntos. Intersección de
Intervalos
Repasemos la definición de INTERSECCIÓN entre conjuntos. Dados dos conjuntos, A y B, se define como la intersección A ∩ B
al conjunto compuesto por los elementos que tienen en común A y B.
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
remarquemos que el símbolo ∧ significa ”y”.
Ejemplos. Consideremos los conjuntos A = {x / x ∈ R, −1 ≤ x < 2} y el conjunto
B = {x / x ∈ R, −7 < x ≤ 0} Entonces,
A ∩ B = {x / x ∈ R, −1 ≤ x ≤ 0}
o, en intervalos tenemos (graficalos para ver los conjuntos en la recta!):
[−1, 2) ∩ (−7, 0] = [−1, 0]
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7-Ecuaciones
Ecuaciones
Una Ecuación es una igualdad con, por lo menos, un valor desconocido (incógnita). El conjunto Solución de una ecuación es el o
los valores de la incógnita que verifican la igualdad.
La ecuaciones con solución únicas son aquellas donde existe un número real que las verifica.
x + 2 = 7 ⇒ x = 5 porque 5 + 2 = 7
Conjunto solución x = 5 o S = {5}
x2 −
9
4
= 0 ⇒ x = ±
3
2
porque
( 3
2
)2
−
9
4
= 0 y también
(
−
3
2
)2
−
9
4
= 0
Conjunto solución x = ±
3
2
o S =
{
±
3
2
}
Las ecuaciones que no tienen solución son aquellas que ningún número real verifica.
x = x + 1 ⇒ ningún númeroes igual a su anterior.
ó x2 + 4 = 0 no tiene solución real.
Conjunto Solución S = ∅
Existen ecuaciones que verifica cualquier número real.
2(x + 1) = 2x + 2
x + x + x = 3x
Conjunto Solución S = R
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7-Ecuaciones
Lenguaje Matemático
Lenguaje Simbólico: Es el lenguaje que utilizan las matemática para expresar fórmulas u operaciones, ya sea numérica o literal.
Lenguaje coloquial: Es el lenguaje con el cuál escribimos habitualmente o literal.
Lenguaje coloquial: Lenguaje Simbólico:
El triple de cierto número 3x
El doble de un número 2x
La tercera parte de un número 13 x
El siguiente de un número x + 1
cincuenta y tres 53
El anterior de un número x − 1
El cuádruple de cierto número 4x
El cuadrado de un número x2
El cubo de un número x3
La raíz cuadrada de un número
√
x
La raíz cúbica de un número 3
√
x
La mitad de un número x : 2 ó 12 x
La diferencia en dos números x − y
El producto entre dos números x · y
El cociente entre dos números x : y
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7-Propiedades de la igualdad
Cuando se habla de igualdad en matemáticas, se establece una comparación de valores representada por el signo igual, que es
el que separa al primer miembro del segundo.
Primer miembro = Segundo miembro
En la igualdad se dan cinco propiedades; a saber:
Propiedad idéntica o reflexiva: establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.
Ejemplos:
2a = 2a ; 7 + 8 = 7 + 8 ; x = x
Propiedad simétrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.
Ejemplos:
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a− b = c, entonces c = a− b
Si x = y , entonces y = x
Propiedad transitiva: enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros también son
iguales.
Ejemplos:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
m = n y n = p, entonces m = p
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Propiedades de la igualdad
Propiedad uniforme: establece que si se aumenta o
disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la
igualdad se conserva.
Ejemplos:
Si a = b, entonces a + x = b + x
Ej: 6 = 4 + 2 entonces 6 + 3 = 4 + 2 + 3
Si a = b, entonces a− x = b − x
Ej: 6 = 4 + 2 entonces 6− 3 = 4 + 2− 3
si a = b , entonces a · x = b · x
Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) · 3 = 7 · 3
Si a = b, entonces a : x = b : x , Siempre que x 6= 0
Ej: 3y = 12, entonces 3y : (−3) = 12 : (−3)
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7-Propiedades de la igualdad
Propiedad cancelativa: dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la
igualdad no se altera.
Ejemplos:
Si (2 · x · 6)− �4 = 12− �4, entonces 2 · x · 6 = 12
Si a + b = c + b, entonces a = c
Si (8 : 4) · �5 = 2 · �5, entonces 8 : 4 = 2
Estas propiedades y su correcto manejo serán fundamentales para las posibles soluciones de ecuaciones.
Resolver una ecuación implica despejar el valor de x realizando operaciones a la igualdad utilizando las 5 propiedades
anteriores.
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Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Resolver la ecuación
18x + 6 + 2− 2x = 15x + 12
.
(18x − 2x) + (6 + 2) = 15x + 12
16x + 8 = 15x + 12
16x + 8−15x = 15x + 12−15x
x + 8−8 = 12−8
x = 4
Verificación:
18 · 4 + 6 + 2− 2 · 4 = 15 · 4 + 12
72 = 72
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7-Ejemplos resueltos
Ejemplo 2
Resolver la ecuación
x + 1
6
−
3(x − 2)
8
= x − 6
Una forma práctica es multiplicar ambos miembros por mcm(6, 8).
48 ·
( x + 1
6
−
3(x − 2)
8
)
= 48 · (x − 6)
8(x + 1)− 18(x − 2) = 48x − 288
8x + 8− 18x + 36 = 48x − 288
(8x − 18x) + (8 + 36) = 48x − 288
−10x + 44+10x = 48x − 288+10x
44+288 = 58x − 288+288
332 = 58x
332: 58 = 58x : 58
166
29
= x
Verificación:
x + 1
6
−
3(x − 2)
8
= x − 6
−
8
29
= −
8
29
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7-Ejemplos resueltos
Ejemplo 3
Resolver la ecuación
8 +
10
x
=
5
x
+ 7
Una forma práctica es multiplicar ambos miembros por x .
x ·
(
8 +
10
x
)
= x ·
( 5
x
+ 7
)
8x + 10 = 5 + 7x
8x + 10−7x = 5 + 7x−7x
x + 10−10 = 5−10
x = −5
Verificación:
8 +
10
x
=
5
x
+ 7
8 +
10
−5
=
5
−5
+ 7
8− 2 = −1 + 7
6 = 6
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8-Desigualdades
Definición
Una desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea
menor (<), menor o igual (≤), mayor (>) o mayor o igual (≥) a otra cantidad.
Considere la desigualdad
2x + 5 > 13
Como se muestra en la tabla siguiente, ciertos números dan enunciados verdaderos cuando se sustituyen por x y otros dan
enunciados falsos.
x 2x + 5 > 13 Conclusión
3 11 > 13 Falso
4 13 > 13 Falso
5 15 > 13 Verdadero
6 17 > 13 Verdadero
Resolver una desigualdad significa hallar todas las soluciones. Dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente las
mismas soluciones.
Los métodos para resolver desigualdades en x son semejantes a los que se emplean para resolver ecuaciones. En particular,
con frecuencia usamos propiedades de las desigualdades para sustituir una desigualdad dada con una lista de desigualdades
equivalentes, terminando con una desigualdad de la que fácilmente se obtienen soluciones. Las propiedades de la tabla
siguiente se pueden demostrar para números reales a, b, c y d .
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8-Propiedades de las desigualdades
Propiedades Ejemplos
(1) Si a < b y b < c ,⇒ a < c 6 < 7 y 7 < 10 ,⇒ 6 < 10.
(2) Si a < b ,⇒ a + c < b + c y a− c < b − c. 3 < 5,⇒ 2 + 3 < 7 + 3 y 2− 3 < 7− 3.
(3) Si a < b y c > 0 ,⇒ ac < bc 6 < 7 y c = 3 ,⇒ 6 · 3 < 7 · 3 y
6
3
<
7
3
.
(4) Si a < b y c < 0 ,⇒ ac > bc y
a
c
>
b
c
2 < 5 y−3 < 0 ,⇒ 2 · (−3) > 5 · (−3) y
2
−3
>
5
−3
.
Ejemplo 1
Resolver la desigualdad
−3x + 4 < 11
−3x + 4 < 11 original
−3x + 4− 4 < 11− 4 resto
−3x < 7 simplifico
−3
−3
x >
7
−3
divido por−3 e invierto el signo de desigualdad
x > −
7
3
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8-Ejercicios resueltos
−3 −2 0
− 73
(
Ejemplo 2
Resolver la desigualdad
4x − 3 < 2x + 5
4x − 3 < 2x + 5 original
4x − 3 + 3 < 2x + 5 + 3 Sumo 3
4x < 2x + 8 simplifico
4x − 2x < 2x + 8− 2x resto 2x
2x < 8 simplifico
2
2
x <
8
2
divido por 2
x < 4
3 4 5
)
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8-Ejercicios resueltos
Ejemplo 3
Resolver la desigualdad
−6 < 2x − 4 < 2
−6 < 2x − 4 < 2 original
−6 + 4 < 2x − 4 + 4 < 2 + 4 Sumo 4
−2 < 2x < 6 simplifico
−2
2 <
2
2 x <
6
2 divido 2
−1 < x < 3 simplifico
−1 0 3
)(
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8-Ejercicios resueltos
Ejemplo 4
Resolver la desigualdad
3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6
3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6 original
3x − 3 +2 ≤ 5x + 6 propiedad distributiva
3x − 1 ≤ 5x + 6 simplificar
3x ≤ 5x + 7 sumar 1
−2x ≤ 7 restar 5x(
−
1
2
)
· −2x ≥
(
−
1
2
)
· 7 Multiplicar por -1/2 ( desigualdad se invierte)
x ≥ −
7
2
−4 −3 −2 −1 0
[
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9- Valor absoluto o módulo
Definición
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a
al origen.
−3 0 3
3 unidades 3 unidades
en notación, esto es | − 3| = |3| = 3. se lee: valor absoluto de menos tres.
Analíticamente podemos ver que si a es positivo , es decir, está a la derecha de cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda
de cero, es decir, si a es negativo, entonces |a| = −a. Esto lo escribimos en la siguiente definición:
|x| =

x si x ≥ 0
−x si x < 0
El módulo o valor absoluto nos permite expresar simbólicamente también la distancia D entre dos números x e y :
D(x,y) = |x − y| = |y − x|
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9- Valor absoluto o módulo
Por ejemplo:D(−2,1) = | − 2− 1| = |1− (−2)| = 3
−2 −1 0 1 2
D = 3
Ecuaciones con valor absoluto
Si |x| = 2 entonces significa que x = 2 ∨ x = −2 o podemos escribir la solución S = {2,−2}
Si |x − 3| = 5 entonces significa que x − 3 = 5 ∨ x − 3 = −5, resolviendo las ecuaciones se obtiene S = {8,−2}
Si |x − 3| = −5 entonces significa que No hay solución, ya que el valor absoluto siempre es mayor o igual a cero , nunca
negativo. Escribimos S = ∅
Desigualdades con módulo (inecuaciones)
La expresión |x| < 2 la podemos interpretar como los x que distan a menos de 2 unidades del origen.
Así la desigualdad |x| < 2 equivale a−2 < x < 2.
0
( )−2 2
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10- Desigualdad con módulo
La expresión |x| > 2 la podemos interpretar como los x que distan a más de 2 unidades del origen.
Así la desigualdad |x| > 2 equivale a x < −2 ∨ x > 2.
0
) (−2 2
x < −2 x > 2
En general,
|x| > a entonces x < −a ó x > a , y se obtiene S = (−∞,−a) ∪ (a,∞).
0
) (−a a
x < −a x > a
|x| < a entonces−a < x < a , y se obtiene S = (−a, a).
0
( )−a a
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10- Ejemplo desigualdad con módulos
Ejemplo:
Resolver
4− |1− x| ≤ 1
Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto completamente despejado en el lado
izquierdo de la desigualdad:
4− |1− x| ≤ 1 Restamos 4 ambos lados
−|1− x| ≤ −3 multiplicamos por−1.
|1− x| ≥ 3 convertimos en desigualdades sin módulo.
1− x ≥ 3 ∨ 1− x ≤ −3 restamos 1 ambos lados.
−x ≥ 2 ∨ −x ≤ −4
x ≤ −2 ∨ x ≥ 4
El conjunto solución es
S = (−∞,−2] ∪ [4,∞)
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11-Propiedades
Algunas propiedades de valor absoluto
Para todo x, y ∈ R se verifica:
a) |x| = | − x|
b) |x · y| = |x| · |y|
c)
∣∣∣∣ xy
∣∣∣∣ = |x||y| con y 6= 0
d) |x + y| ≤ |x| + |y|
e) |x − y| ≥ |x| − |y|
f) |x−1| =
1
|x|
con x 6= 0
g)
√
x2 = |x|
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
1. Graficar en la recta numérica los subconjuntos de números reales, llamados intervalos.
a) Intervalo cerrado [−3, 2] = {x/x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 2}
b) Intervalo abierto (0, 5) = {x/x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 5}
c) Intervalo semiabierto [−2, 3] = {x/x ∈ R ∧ −2 ≤ x < 3}
d) Intervalo infinito o rayo [−1,∞+] = {x/x ∈ R ∧ 0x ≥ 1}
2. Escribe todos los subconjuntos de números reales con la notación conjuntista por extensión y graficalos en la recta
a) [−2, 0)
b) (−∞,+∞)
c) (−2, 4)
d) (−1,+∞)
3. Dados
A = {x / x ∈ R, 0 < x ≤ 1}
B = {x / x ∈ R, −10 < x ≤ 5}
C = {x / x ∈ R, −1 < x ≤ 0}
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
Obtener:
a) A ∪ B
b) A ∪ C
c) B ∪ C
d) A ∩ B
e) (A ∪ B) ∩ A
f) (A ∪ C) ∩ B
g) (A ∩ C) ∪ B
En todos los casos, graficar los conjuntos en la recta real.
(ver pistas)
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
4. Resolver las siguientes ecuaciones.
a) 6(2y + 3)− 4(y − 5) = 0
b) 15 x + 4 = 5−
2
7 x
c)
3 + 5x
5
=
4− x
8
d)
13 + 2x
4x + 1
=
3
4
e) 6−
5
x
= 4 +
3
4
f)
2x − 9
4
= 2 +
x
12
g)
3
7x − 2
=
9
3x + 1
h)
3
y
+
6
y
−
1
y
= 11
i) (3x−2)2 = (x−5)(9x +4)
j) (4x − 7)(2x + 3)− 8x(x −
4) = 0
k) (2x+9)(4x−3) = 8x2−12
l)
3x + 1
6x − 2
=
2x + 5
4x − 13
m)
2
5
+
4
10x + 5
=
7
2x + 1
n) (x − 3)(x + 2) = 0
ñ) (x + 4)(x − 1)(x − 6) = 0
o) 3x2 + 6x = 0
p) x3 + x = 0
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
5. Resuelva la desigualdad y exprese las soluciones en términos de intervalos siempre que sea posible.
a) 2x + 5 ≤ 8
b) 3− 5x < 11
c) x − 6 > 5x + 3
d) 9 + 13 x ≥ 4−
1
2 x
e) 3 + 32 x ≥ 1−
1
2 x
f)
1
2
(
1 + 13 x
)
≥ 4− 14 x
g) 4 ≥ 3x + 5 > −1
h) −2 <
4x + 1
3
i) 5 ≥
6− 5x
3
j) −2 < 3 + 14 x ≤ 5
k) (2x − 3)(4x + 5) ≤ (8x + 1)(x − 7)
l) (x − 3)(x + 3) ≥ (x + 5)2
m) (x − 4)2 > x(x + 12)
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
6. Determinar los valores de x en los cuales se cumplen las siguientes desigualdades. Escribirlos en cada caso como
intervalos y graficarlos en una recta.
a)
3
2
x − 6 < 0
b)
3
2
x − 6 < 0
c)
3
2
x − 6 = 0
d) 2x + 6 ≥ 0
e) 2x + 6 < 6
f)
( 3
2
x − 6
)
· (2x + 6) > 0
g) Escribir el conjunto solución A = {x ∈ R/(x − 1)(x + 1) < 0} como intervalos o unión de intervalos. Reali-
za su representación en la recta.
h) Escribir el conjunto solución A =
{
x ∈ R/
7x − 2
x
> 5
}
como intervalos o unión de intervalos. Realiza su
representación en la recta.
i) Escribir el conjunto solución A =
{
x ∈ R/
7x
x + 5
> 2
}
como intervalos o unión de intervalos. Realiza su
representación en la recta.
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
7. En una ruta de 350 km de longitud se controla el tránsito utilizando dos radares colocados en puntos estratégicos,
El primero se ubicó en el km 150 y tiene un alcance de 25 km (inclusive). el segundo, cubre todas las posiciones que
verifican la desigualdad
|x − 210| ≤ 30
a) ¿ Cuáles son todas posiciones de la ruta, cubierta por el primer radar ? Expresa la respuesta en términos de
I) intervalos
II) distancia
III) módulo
IV) gráfico
b) ¿ Cuál es la ubicación y el alcance del segundo radar?.
c) ¿ Qué posiciones no alcanza el segundo radar?.Escribir como intervalos
d) Una persona viaja por esa ruta desde un punto A, en el km 130, hasta la ciudad B, en el km 230. ¿ Qué parte
o todo el recorrido estará controlado por los radares ? ¿ Por qué? Realizar un esquema. ver pistas
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12 - Ejercitación ;
Ejercicios
8. Expresar estos conjuntos numéricos por extensión o como intervalos. Luego graficar en la recta numérica.a) S = {x ∈ R/x < 1 ∨ x > 3}
b) S =
{
x ∈ R/
(x − 6)(x + 4)
x2 − 36
= 0
}
c) S = {x ∈ R/|x − 22| < 3}
9. Resolver las siguientes inecuaciones con módulo y expresa como intervalos el conjunto solución.
a) |x − 4| ≤ 8
b) |3x + 2| ≥ | − 7 + 2|
c) 3 + |x − 2| < 6
d) |3− 4x| − 11 > −6
e) −2|x + 1| ≤ −5
f) |5− x| + 2 ≥ 9
g) 3 + |x + 1| + 2 < 14
h)
1
2
∣∣∣∣x − 12
∣∣∣∣ + 14 ≤ 12
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13-Algunas Pistas
1. Pistas: Para estos ejercicios, simplemente hay que ”pintar” la recta real los intervalos propuestos.
2. Pistas: Primero, si es de utilidad, pon en notación de intervalos los conjuntos A, B y C, por ejemplo, el conjunto A es el intervalo
(0, 1]. Luego grafica cada uno por separado, para luego realizar las operaciones unión e intersección, como hemos visto.
6.g Obtener y graficar en la recta real el conjunto
A = {x / x ∈ R, (x − 1) · (x + 1) < 0}
Pista: Hay un producto que debe ser positivo, entonces pensar en la regla de los signos.
Primero analicemos cuándo un producto es negativo. Por la regla de los signos, tendremos que
+ ×− = − − ×+ = −
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13-Pistas. Continuación
Entonces, el producto define dos casos posibles
I. (x − 1) > 0 y (x + 1) < 0 Notemos que esto se da si se cumple simultáneamente x > 1 y x < −1 Claramente
NUNCA se cumple esta situación.
II. (x − 1) < 0 y (x + 1) > 0 Notemos que esto se cumple si x < 1 y x > −1. Esto se cumple en el intervalo (−1, 1).
Entonces, el primer caso es vacío y el segundo el intervalo (−1, 1). Para ver la solución del problema debemos UNIR los
conjuntos.
∅ ∪ (−1, 1) = (−1, 1)
7. ver definición de distancia D(x,y) en el apartado teórico.
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