Minimización del gasto

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Minimización del gasto
Principio de optimización
Para minimizar el gasto, dado un cierto nivel de utilidad que el individuo desea alcanzar, éste comprará aquellas cantidades de bienes que le permitan alcanzar el nivel de utilidad objetivo con la menor cantidad de recursos posible.
En ese punto se cumple que la Relación Marginal de Sustitución (RMS) iguala a la tasa a la cual los bienes son intercambiados en el mercado.
x1
x2
Sabemos que:
Por lo tanto en el punto óptimo:
En consecuencia:
Solución analítica
El problema es:
Resolviendo:
Función de demanda
La solución del problema de minimización del gasto nos permite encontrar las demandas compensadas o Hicksianas:
…que asignan un valor de demanda para cada combinación de vectores de precios y utilidad.
Propiedades de la función de demanda
La función de demanda es homogénea de grado cero en precios.
 para todo
No hay exceso de utilidad: Para cualquier 
Convexidad. Si la relación de preferencias es convexa, entonces la función de demanda es un conjunto convexo; si la relación de preferencias es estrictamente convexa, entonces la función de demanda consiste en un solo elemento.
Función de Gasto
La función de gasto nos indica la cantidad mínima de dinero que se requiere para poder alcanzar un nivel de utilidad objetivo. 
Propiedades de la función de gasto
Homogénea de grado uno en P: un incremento de precios eleva el gasto en la misma proporción
Estrictamente creciente en u, y no decreciente en Pi para todo i.
Cóncava en precios. 
1
p
M
2
p
M
dx
dy
x
y
RMS
-
»
D
D
-
=
dx
dy
p
p
y
x
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-
RMS
p
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x
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p
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Min
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n
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1
2
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...
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1
2
2
1
2
2
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1
1
1
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2
2
1
1
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¶
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¶
-
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n
n
n
n
n
n
n
n
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x
x
x
u
p
x
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x
x
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x
L
x
x
x
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p
x
L
o
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c
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x
x
u
u
x
p
x
p
x
p
L
l
l
l
l
M
2
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1
2
1
RMS
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p
=
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(
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P
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i
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*
2
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1
1
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P
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P
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n
n
+
+
+
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P
E
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E
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a
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