Calculo diferencial Universidad-61

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Ejemplo: Sea la función: f(x) = x3
x
1 
= 1
x
2 
= -1
f(x
1
)=(1)3 = 1
f(x
2
) =(-1)3 = -1
Como:
f(x
1
) ≠ f(x
2
) 
La función es una función uno a uno
b) f(x) = x2
x
1 
= 1
x
2 
= -1
f(x
1
)=(1)2 = 1
f(x
2
) =(-1)2 = 1
Como:
f(x
1
) = f(x
2
) 
La función no es una función uno a uno
Figura 80
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
181
Un método geométrico para saber si una función es uno a uno 
es trazar una recta horizontal en cualquier lugar de la gráfica, si la recta 
interseca a la gráfica de la función en un solo punto, entonces la función 
es uno a uno como se puede apreciar en la figura 79, si la recta interseca 
en más de un punto, la función no es uno a uno como en la figura 80.
Definición
Sea f una función uno a uno con Dominio X y rangoY, entonces una 
función g, con Dominio Y y rango X se denomina la función inversa 
de f si:
f(g(x)) = x para cada x en Y
g(f(x)) = x para cada x en X
Pasos para determinar la inversa de una función
Figura 81
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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Con el ejemplo propuesto a continuación se van a detallar 
los pasos.
Ejemplo: Determine la función inversa de la función f(x) = 2x -1
1.- Analizamos si la función es uno a uno, podemos hacerlo con 
el método geométrico.
Como sabemos la gráfica pertenece a una función lineal, al trazar 
una recta horizontal en cualquier ubicación de la gráfica solo interseca 
en un punto, entonces es función uno a uno.
2.- Cambiamos la nomenclatura a f(x), por y de tal forma:
f(x) = 2x -1
y = 2x -1
3.- Despejamos la variable x:
𝑥𝑥 =
𝑦𝑦 + 1
2 
4.- Cambiar la variable x por la variable y, y viceversa:
𝑦𝑦 =
𝑥𝑥 + 1
2
 
5.- Cambiamos la variable y por f-1 (x) para obtener la función 
inversa: 𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 + 1
2
 
Ecuaciones de cancelación
Definición
f -1(f(x)) = x para cada x en X
f(f -1(x)) = x para cada x en Y