Calculo diferencial Universidad-100

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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=
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2(𝑥𝑥) + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛2(𝑥𝑥)
[1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)]2
 
=
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 1
[1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)]2
 
=
1
1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)
 
3.4.2 Derivadas de funciones exponenciales
La función exponencial f(x)=ax en donde a>0, a≠1 es una función 
continua y diferenciable en todas partes. La tabla de derivadas de fun-
ciones exponenciales de base e y de cualquier otra base es:
Tabla 3 Derivadas de funciones exponenciales
DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Si u=g(x) es una función diferenciable, entonces
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑒𝑒𝑥𝑥] = 𝑒𝑒𝑥𝑥 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑒𝑒𝑢𝑢 ] = 𝑒𝑒𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑎𝑎𝑥𝑥] = 𝑎𝑎𝑥𝑥(𝑠𝑠𝑛𝑛𝑎𝑎) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑎𝑎𝑢𝑢 ] = 𝑎𝑎𝑢𝑢(𝑠𝑠𝑛𝑛𝑎𝑎)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
EjErcicios rEsuEltos
ER3. Derivar la función: 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥2 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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solucion
En este caso la exponente de la base e es u=1/x2 que podemos 
reescribir como u=x-2 por lo tanto aplicado la regla de la cadena de la 
tabla 3 tenemos:
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
�𝑒𝑒
1
𝑥𝑥2� = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥2
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑥𝑥−2) = 𝑒𝑒
1
𝑥𝑥2 (−2𝑥𝑥−3) =
−2𝑒𝑒
1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
 
ER4. Derivar la siguiente expresión f(x)=46x
solucion
Este ejercicio tiene la forma au donde la base es 4 y el exponente 
es u=6x, de acuerdo a la tabla tenemos que:
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[46𝑥𝑥] = 46𝑥𝑥(𝑠𝑠𝑛𝑛4)
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(6𝑥𝑥) = (𝑠𝑠𝑛𝑛4)46𝑥𝑥(6) = 6(𝑠𝑠𝑛𝑛4)46𝑥𝑥 
3.4.3 Derivadas de funciones logarítmicas
Como sabemos la inversa de la función exponencial y=ax es la 
función logarítmica y=log
a
 x. La tabla de derivadas de funciones logarít-
micas es la siguiente:
Tabla 4 Derivadas de funciones logarítmicas
DERIVADA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Si u=g(x) es una función diferenciable, entonces
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑛𝑛𝑥𝑥] =
1
𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑜𝑜𝑔𝑔𝑎𝑎𝑥𝑥] =
1
𝑥𝑥𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑎𝑎)
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑜𝑜𝑔𝑔𝑎𝑎(𝑢𝑢)] =
1
𝑢𝑢𝑠𝑠𝑛𝑛(𝑎𝑎)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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EjErcicios rEsuEltos
ER5. Derivar la función f(x)=ln(cosx)
solucion
De acuerdo a la tabla la debemos aplicar la derivada de logaritmo 
natural en donde u=cosx.
3.4.4 Derivadas de funciones trigonometricas inversas
Las funciones tangente inversa y cotangente inversa son diferen-
ciables para todo x, mientras que las otras cuatro funciones trigono-
métricas inversas no son diferenciables en x=-1 o x=1. A continuación 
se presenta la tabla de derivadas de funciones trigonométricas inversas.
Tabla 5 Derivadas de funciones trigonométricas inversas
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Si u=g(x) es una función diferenciable, entonces
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛−1𝑥𝑥] =
1
√1 − 𝑥𝑥2
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛−1𝑢𝑢] =
1
√1 − 𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠−1𝑥𝑥] =
−1
√1 − 𝑥𝑥2
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠−1𝑢𝑢] =
−1
√1 − 𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥] =
1
1 + 𝑥𝑥2
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑢𝑢] =
1
1 + 𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡−1𝑥𝑥] =
−1
1 + 𝑥𝑥2
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡−1𝑢𝑢] =
−1
1 + 𝑢𝑢2
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥