Calculo diferencial Universidad-99

Vista previa del material en texto

Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
294
3.3.2 Regla de la cadena
Si tenemos la función y=x2 su derivada es y’=2x. Pero si tenemos 
la funció y=(x2+5x-1)2 ya que ahora es una función que está elevada a 
la potencia 2, se debe aplicar una regla especial denominada regla de la 
cadena para derivar.
Si f es una función diferenciable de u y u, a su vez, es una función 
diferenciable de x, entonces la función compuesta f(u) es una función 
diferenciable de x, y además
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑓𝑓(𝑢𝑢)] = 𝑓𝑓′(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
ER4. Derivar la función dada y=(x2+5x-1)2
solución
Si hacemos u=x2+5x-1 la función queda f(u)=u2
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑓𝑓(𝑢𝑢)] = 2(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
Reemplazando y resolviendo tenemos:
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1)2 = 2(𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1)
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 1) 
 y 
 x 
A (0,-2)
l2
EjErcicios propuEstos
EP1. Derivar y=(-5x4-4x2+2x) 3
EP2. Derivar y=-3x3+6x2-x
EP3. Derivar y=(3x2+5x)(4x3-7x)
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
295
EP4. Derivar 𝑦𝑦 =
2𝑥𝑥
4𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3
 
EP4. Derivar 𝑦𝑦 =
(𝑥𝑥2 − 1)3
(𝑥𝑥 + 2)2
 
EP5. Derivar 
𝑦𝑦 = �
5𝑥𝑥 − 2
2𝑥𝑥 + 1
 
3.4 Derivadas de funciones: trigonométricas, 
exponenciales, logarítmicas, y trigonométricas inversas
3.4.1 Derivadas de funciones trigonometricas
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥)] =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
�
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)
� 
Aplicando la regla del cociente de dos funciones tenemos:
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
296
Tabla 2 Derivadas de funciones trigonométricas
TABLA DE FÓRMULAS DE DERIVADAS DE FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS
Si u=g(x) es una función diferenciable, entonces
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)] = 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)] = −𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑢𝑢)] = −𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥)] = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐2(𝑥𝑥) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑢𝑢)] = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐2(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡(𝑥𝑥)] = −𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑥𝑥) 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡(𝑢𝑢)] = −𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐(𝑥𝑥)] = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑥𝑥) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐(𝑢𝑢)] = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐(𝑢𝑢)𝑡𝑡𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑥𝑥)] = −𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡(𝑥𝑥) 
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
[𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑢𝑢)] = −𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑢𝑢)𝑐𝑐𝑜𝑜𝑡𝑡(𝑢𝑢)
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
 
EjErcicios rEsuEltos
ER1. Sea f(x)=2cos(x) 
Determinar f ’(x)
f ’ (x)=-2sen(x)
ER2. Sea 
Determinar g’(x)
𝑔𝑔′(𝑥𝑥) =
[1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)] 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 [𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)] − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 [1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)]
[1 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑥𝑥)]2