Funciones Pares e Impares Cálculo Diferencial e Integral

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESIME CULHUACAN 
Academia de Matemáticas 
 
RAMIREZ CASTELLANOS ERNESTINA 
RAMIREZ ORTIZ MARÍA VERÓNICA 
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Funciones Pares e Impares. 
Fecha: _______________ 
 
 
Funciones pares e impares 
 
Analíticamente: 
 
 Por definición, una función 𝑓(𝑥) es par si 𝑓 (−𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓. 
 
 Por definición, una función 𝑓(𝑥) es impar si 𝑓 (−𝑥) = −𝑓(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓. 
 
Ejemplos 
En los ejercicios 1-8 dado 𝑓(𝑥), verificar si es par o impar. 
 
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
 
Solución 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 es una función par, por que 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 + 1 
𝑓(−𝑥) = 𝑥2 + 1 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) …………. Porque 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 
 
 
 
 
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 
 
Solución 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2, no es una función par ni impar, porque 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 + (−𝑥)2 
𝑓(−𝑥) = −𝑥3 + 𝑥2 
𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) 
𝑓(−𝑥) = −(𝑥3 − 𝑥2) 
𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
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3. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 
Solución 
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2, no es par ni impar, porque 
𝑓(−𝑥) = 4(−𝑥) + 2 
𝑓(−𝑥) = −4𝑥 + 2 
𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) 
𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) 
 
4. 𝑓(𝑥) = |𝑥| 
Solución 
𝑓(𝑥) = |𝑥|, es una función par, porque: 
 𝑓(−𝑥) = |−𝑥| 
𝑓(−𝑥) = √(−𝑥)2 
 
Sabemos que: 
|𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
𝑓(−𝑥) = √𝑥2____ Por definición de |𝑥| = √𝑥2 
𝑓(−𝑥) = |𝑥| 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
 
5. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| − 5x 
Solución 
𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| − 5𝑥 No es par ni impar, porque: 
𝑓(−𝑥) = |𝑥 − 3| − 5(−𝑥) 
𝑓(−𝑥) = |(−1)(𝑥 + 3)| + 5𝑥 
𝑓(−𝑥) = |−1||(𝑥 + 3)| + 5𝑥 _____________Por propiedad |𝑎 𝑏| = |𝑎| |𝑏| 
 
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𝑓(−𝑥) = 1|𝑥 + 3| + 5𝑥 
𝑓(−𝑥) = |𝑥 + 3| + 5 
𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) 
𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) 
 
6. 𝑓(𝑥) =
4𝑥2+1 
𝑥2−3
 
Solución 
𝑓(𝑥) =
4𝑥2+1 
𝑥2−3
, es una función par porque: 
𝑓(−𝑥) =
4(−𝑥)2 + 1 
(−𝑥)2 − 3
 
𝑓(−𝑥) =
4𝑥2 + 1 
𝑥2 − 3
 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 
Solución 
𝑓(𝓍) = 𝑥 + 3 , no es par ni impar porque 
𝑓(−𝓍) = −𝑥 + 3 
𝑓(−𝓍) ≠ 𝑓(𝑥) 
𝑓(−𝓍) = −(𝑥 − 3) 
𝑓(−𝓍) ≠ −𝑓(𝑥) 
8.- 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 − 4 
 Solución 
 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 − 4, es una función par, porque 
 𝑓(−𝑥) = √4 − (−𝑥) 2 − 4 
 𝑓(−𝑥) = √4 − 𝑥2 − 4 
 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
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9.- 𝑓(𝑥) = √𝑥 
 Solución 
𝑓(−𝑥) = √𝑥 , no es par ni impar porque 
𝑓(−𝑥) = √−𝑥 
𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥) 
𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥) 
 
 
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Geométricamente 
 
 𝑓(𝑥) es par si : (𝑎, 𝑏) ∈ Gráfico de 𝑓 ⇔ (−𝑎, 𝑏) ∈ Gráfico de 𝑓 
Es decir, 𝑓(𝑥) es par si la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica con respecto al eje 𝑦 
 
 𝑓(𝑥) es impar si: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐺𝑟𝑎𝑓. 𝑑𝑒 𝑓 ⇔ (−𝑎, −𝑏) ∈ 𝐺𝑟𝑎𝑓. 𝑑𝑒 𝑓 
Es decir, 𝑓(𝑥) es impar si la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica con respecto al origen. 
Ejemplos: 
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
Solución 
Analíticamente Geométricamente 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 es par, por que 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 = 𝑥2 = 𝑓(𝑥) 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 … es una parábola 𝑉 = (0,0), Eje focal || Eje Y, 4𝑝 = 1 > 0 ⇒ 
la parábola se abre hacia arriba 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(1) = (1)2 = 1 ⇒ (1,1) ∈ Gráfico de 𝑓. 
𝑓(−1) = (−1)2 = 1 ⇒ (−1,1) ∈ Gráfico de 𝑓. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 es par porque (1,1) ∈ Gráfico de 𝑓 ⇔ (−1,1) ∈ Gráfico de 𝑓 
Es decir, 𝑓(𝑥) es porque la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica con respecto al 
eje 𝑦 
 
 
 
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2.- 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 3 
 
 
 
Analíticamente Geométricamente 
 
𝑓(𝑥) es par por que 
 
𝑓(−𝑥) = |−𝑥| + 3 
 
𝑓(−𝑥) = √(−𝑥)2 + 3 
 
𝑓(−𝑥) = √𝑥2 + 3 
 
𝑓(−𝑥) = |𝑥| + 3 
 
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
 
𝑓(𝑥) = |𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
 
 
 
Su gráfica es: 
 
 
 
𝑓(2) = |2| + 3 = 2 + 3 = 5 ⇒ (2,5) ∈ Gráfico de 𝑓. 
 
𝑓(−2) = |−2| + 3 = 2 + 3 = 5 ⇒ (−2,5) ∈ Gráfico de 𝑓. 
 
𝑓(𝑥) = |−𝑥| + 3 es par porque (2,5) ∈ Gráfico de 𝑓 ⇔ (−2,5) ∈ Gráfico de 𝑓 
Es decir, 𝑓(𝑥) es porque la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica con respecto al 
eje 𝑦 
 
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3.- 𝑓(𝑥) = 𝑥 
Analíticamente Geométricamente 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 es impar, por que 
𝑓(−𝑥) = −𝑥 
 
𝑓(−𝑥) = −(𝑥) 
 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 es una recta a 45° con respecto al eje x 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(2) = 2 ⇒ (2,2) ∈ Gráfico de 𝑓. 
𝑓(−2) = −2 ⇒ (−2, −2) ∈ Gráfico de 𝑓. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 es impar si: (2,2) ∈ Gráfico de 𝑓 ⇔ (−2, −2) ∈ Gráfico de 𝑓. 
Es decir, 𝑓(𝑥) es impar porque la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica con 
respecto al origen. 
 
La línea punteada (imaginaria) está a 135° (o bien 
3
4
𝜋) con respecto al eje 
x, si doblamos en esta línea coinciden la recta q’ esta en el cuadrante III 
con la que esta en el cuadrante I. 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 es simétrica con respecto al origen. 
 
 
 
 
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4.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
 
 
Analíticamente Geométricamente 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 Es impar porque 
 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 
 
𝑓(−𝑥) = −𝑥3 
 
𝑓(−𝑥) = −(𝑥3) 
 
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 
 
 
 
 
 
 
𝑓(1) = 1 ⇒ (1,1) ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑓. 𝑑𝑒 𝐹 
𝑓(−1) = −1 ⇒ (−1, −1) ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑓. 𝑑𝑒 𝑓 
 
𝑓 (
1
5
) = (
1
5
)
3
=
13
53
=
1
125
⇒ (
1
5
,
1
125
) ∈ Gráfico de 𝑓. 
𝑓 (−
1
5
) = (−
1
5
)
3
= −
13
53
= −
1
125
⇒ (−
1
5
, −
1
125
) ∈ Gráfico de 𝑓. 
 
 
𝑓 (−
1
2
) = −
1
8
⇒ (−
1
2
, −
1
8
) ∈ Gráfico de 𝑓. 
𝑓 (
1
2
) =
1
8
⇒ (
1
2
,
1
8
) ∈ Gráfico de 𝑓. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 es impar si: (
1
5
,
1
125
) ∈ Gráfico de 𝑓 ⇔ (−
1
5
, −
1
125
) ∈ Gráfico de 𝑓. 
Es decir, 𝑓(𝑥) es impar porque la gráfica de 𝑓(𝑥) es simétrica con respecto al 
origen. 
 
 
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Tarea de Funciones Pares e Impares. 
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Tarea 7 
Tarea de Funciones pares e impares 
 
En los ejercicios 1 – 10, determinar analíticamente si 𝑓(𝑥) es impar o impar, o bien no es par ni impar. 
 
1. 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 
 
2. 𝑓 ( 𝑥 ) = 4𝑥 – 1 
 
 
3. f ( x )= x2 +2 
 
4. f ( x ) = 3x2– 1 
 
 
5. f(x)= 
𝑥2−9
𝑥−3
 
 
6. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 
 
 
7. 𝑓(𝑥) = | 𝑥 − 3| 
 
8. 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 
 
 
9. 𝑓(𝑥) = √𝑥 
 
10. 𝑓(𝑥) = √ 5 − 𝑥 
 
 
De las funciones 𝑓( 𝑥 ) de los ejercicios 1, 3, 6, 7 y 8, verificar, geométricamente, si las funciones por pares o impares, o 
bien, no son pares, ni impares.