Semana 2_Módulo 1 - Tifany Bérez

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La derivada de una 
función
Módulo 1
Cálculo 1
2023-1
Videoconferencia 02
Temario
Interpretación geométrica de la derivada
Razón de Cambio
Definición de la derivada
Reglas de derivación
Conclusiones
Motivación
Un clavado perfecto
Natalia es una clavadista profesional, que desea analizar
la trayectoria de su lanzamiento de una plataforma de 19
metros con una velocidad inicial de 24 m/s. EL modelo
de caída libre que describe la trayectoria del clavado de
Natalia (sin tener en cuenta la resistencia del aire), está
dado por la fórmula:
 ¿Con qué velocidad se desplazó en el quinto segundo?
 ¿Cuál fue la velocidad cuándo chocó con el agua?
Ella necesita 
conocer:
𝑆 𝑡 = 19 + 24𝑡 − 4.9𝑡2
Saberes previos
 ¿Qué es una función?
 ¿Geométricamente que es una recta secante y una recta tangente?
 ¿Qué es la pendiente de una recta?
 ¿Cómo se determina la pendiente de la recta tangente en cualquier punto
de una función.
 ¿Cómo se calculará la razón de cambio instantánea en cualquier punto del
dominio de una función?
Logro de aprendizaje
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve problemas y ejercicios
donde aplica la derivada de una
función real de variable real en
problemas de ingeniería, haciendo
uso de forma ordenada y lógica,
fórmulas de derivación y propiedades
de la derivada.
Razón de cambio
Razón de cambio es el cociente de la variación de una variable con respecto a otra,
como por ejemplo:
La aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. 
La densidad es la razón de cambio de la masa con respecto al volumen. 
La pendiente es la razón de cambio de la altura con respecto a la distancia
horizontal.
La velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. 
Interpretación Geométrica de la Derivada
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
Recta Secante
𝓛𝑺
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑸
𝑷
Recta secante a una curva
La pendiente de la Recta secante 
(𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺 =
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si hacemos que: 𝑸 → 𝑷
Interpretación Geométrica de la Derivada
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝑸
𝑷
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
Recta Secante
𝓛𝑺
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑸
𝑷
Interpretación Geométrica de la Derivada
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝑸
𝑷
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝑸
𝑷
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑸
𝑷
Recta Secante
𝓛𝑺
Interpretación Geométrica de la Derivada
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝑸
𝑷
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝑸
𝑷
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑸
𝑷
Recta Secante
𝓛𝑺
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
Recta Secante
𝓛𝑺
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑸
𝑷
Interpretación Geométrica de la Deirvada
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
Recta Tangente
𝓛𝑻
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑸
𝑷
Recta secante a una 
curva
La pendiente de la Recta secante 
(𝓛𝑺)
que pasa por 𝑷 y 𝑸, es:
𝒎𝓛𝑺 =
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
 Si hacemos que: 𝑸 → 𝑷
𝒎𝓛𝑻 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝒎𝓛𝑺 = 𝐥𝐢𝐦𝒉→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒉
= 𝒇′(𝒙𝟎)
 Recta secante → Recta Tangente
𝒎ℒ𝑺 → 𝒎ℒ𝑻
𝒇′(𝒙𝟎) es la pendiente de 𝓛𝑻 en el punto 𝐏(𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎 )
La Derivada
Definición 1: La derivada de una función 𝑓 en 𝑥, ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, es el límite:
𝑓′ 𝑥 será una función de 𝑥, siempre y cuando este límite exista.
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
 Las notaciones para la primera derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥 son:
𝑓′(𝑥): se lee “𝑓 prima de 𝑥”.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∶ se lee “derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥”, 
 Las notaciones para la segunda derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥, son:
𝑓′ 𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
; 𝑦′;
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
; 𝐷𝑥(𝑦)
𝑓′′ 𝑥 ;
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
; 𝑦′′;
𝑑2 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2
; 𝐷𝑥𝑥(𝑦)
Interpretación Geométrica y Física de la Derivada
IN
T
E
R
P
R
E
T
A
C
IÓ
N
 D
E
 𝑓
′
𝑥
0
GEOMÉTRICA: 𝑓´ 𝑥0 representa la pendiente de la 
recta tangente a la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 , en el 
punto 𝑥0; 𝑓(𝑥0) .
FÍSICA: 𝑓´ 𝑥0 es la razón de cambio instantánea de
𝑦 = 𝑓(𝑥), cuando 𝑥 = 𝑥0.
Reglas de Derivación
Función Derivada
1. 𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑘 ∈ ℝ , (función 
constante)
𝑓′ 𝑥 = 0
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 , 𝑛 ∈ ℝ , 𝑛 ≠ 0 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
4. 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥. ln(𝑎)
5. 𝑓 𝑥 = ln(𝑥)
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
Practicando
Ejemplo 1: Determine la derivada de las siguientes funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 5
b) 𝑓 𝑥 = 7
c) 𝑓 𝑥 = 𝜋2
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥
f) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥4
g) 𝑓 𝑥 = 𝑥
1
2
h) 𝑓 𝑥 =
3
𝑥5
Reglas de Derivación
Derivada de Funciones Trigonométricas
Función Derivada
6. 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = cos(𝑥)
7. 𝑓 𝑥 = cos(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
8. 𝑓 𝑥 = tan(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)
9. 𝑓 𝑥 = cot(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐2(𝑥)
10. 𝑓 𝑥 = sec(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = sec 𝑥 . tan(𝑥)
11. 𝑓 𝑥 = csc(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −csc 𝑥 . 𝑐𝑜𝑡(𝑥)
Reglas de Derivación
Derivada de la Adición, Sustracción, Multiplicación y División de 
funciones
Dada la constante 𝑘 ∈ ℝ y las funciones diferenciables 𝑓 y 𝑔 se tiene:
12. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑘. 𝑓′(𝑥)
13. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥) = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′ 𝑥
14. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
15. 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 .𝑔′(𝑥)
𝑔2(𝑥)
Practicando
Ejemplo 2: Determine 𝑦′, si 𝑦 = 3𝑥4 + 5𝑒𝑥
𝑦′ = 3𝑥4 ′ + (5𝑒𝑥)′
Ejemplo 3: Si y =
1
2
𝑥3 + 5 𝑥 − 𝑙𝑛𝑥3 + 3,
determine 𝑦′.
𝑦 =
1
2
𝑥3 + 𝑥1/5 − 3𝑙𝑛𝑥 + 3
Solución: Solución:
𝑦′ = 3 𝑥4 ′ + 5(𝑒𝑥)′ 𝑦′ =
1
2
𝑥3 ′ + 𝑥1/5
′
− 3 𝑙𝑛𝑥 ′ + 3
′
𝑦′ = 12𝑥3 + 5𝑒𝑥
𝑦′ = 3 4𝑥3 + 5(𝑒𝑥)
𝑦′ =
3
2
𝑥2 +
1
5
𝑥−
4
5 −
3
𝑥
𝑦′ =
1
2
3𝑥2 +
1
5
𝑥−4/5 − 3
1
𝑥
+ 0
Practicando
Ejemplo 4: Determine 𝑓′ 𝑥 : 
𝑓 𝑥 =
1
3
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥 − 5.
𝑓′ 𝑥 =
1
3
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥
Ejemplo 5: Determine 𝑦′, si:
𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 7𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝑐𝑠𝑐𝑥 − 3𝑙𝑛𝑥
𝑦′ = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 7𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 𝑐𝑠𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 −
3
𝑥
Solución: Solución:
Practicando
Ejemplo 6: Derivar 𝑓 𝑥 = 3𝑥4𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥4 ′ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + (3𝑥4)(𝑠𝑒𝑛𝑥)′
Solución:
𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑥4𝑐𝑜𝑠𝑥
Ejemplo 7: Derivar ℎ 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
ℎ′ 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + (𝑙𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)′
Solución:
ℎ′ 𝑥 =
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑙𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥
ℎ′ 𝑥 =
1
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + (𝑙𝑛𝑥)(−𝑠𝑒𝑛𝑥)
Practicando
Ejemplo 8: Derivar 𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑓′ 𝑥 =
3
𝑥2
′
𝑡𝑎𝑛𝑥 + (
3
𝑥2)(𝑡𝑎𝑛𝑥)′
Solución:
𝑓′ 𝑥 =
2
3
𝑥−
1
3 . 𝑡𝑎𝑛𝑥 +
3
𝑥2. 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑥
2
3
′
𝑡𝑎𝑛𝑥 + (
3
𝑥2)(𝑡𝑎𝑛𝑥)′
𝑓′ 𝑥 =
2
3
𝑥−
1
3. 𝑡𝑎𝑛𝑥 +
3
𝑥2. 𝑠𝑒𝑐2𝑥
Ejemplo 9: Derivar ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑙𝑛𝑥
ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ′ 𝑙𝑛𝑥 + (𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑙𝑛𝑥)′
Solución:
ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥
1
𝑥
ℎ′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥 +
1
𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥
Practicando
Ejemplo 10: Derivar 𝑓 𝑥 =
2𝑥5+𝑒𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥5 + 𝑒𝑥 ′ 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑥5 + 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ′
𝑠𝑒𝑛𝑥 2
Solución:
𝑓′ 𝑥 =
10𝑥4 + 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑥5 + 𝑒𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑒𝑛2𝑥
Ejemplo 11: Derivar 𝑓 𝑥 =
(𝑥−2)(𝑥+3)
𝑥+5
Solución:
=
𝒙𝟐+𝒙−𝟔
𝒙+𝟓
𝑓′ 𝑥 =
2𝑥 + 1 𝑥 + 5 − 𝑥2 + 𝑥 − 6 (1)
𝑥 + 5 2
𝑓′ 𝑥 =
𝑥2 + 10𝑥 + 11
𝑥 + 5 2
Algunas Aplicaciones
 A LA FÍSICA:
• Si 𝑥(𝑡) es la posición en el instante “𝑡” , entonces 𝑥’(𝑡) es la velocidad 𝑣(𝑡) en el instante
“𝑡”.
𝑣(𝑡) = 𝑥’(𝑡)
• Si 𝑣(𝑡) es la velocidad en el instante “𝑡”, entonces 𝑣’(𝑡) es la aceleración 𝑎(𝑡) en el
instante “𝑡”.
𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡)
 A LA ECONOMÍA:
Sean 𝐼 𝑞 , 𝐶(𝑞), 𝑈(𝑞) las funciones ingreso, costo y utilidad respectivamente, entonces:
• 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐼’(𝑞)
• 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶’(𝑞)
• 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑈’ 𝑞
Situación significativa
Un clavado perfecto
Natalia es una clavadista profesional,que desea analizar
la trayectoria de su lanzamiento de una plataforma de 19
metros con una velocidad inicial de 24 m/s. EL modelo
de caída libre que describe la trayectoria del clavado de
Natalia (sin tener en cuenta la resistencia del aire), está
dado por la fórmula:
 ¿Con qué velocidad se desplazó en el quinto segundo?
 ¿Cuál fue la velocidad cuándo chocó con el agua?
Ella necesita 
conocer:
𝑆 𝑡 = 19 + 24𝑡 − 4.9𝑡2
Solución de la situación significativa
Primero calcularemos el tiempo que demora en hacer contacto con el agua. Para ello, hacemos S(t) = 0
𝑆 𝑡 = 19 + 24𝑡 − 4.9𝑡2
Resolvemos usando la fórmula general, y obtenemos
𝑡 = 5.59 ⋎ 𝑡 = −0.69
La velocidad es la derivada de la función posición; entonces, derivamos y reemplazamos 𝑡 = 5
𝑠′ 𝑡 = 24 − 9.8𝑡
𝑠′ 5.59 = 24 − 9.8 5.59 = −30.78
𝑠′ 5 = 24 − 9.8 5 = −25
a) ¿Con qué velocidad se desplazó en el quinto 
segundo?
b) ¿Cuál fue la velocidad cuándo chocó con el agua?
La velocidad en el quinto segundo fue 25 m/s
La velocidad en el momento en que el clavadista hace contacto con el agua es de 30.78 m/s
Conclusiones
Fuente: https://respuestas.tips/wp-content/uploads/2018/12/5-7.jpg
 Dado un intervalo I, donde x 𝜖 I y (x + h) 𝜖 I, h ≠ 0 se tendría que la derivada
se define de la siguiente manera:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
 La derivada de una función real es la razón de cambio de una variable
respecto de otra.
 Geométricamente la derivada de una función f en x = a es la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (a; f(a)).
 Para el cálculo de la derivada de una función existen fórmulas o resultados
que permiten hacer el desarrollo de las mismas de una forma más simple.
 Al finalizar la sesión el estudiante ya está en capacidad de resolver
ejercicios y problemas donde aplica la derivada de una función real de
variable real en problemas de ingeniería, haciendo uso de forma ordenada y
lógica, fórmulas de derivación y propiedades de la derivada.
Referencias bibliográficas
• Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. CENGAGE
Learning.
• Larson, R., Edwards, B. (2011). Cálculo I de una variable. McGRAW-HILL.
• Purcell, E., Varberg D. & Rigdon, S. (2007) Cálculo Diferencial e Integral. México: Pearson
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