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ADMISIÓN *tvitter.com/calapenshko El —SOLUCIONARIO e Y DELOS OS EXÁMENES a Ma SE AIN MARCOS S olucionario S an Marcos ÁLGEBRA DECO ÍNDICE 1. Leyes de exponentes 2 2. Leyes de radicales 2 3. Ecuaciones exponenciales 2 4. Expresiones algebraicas 3 5. Polinomios, grados y clases 3 6. Productos notables El 7. División algebraica: teoría del resto 6 8. Cocientes notables y 9. Factorización 7 10. Fracciones, MCD, MCM Y 11. Factorial. Binomio de Newton 8 12. Ecuación de primer grado 9 13. Sistema de ecuaciones lineales 9 14. Sistema de ecuaciones no lineales 12 15. Ecuación cuadrática 13 16. Ecuaciones de grado superior 14 17. Ecuaciones irracionales 16 18. Inecuaciones 17 19. Valor absoluto 18 20. Sistema de inecuaciones 21 21. Funciones algebraicas 22 22. Progresión aritmética 26 23. Progresión geométrica 26 24. Sucesiones y series er 25. Logaritmos y función exponencial 27 26. Máximos y mínimos 31 27. Conjuntos numéricos (N,Z,Q,|,R,C) 31 28. Racionalización 31 29. Programación lineal 31 Solucionario 32 twitter.com/calapenshko twitter.com/calapenshko Solucionario Física UNMSM Hecho en el Depósito Legal de la Biblioteca Nacional del Perú N* 2014-16026 Editado por Ediciones Millenium impreso en: Talleres de Ediciones Millenium Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados. D.LEG. N”. 822 1, LEYES DE EXPONENTES Pregunta N.* 1 (UNMSM 2009-11) si5*%=m y 5*=n, halle (0,04) 72% A) min”? Bm%n* cm. D) m*.n* E) m*.n* Pregunta N.? 2 (UNMSM 2010-1) Six"= 2 (donde x> 0), halle el valor de la expresión A] y . ay yA 2 Y 6x7? A) 3 D) 13/4 B) 11/4 O 16/5 E) 16/3 Pregunta N.* 3 (UNMSM 2013-1) Calcule —-1 -1 is BEA 238) + 97 1 (uE) +(-27% _4 D) - A o 2 ) 3 B) 5 E) - A A ANDO Pregunta N.* 4 (UNMSM 2009-11) Si xes un número positivo , tal que dba Sie pa Veliz al J A 7 b, ÁLGEBRA “¿3 n l m e a "Dios hizo los números naturales, el resto es obra del hombre.” Leopold Kronecher halle la suma de a+ b, AJ4 B6 C)J5 D3 E) 7 Pregunta N.? 5 (UNMSM 2010-11) donde k es un número entero no Vx +8Úx es so gt Si x=3 > nulo, entonces el valor de as ye E z, y Ha e B) 3% +3 E) 3? (32 a) o 32 (32 3. ECUACIONES ONO Pregunta N.?* 6 (UNMSM 2011-1) Resuelva la ecuación 22%* -5(6%)=3 2%, luego calcule 5% 1 1 1 A) — B) — ) — 25 5 125 D) 25 Ej) 125 Pregunta N.* 7 (UNMSM 2012-1) Si (Bx — py => 1 D) 4 A 1 04 B) 3 ES MA ÓN AO NO Pregunta N.* 8 (UNMSM 2013-11 Pregunta N.” 13 (UNMSM 2013-1) Dada la ecuación Vx y* + xy? =3Y, x > 0, y si 2*-2 “? =14, halle E="/x?+9., > 0, A)5 B)4 C)3 D)7 E) 6 calcule el valor de Yxy?. Pregunta N.” 9 (UNMSM 2014-1) A) 2 Ja Halle el valor de xen la ecuación B) 3 . c) 2 twitter.com/calapenshko == = a donde a>0 y axl D) 43 E) 2 A) 12 B) 10 C) 11 D) 9 E) 13 PREGUNTA N.* 14 (UNMSM 2014-11) Pregunta N.? 10 (UNMSM 2016-11) Calcule el valor de M para Xx = si M va+x+Y0a-x = ===, 4%x,0>0,b>l. halle VE b dl A) 2b Bj) b O 5 D) 2ab E) 7 b?+1 Six*=1,x>0,x *+le y+x= 4, A) 2 de e D) 4 B) 1 E) y2 4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS are PREGUNTA N.?* 15 (UNMSM 2009-11) Si el polinomio Prosa nt 2 ot. es ordenado y completo, calcule P(1) -P(-1). O NO MOE ADA Pregunta N.? 11 (UNMSM 2010-1) Si a+b=1 y ab=w2, simplifique la expresión (a+ b%a*+ b?)- (042 912) A) a'+1 B) b%+1 C) 1 D) a+1 E) 0 A) -15 B)-12 C)12 Do El 15 Pregunta N.” 12 (UNMSM 2011-1) PREGUNTA N.? 16 (UNMSM 2010-I) Si m-4p=3 nya= 2 P halle 2 *. Si P(x)+Q(x)=ax+b, Plx) - Q(x)=a AS +bx y P(5)=4, calcule P(Q(1)). A BE E de E A a A) 4/3 B) 1/3 0)5/3 D) 2/3 E) -48 AO EL CACHIMBO PREGUNTA N.* 17 (UNMSM 2010-11) Sabiendo que f(x+6)=ax+b, f(2)=-14 y f[-3)=-29, halle el valor de 2a—b. AJ 8 D) 4 B) -6 Cc) 10 E) 12 NE Sean x,=-1)"+1 y S,=X1 +X9+...+Xp, N € N. Halle S101 -S100* A) -1 B) 0 D) -2 cc) 1 E) 2 PREGUNTA N.* 19 (UNMSM 2012-11) Sean x, y € KE. Si F(x, y)=x? - y?, calcule F(3, F(3, 4)). A) 40 B) -49 C) -46 D) -40 E) -45 Pregunta N.* 20 (UNMSM 2013-1) Si fíx-3) = xé + 1 y h(x + 1) = 4x + 1, halle el valor de h(f (3) + h(-1)). A) 117 B) 145 C) 115 D) 107 E) 120 Pregunta N.? 21 (UNMSM 2014-1) El polinomio pL)=n + nn 207, es ordenado y completo. Halle el grado del polinomio p(x). AS D) 6 B) 4 cs E) 7 Pregunta N.* 22 (UNMSM 2017-1) Si la suma de los coeficientes del polinomio Pix = - 3xé+ax+3 es 0, halle el polonia ax+b, donde b es la mayor raíz de Pi: A) -x+3 D) -x+2 B) -x+4 C) x+3 El x+1 Pregunta N.? 23 (UNMSM 2017-11) Un artículo es lanzado al mercado y x meses después de su lanzamiento el ingreso es lx) =x% + 719 + 17x2 + mx +n, el precio unitario de venta es P(x) = x2 + ax+b y el número de unidades vendidas es 00) = x2 + bx+ a. Halle m + n, sabiendo que el ingreso es el producto del precio unita- rio y la cantidad vendida. A) 39 D) B) 46 C) 36 E) 49 64 ¡OD NON Pregunta N.? 24 (UNMSM 2010-11) Sabiendo que a+b+c=0, ab+ac+bc=-7 y abc=-6 1 de calcule E +3 5 18 49 29 A) 36 B) 36 C) 36 7 7 D — E) — ) 36 6 Pregunta N.* 25 (UNMSM 2010-11) Si a(b+c)=—bc y a+b+c=2, entonces el valor de a“ +b*+c? es A) 4 Bj) 2 C) 242 EJ 4Y2 ÁLGEB RA EL CACHIMBO Pregunta N.* 26 (UNMSM 2010-11) Six-x1= 1, (x * 0), entonces los valores de x2 + x"2 y x9 - 29 son: A) 2y3 D)) 3 y 4 B)) 2 y 1/2 E)) 4 y 1/4 C)) 3 y 1/3 Pregunta N.* 27 (UNMSM 2011-11) Asuma la existencia de todas las raíces reales, para A, B y C números reales adecuados, en la expresión Halle €. 2 1 B) A-B A Al Pregunta N.*? 28 (UNMSM 2011-11) Indique la expresión que se obtiene al simplificar Co _ b b es 2-ab siendo ab>2. 2 2 2 bj 2-- gr ab ab Pregunta N.*” 29 (UNMSM 2011-11) Si Xq € Yg son números reales tal que Xy > Vo y satisfacen el sistema de ecuaciones [xy (x + y)=30 | x9+y*=35 halle el valor de xp—Up. B) 2 Cc) 1 E) 4 A 5 D):3 Pregunta N.? 30 (UNMSM 2011-IT) Siab=3 y ac+b?=109, calcule el valor de a +b?, A) 75 B) 60 D) 120 Pregunta N.* 31 (UNMSM 2012-1) C)80 E) 90 Sean a y b números reales positivos. Si A y (2) + (2) =2, calcule b a 2 2 3 3 a b a b a b == EF + KÑÉ+—b +++. b hi p? a? p? a po q? A) 150 D) 175 Cy 100 ) B) 200 E) 120 Pregunta N.*? 32 (UNMSM 2012-11) Si x e y son números reales que satisfacen las ecuaciones x+y=dxy =712+y*+xy=133; halle el valor de |x—y]. A) 13 B)5 C)9 D)7 E) 4 TAR | a A Ú l | 1 1 IN ld, )] Pregunta N.* 33 (UNMSM 2013-1) Si xM + L =2 meZ?*, calcule x97 + xm Xx A) 4 O 8 D) 2 B) 6 E) 12 Pregunta N.? 34 (UNMSM 2017-II) La suma de tres números es 21 y la suma de sus cuadrados es 179. ¿Cuál es la suma de los productos de dichos números tomados de 2 en 2? A) 123 B) 131 C) 121 D) 242 E) 262 ¡Oe Lele TEORÍA DEL RESTO Pregunta N.? 35 (UNMSM 2010-11) ¿Qué condición deben cumplir los números reales b y c para que el polinomio x2 + bx + e sea divisible por x- 1? AJJb - c = 1 B)) b+e=-1 C)b+e=1 D))c-b=2 E))b = e = - Pregunta N.*” 36 (UNMSM 201 1-1) Halle el resto de dividir 4(3x-7)%-(3x-5)*+8 por x-3, en R[x]. A) 32 B) -16 C) -5 D) 8 E) 12 MATEMÁTICA ¿2 Pregunta N.? 37 (UNMSM 2012-11) Si p(x)=x%-9 12+27x-27, halle el resto dedividir p(x) por x- 3-Y/7. A) 7 C) 5 D) 8 B) 6 E) 9 Pregunta N.” 38 (UNMSM 2012-ID) Al dividir p(x) por (2x —1) y (x+1), se obtiene los residuos 6 y 3 respectivamente. Halle el residuo de dividir p(x) por (2x -1)(x+1). A) 3x+1 D) 2x-5 B) 3x-5 €)12x+5 E 5x+2 Pregunta N.* 39 (UNMSM 2015-1) 4 3 Calcule el valor de ksila 2% > +k E -— división tiene como resto 10. A) 2 B) 8 03 DS E) 4 Pregunta N.* 40 (UNMSM 2016-11) Dados los polinomios P Py =+c y Qi =x+1, dondece es ue número real, halle la suma de los coeficientes del polinomio cocientes del polinomio cociente coeficientes del polinomio cociente de Pia entre Aix . A) c B) -1 Cc) 2 D) 1 E) -c Pregunta N.* 41 (UNMSM 2017-1 Los residuos obtenidos al dividir el polinomio P(x) entre (x-3) y (x +1) son 2 y -—2 respectivamente. Determine el residuo que se obtiene al dividir el polinomio xP(x) entre (x-3)(x+1) ÁLGEB RA AMOO SAVIO) Pregunta N.* 45 (UNMSM 2017-1II) A) x+2 B) 2x+1 Factorice el polinomio x? + x — 10en Z[x] y C) x+3 halle la suma de los cuadrados de los DI 3x+1 coeficientes del factor irreducible de ) Sx+ mayor grado. E) x+4 A) 25 MA ON iS E) 21 Cc) 30 PREGUNTA N.* 42 (UNMSM 2014-1) a e Sada tenor + 128 2 ? halle el coeficiente del quinto término. * +2 10. FRACCIONES, MCD, MCM A) 16 B) 8 C) -16 D) 32 E) -8 Pregunta N.* 46 (UNMSM 2010-11) PREGUNTA N.* 43 (UNMSM 2014-11) El producto de tres números reales es - n m 900 y la suma de sus inversos Si el cociente notable e donde n. me N Pultiplicativos es 1/5. Determine la suma xS + y? de los productos de dichos números tomados de dos en dos sin repetición. A) 160 B)180 C)190 D)210 E) 170 tiene solo tres términos en su desarrollo, halle el término central. A) y? D) -3xy Pregunta N.? 47 (UNMSM 2010-11 E B) 24? ) 2 E) xy Si el MCM de los polinomios Nero: 72M lOlN papada RCA y su MCD es x-1, halle la suma de las Pregunta N.* 44 (UNMSM 2015-11) raíces del polinomio q(x). Al factorizar el polinomio A) -3 B) 1 Cc) 8 Pi =(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)-120, D) 2 E) -2 se obtiene tres factores irreductibles con Pregunta N.” 48 (UNMSM 2016-11) coeficientes enteros. Halle la suma de estos - , , Dados los polinomios con coeficientes tres factores. reales A) 2-8x+24 Py ta ++ bx—6 oe Qu) =2-9+13x-6 B) x'-6x+21 Se sabe que MCD (Pi: Qi.) E b=r1)(x=r2), C) ¿-7x+12 donde r, y rz son números enteros. Halle D) x2-8x+12 (b-a). Alem A) -15 B) 15 Maui E) 2-7x+21 D) 12 E) -7 (E 53] ÁLGEB RA EL CACHIMBO 11. FACTORIAL-BINOMIO DE NEWTON FACTORIAL Pregunta N.* 49 (UNMSM 2010-11) o ALA. Si 1314171517161 Y halle q — p. Aj 110x(17!) B) 210x(16!) Cc) 110x(16!) D) 160x(16!) E) 210x(17!) Pregunta N.* 50 (UNMSM 2015-1I) Halle la expresión equivalente a 2 2 E=Í ” ll m 1+| k , n-1 m*-1 k*-1 mn; kelN. A) (n-1)! +(m?-1)! +(k2-1)! B) n*!+(m+1)!+(k +1)! C) (n-1)!l+m?l+k?! D) nl+m?!+k?! E) nól+mi+k?! Pregunta N.* 51 (UNMSM 2016-11) La diferencia positiva de los valores de x que satisfacen la ecuación (x2 - 5x + 12)! = 720 es A) 1 O 3 D) 5 B) 2 E) 6 BINOMIO DE NEWTON Pregunta N.* 52 (UNMSM 2009-11) Halle el coeficiente de x? en el desarrollo del binomio (2x+(2x)7)*?. A)330 B) 660 C)1320 Dj) 2640 E) 5280 Pregunta N.? 53 (UNMSM 2009-11) aa) halle n (n eN). A) 31 C) 29 D) 27 B) 19 E) 32 Pregunta N.*? 54 (UNMSM 2010-11) Determine el valor de n, sabiendo que el desarrollo de (x+ a+ % tiene 524 términos. A) 295 B) 305 C) 259 Dj 209 E) 269 Pregunta N.* 55 (UNMSM 2010-11) Uno de los términos en el desarrollo del binomio 12 («y - y, [Xx ) es mx"y*. Determine el valor de "076 6) (7) (7) Pregunta N.” 56 (UNMSM 2009-11) Halle el producto de :S suma de los coeficientes de (Dé — 3yP con la. suma de los coeficientes de (x+ yt A) 15 B)-16 C)j30 D) 8 _-18 E) 20 ÁLGEB RA AMOO ANETO) A) 38m B) 32m C) 42 m Pregunta N.*? 57 (UNMSM 2015-11) Dj) 36m E) 34m Halle el valor numérico del decimotercer término del desarrollo de (2x-3y)"% Pregunta N.1 61 (UNMSM 20171) Un comerciante obtiene una ganancia de $ 5,00 por cada casaca de dama que vende y A) 19240 Dj) 29 120 $ 8,00 por cada casaca de varón. Si el núme- B) -19 240 E) 14 620 ro de casacas de damas vendidas es 25% más que el número de casacas de varones que ven- dió y si obtuvo una ganancia total de $11 400, ¿cuántas casacas de damas vendió? 12. ECUACIÓN DE PRIMER A) 800 D) 900 GRADO B) 1000 El. 20 E) 1100 Pregunta N.* 62 (UNMSM 2017-II) cuando x=1; y=1/3. C) -29 120 Pregunta N.” 58 (UNMSM 2011-1) Una agencia de viajes ofrece un tour al sur de Lima. Primero visitarán la ciudad de Ica y recibirá a nuevos soles por cada camisa bien E: ; , . p : luego se irán a Chincha, donde pasarán tres lavada y pagará b nuevos soles por cada camisa dias más que en lca. Además, descansarán mal lavada. Si recibió m nuevos soles en total, dos días en Paracas. La agencia ofrece dos Plata dura nueve días y el Paquete Oro dura Una joven debe lavar n docenas de camisas; 12an —m B) m+12an o m-m A) = , b once. ¿Cuántos días, respectivamente, pasarán des e ii en Chincha según el Paquete Plata y cuántos p, Man E) 12am-n días según el Paquete Oro? 12a+b a+b A) 5 días y 7 días D) 5 días y 6 días B) 6 días y 7 días E) 2 días y 3 días C) 4 días y 5 días Pregunta N.*? 59 (UNMSM 2016-1) El martes, Juan tiene cierta cantidad de naranjas para vender durante la semana. MEASJEI=,)00/9= 00 al0 llas Cada día siguiente, a Juan le queda para la MMS venta un quinto de la cantidad de naranjas del día anterior. El viernes, tres días después, Pregunta N.? 63 (UNMSM 2010-II) le quedan 10 naranjas. ¿Cuántas naranjas tuvo Juan el martes? Halle el conjunto de valores reales de m para los A) 1250 B) 1500 C) 1750 cuales el sistema D) 1350 E) 1400 omx-2y=5 Pregunta N.? 60 (UNMSM 2016-1) |-8x+(m-Dy=1 Un alambre de 48 m se corta en tres tiene solución única. a, partes; la segunda pieza mide tres veces la AJ R D) R-(2;3) longitud de la primera y la tercera mide B) 1-2;3) E) (-2) cuatro veces la longitud de la segunda. C) 43) ¿Cuánto mide la tercera pieza? | 9 | ALGEB RA EL CACHIMBO Pregunta N.* 64 (UNMSM 2011-1) A) S/. 800.00 3 Si el par (1; a) es solución del sistema: B) S/. 960.00 3 dj =k C) S/. 920.00 “ Oo 5x+y=k-2 D) S/. 840.00 3 Halle el valor de a. E) S/. 940.00 o A) 2 B) 5 C) -2 D) -5 E) 1 Pregunta N.? 68 (UNMSM 2012-11) 3 Pregunta N.* 65 (UNMSM 2011-11) SixXo, Yo Y Zo son tres números reales que - El sistema de ecuaciones lineales satisfacen el sistema de ecuaciones > x+y+z=2 2. y+3z=5 o ax+by+z=4a 3x+ y+ z =0 o+fy+a=0 x+3y+2z=6 tiene la solución única (xo, Yo, Zo) donde halle el valor de xf +yó +25. Yp=0. Halle la relación correcta entre a y a. A)4 Bp2 C)12 D)6 E) 8 A) dau=a+w D) aa=2a+20a C) Sau=a+u B) 200=a+0 E) aau=da+4a Pregunta N.* 6 9 (UNMSM 2012-11) Roberto compró libros y cuadernos por Pregunta N.* 66 (UNMSM 2012-1) S/.8 y S/.5 cada uno, respectivamente, pagando un total de S/.59; y Alberto compró las mismas cantidades de libros y cuadernos, cuyo costo fue de S/.5 y S/.8 Si el siguiente sistema de ecuaciones tiene solución única erkyeres cada uno, respectivamente. pagando en EA total S/.71. Halle el número total de "ky +21 artículos comprados por ambos. halle los valores reales de k. A) 10 C) 14 D) 16 A) ke R-(2+1) D) ke R-1-1) Bj) 20 E) 22 B) keR E) ke R-(0) C) ke R-11) Pregunta N.” 70 (UNMSM 2013-1) Pregunta N.* 67 (UNMSM 2012-1) Si el par (x,, y1) con x=y, es la única solución del sistema lineal Una playa de estacionamiento, de forma b 11 rectangular, tiene un área de 1200 mf? y MAY ES a+b puede atender, diariamente, un máximo de cx-dy=1; d* ce, halle el valor de d-=c 100 vehículos, entre autos y camiones. Si la 1 0 A región rectangular reservada para cada auto A) 11 B) -11 C) 1 D) -10 E) 12 es de 10 m? y para cada camión es de 20 mé, ¿m0 a siendo la tarifa diaria de S/. 8.00 por auto y S/. 15.00 por camión, ¿cuál sería la máxima recaudación diaria? 10 SOLUCIO Pregunta N.*? 71 (UNMSM 2013-1) Si se verifican simultáneamente las ecuaciones 3Ix+y+4 = 0,3x-z+2=0 y 32y+2=0, halle el valor de: (x + y)? ad (y +2)? ss (2 +xJ9 Z x y A) 24 B) 3 C) -27 D) 3 E) 18 Pregunta N.? 72 (UNMSM 2013-1) La figura representa balanzas enequilibrio, en las que se han colocado pesas cónicas, cúbicas, cilíndricas y esféricas, de igual peso en cada clase. Determine el enunciado verdadero. A) Una cúbica pesa menos que una cilíndrica. B) Dos cúbicas pesan igual que una esférica. C) Dos cúbicas pesan más que una esférica. D) Una esférica pesa más que dos cúbicas. E) Tres cúbicas pesan igual que una esférica. Pregunta N.” 7. (UNMSM 2015-11) Halle el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales en las variables x, y, z. ox-2y+z=1 2x-3y-z=2 =x+y+2z=-1 A) ((1; 0; 0)+t(5;3; 1)/teR) B) ((1; 0; 0)) ÁLGEBRA [a D) ((1; 0; 0)+t(5; 1;1)/teR) E) ((1; 0; 0)+t(5; 1;3)/teR) Pregunta N.* 74 (UNMSM 2016-11) Dado el sistema 3x+2y =m+2 2x- 3y = 2m-1 ¿qué valor debe tomar m para que el valor de x sea el doble del valor de y en el sistema? A) 3/2 B) 2/5 Cc) 2/3 D) 5/3 E) 4/3 Pregunta N.* 75 (UNMSM 2016-11) Dado el sistema ox+y=0 2y+2=-5 =x+z=-3 halle el valor de x+y+z. A)1 B)0 C)2 D)-1 E) -2 Pregunta N.* 76 (UNMSM 2017-I) Dado el sistema de ecuaciones en x e y, 2x + ky =-k x-y=1 ¿qué valores debe tomar k para que el sistema tenga infinitas soluciones? A) 2 B) 1 O 5 NS D) 1 MAS o [TO a C) t(5; 3; 1)) 11 | ÁLGEB RA AMOO INTO Pregunta N.? 77 (UNMSM 2017-11) Un restaurante tiene m mesas de 4 sillas, n mesas de 6 sillas y p mesas de 8 sillas. El día de la inauguración se llenaron todas las mesas con 152 comensales, al día siguiente se usaron TA n+ , > it 3 HE mesas y en el tercer día se usaron m n + E + ÓN E mesas. ¿Cuántas mesas tiene el restaurante si se sabe que el segundo y tercer día usaron 11 y 9 mesas, respectivamente, y no agregaron ninguna mesa desde la inauguración? A) 26 B) 24 C) 28 D) 32 E) 30 Pregunta N.* 78 (UNMSM 2017-11) Una fábrica de productos alimenticios tiene dos tipos de camiones. Los camiones tipo Á tienen 20 m? de espacio refrigerado y 40 mY no refrigerado, y los camiones tipo B tienen 30m9 de espacio refrigerado y 30m? no refrigerado. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe emplear la fábrica para transportar 900m* de productos refrigerados y 1200m* de productos no refrigerados? A) 10de A y25 de B B) 15deA y 20 de B C) 15 de A y 10 de B D) 35deAy5deB E) 20de A y 15 de B Pregunta N.? 79 (UNMSM 2017-11) La municipalidad ofrece una tarifa especial de S/ 0,5 en los buses de un nuevo corredor vial durante la primera semana. La demanda de pasajeros es máxima por cada bus y estos tienen capacidad para 120 pasajeros. A partir de la segunda semana se aprecia que, por cada incremento de S/ 0,5 en la tarifa del pasaje, 5 pasajeros dejarían de usar cada bus. 12 E) Halle la ecuación que determina la relación entre el precio del pasaje p y la demanda de pasajeros q por cada bus. A) 20p+110=q B) 20p + q=130 C) 10e+115=q D) 10p+g=125 E) 30p+q=135 RA AI aos NO LINEALES Pregunta N.? 80 (UNMSM 2010-1) Si x e y son números enteros positivos que satisfacen las ecuaciones Xy Y E x+y = xy-x-y=9, halle el valor de 13x+9u. A) 105 B) 104 Cc) 103 Dj 102 E) 106 Pregunta N.*? 81 (UNMSM 2011-11) La suma, el producto y el cociente de dos números son iguales a K. Halle K. A) 0 B) > cy 1 D) - E) “> Pregunta N.” 82 (UNMSM 2012-11) Si x/% 4 yl = 30 Ea _yV4_ 24 Halle el valor de Yx - —L 4 Vx ) 27/5 So o B) 80/9 Eo op C) 92 LD D) 82/3 83/9 ÁLGEB RA Pregunta N.*? 83 (UNMSM 2014-T) Xx Z om BM Y Si = Xx +y "X+ZO yz =5s, donde m, n, s MANO 0 O Cia alo Halo Pregunta N.” 86 (UNMSM 2016-11) son números positivos con m * A halle el Halle el valor de k, de modo que las raíces valor de z. A) 3mns mn + ms =- ns B) 2mns mn + ms -—ns C) dmns mn + ms — ns D) mms 2 (mn + ms - ns) E) mas 3(mn + ms — ns) ox ys ua de ¡e 9/ u1 09 "1 93 31 M] Pregunta N.* 84 (UNMSM 2014-1) Dado el sistema de ecuaciones, determine el valor de x. 1,11 x y 12 1,11 yz 20 1,11 x z 15 A) 15 B) 20 C) 60 D) 30 E) 25 Pregunta N.” 85 (UNMSM 2016-11) Sean x e y dos números positivos que satisfacen las condiciones e Vx - yy =8 determine el valor de yx + y. A) 10 B) /8 C) 9 D) 418 E) 410 de la ecuación (x+1)(x+2) -(k+2)(x+2)=0 sean iguales. A) B) -1 C) -3 D) -4 E) 1 Pregunta N.” 87 (UNMSM 2009-11) Si las ecuaciones x-kx+10=0 y x“-(k+1)x+12=0 tienen una raíz común, la suma de las raíces no comunes es A) 9 B) 13 C)8 D) 11 E) 10 Pregunta N.” 88 (UNMSM 2010-11) Para que en la ecuación px"+10x-2=0, una de las raíces sea 1/8, el valor de p debe ser A) 64 D) 69 B) 48 C) 36 E) -1/3 Pregunta N.? 89 (UNMSM 2011-11) A) x+(p*-2q)x+g?=0. B) -(2q-3p*)x+q=0. C) 2-(2p-3q%x+p*=0. D) -(2p-q*)x+p=0. E) +[2q-p*)x+q*=0. Pregunta N.? 90 (UNMSM 2012-11 Si la suma de los cuadrados de tres números impares, positivos y consecutivos es 155, halle la suma de los tres números. A) 21 B, 43 O31 ts ICAO EL CACHIMBO Pregunta N.* 91 (UNMSM 2012-11) Pregunta N.? 95 (UNMSM 2016-11) Si una raíz de la ecuación (n+ 1)02+ 2x)=(n+3)(3x+5) Si (a — 1, a) es el conjunto solución es la inversa aditiva de la otra, halle el valor de la ecuación 2x% - (P + 3) x - P + 5/4, de n. halle el producto de todos los posibles A) -6 B)-7 C)7D)5 E) 6 valores de P. Pregunta N.2 92 (UNMSM 20141) % ? B) 8 En la ecuación ax “+bx+c=0 donde Os ax*0yczx0, una de las raíces es el D) 14 p? doble de la otra. Halle ac Ej) -10 Pregunta N.” 96 (UNMSM 2016-11) A) 2,5 B) 3,55 C) 4,5 D) 1,5 E) 5,5 Las raíces de la ecuación 2x“-bx+c=0 Pregunta N.* 93 (UNMSM 2015-1) suman 6 y el producto de las raíces de la Si a y b son las raíces de x+14x -1=0; c ecuación y d son las raíces de x+17x+2=0, halle bx? de ES = 0 es 4. el valor de abc+bcd+cda+dab. 4 A) 17 Halle la suma de las raíces de ambas B) -45 ecuaciones si se sabe queb+*0ycx0. Cc) -11 A) -10 B) -2 Cc) 2 D) -28 D) 8 E) 10 E) 31 IA ao NADO ANDO Pregunta N.? 94 (UNMSM 2015-1) SUPERIOR Las raíces de la ecuación AXÉ+Bx+C=0, Pregunta N.* 97 (UNMSM 2011-1) donde A + 0, son r y s. Halle el valor de P para que las raíces de la ecuación 14+Px Sta, bye son mlees de la ecuación +0=0 sean r 2 y sé. x-pxé+qx=r=0 donde r +0, halle el valor de ee 2_ A) PA B) A E A A a y e B*-2C a? +2pr a? -2 a? -2p AAA A) AA 2AC - B? 20 - B? Pd OS o y 15 14 | PREGUNTA N.* 98 (UNMSM 2011-1) Sea a 2 +/5. Indique el polinomio cuya raíz es al, A) x2+45x+1 B) x*-2x+2 COC) +. 2x4 4/5 DI) x*+.Bx+ 12 E) 2-14x+9 Pregunta N.” 99 (UNMSM 2012-1 Si las cuatro raíces de la ecuación x*-30+(m+1)2=0 están en progresión aritmé-tica, halle la suma de los valores de m. A) -10 B) -2 C) 8 D 2 E) 18 Pregunta N.” 100 (UNMSM 2012-IT) Si la gráfica de la función real f)=é-x+b corta el eje X, en el único punto (a; 0), indique las relaciones correctas que cumplen a y b. A) la 28 ,p- al1-a?) 243 B) |a|> ba (a? -1) Cc) [al><:b=al1-a?) D) [al<¿:b=ala?-1) E) la]> ES, b=al1-a?) Pregunta N.* 101 (UNMSM 2013-11) Sia, b y n son números enteros positivos y la solución positiva de la ecuación bx"-1- a=0es 15 | 1,1/n . JA (2+ b) , halle: y? NE] 2/2 a + B) c) o) E P a ] E) Pregunta N.* 102 (UNMSM 2013-11 Con el valor de n obtenido de la igualdad gn+l ¿3n+2 ¿3n+3 ¿gn+ = 120, halle la suma de las raíces de la ecuación x3 (27 +1)x?-n=0. A) O B) 2 D) 3 Ni E) -2 Pregunta N.* 103 (UNMSM 2016-1) Halle la suma de las raíces del polinomio de menor grado con coeficientes racionales, sabiendo que 3 y 2 + vb son raíces de dicho polinomio, donde b es un número racional, pero /b no. A) 5+vb D) -5-yb Pregunta N.* 104 (UNMSM 2016-1) B) -7 O 7 E) 5 Dos cuerpos se mueven sobre el mismo camino en función del tiempo de acuerdo a las relaciones py ()=3P +3 +2é -1+2 polt)= 35+2+72-81+5 *' eJ0jál Siendo py(t)y polt) los espacios recorridos en el tiempo £ (en metros y segundos respectivamente). Si al cabo de cledo: 1 tiempo recorren la misma distan: la, halle esta distancia. E Ñ 10010 A) 9m B) 7m C) 8,5 m D) 6m E) 11m ÁLGEBRA EL CACHIMBO Pregunta N.* 105 (UNMSM 2016-11) a By Bra yrab la ecuación cúbica 1%-5x+6=0. Halle D = ¿sia P y y son las raíces de C) -1 E) 3 A) 1 B) 2 D) 0 Pregunta N.* 106 (UNMSM 2017-1I) Sea el polinomio P(x)= x3 — 6x? +11x — 6 tal que una de sus raices es 3. ¿Cuál es la suma de las otras raíces? A) 2 B) 0 a 3 DJ 3 ES Pregunta N.* 107 (UNMSM 2017-1 Dada la ecuación (t-1)4+4(t-1)9+11(t-1)2+14(t-1)-8=0, halle la suma de sus raíces reales. A) 2/2 B) -2/2 C) 0 D) 247 E) -247 NAAA RANGO Y DE GRADO SUPERIOR Pregunta N.* 108 (UNMSM 2011-11) Sean x e y dos números positivos. E x—y si [E a/z 1, halle a 16 8 15 Al y Dl 13 Ej 2 B) 16 8 Pregunta N.*? 109 (UNMSM 2013-1) Halle la suma de las soluciones reales de la ecuación 5 2 5 3-9 1)% +(x-1)% =0. A)1B)7C)6D)9E)5 SISTEMA DE INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Pregunta N.* 110 (UNMSM 2014-1) Dado el sistema de ecuaciones ¡E = y? 16x y?-1=5(x-1) si: x40 y x>y, halle el valor de la expresión pai E A) FT B) A C) -% D) -% E -Á 18. INECUACIONES Pregunta N.? 111 (UNMSM 2009-II) Juan vendió 1000 libros y le quedó más de la mitad de los que tenía al inicio. Luego vende 502 libros y le queda por vender menos de 500 libros. ¿Cuántos libros tenía Juan al inicio? A) 2005 B) 2001 D) 2007 C) 2002 E) 2003 Pregunta N.* 112 (UNMSM 2010-1D) De un concurso de baile se retiraron 20 participantes y quedaron más de la tercera parte del total. Si se hubieran retirado 5 más, quedarían menos 7 participantes. ¿Cuántos participantes había inicialmente? Aj) 34 Bj) 30 C) 32 D) 33 El. 31 Pregunta N.* 113 (UNMSM 2014-11) Roberto tiene menos de cinco caballos, pero tres caballos más que Pedro. Si Pedro tiene un caballo menos que Juan, halle el número total de caballos. A) 6 B) 5 C) 8 D) 9 E) 7 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Pregunta N.*” 114 (UNMSM 2011-1) Sib>0,04<b y se, determine vb +a, A) 2a D) 2vVab B) 3a C) 2b E) 2 ÁLGEBRA TT Pregunta N.* 115 (UNMSM 2011-11) Halle el conjunto de los números reales x, tal que la suma del número x y su inverso multiplicativo sea mayor que 2. A) lxeRíx>0nx=>=1) B) (tx eR/x> 15) C) fx eR/x< 1) D) (x eR/x<-1) E) (x eR/xz=0) Pregunta N.? 116 (UNMSM 2011-11) Halle el mayor número real r que satisface la relación r < 2 + 4x+6, Vx e R. A) -2 B) 2 Cc) 0 D) 1 E) -1 INECUACIONES CON IRRACIONALES, DE GRADO SUPERIOR Pregunta N.* 117 (UNMSM 2011-11) Halle el conjunto solución de la inecuación 2**42%-4_1)<2*-16. A) (1,16) D) (2, 8) C) (0,4 B) (0, 16) 1 E (4, 64) Pregunta N.* 118 (UNMSM 2013-11) Halle la suma de las soluciones enteras de la inecuación 2 ES 29 x*-1 ¿a AJ5 BJ1 CO DJ4 EJ3 y IÓN EL CACHIMBO Pregunta N.? 119 (UNMSM 2016-11) IO NO JRO LLO Si se sabe que el conjunto solución de la inecuación 3Ix-2 2x-3 determine mine el valor de b-a. a 3 6 3 2 < O es un intervalo de la forma (a; b), 5 B) 6 C) D) E) (o 0| t o to ] un Pregunta N.* 120 (UNMSM 2017-1) Halle el conjunto solución de la inecuación £ el, X A) R-][0;2> B) R-(-0%3] C) <-=02> D) R-<l;¡2> E) (-a;5) Pregunta N.* 121 (UNMSM 2017-11 Sean a,b,x,y números reales tales que al+b? =4 . x2+y? =8. Halle el mínimo valor que puede tomar la expresión F=ax+by A) -6 B) -4/2 C) D) E) -2-2/3 _16 3 13 2 18 Pregunta N.* 122 (UNMSM 2010-1) Dada la ecuación 2 sy e halle la 2 2 suma de sus soluciones. 3 3 11 A)-1 B)-2 €) - - Pc ) ) ) 4 D) a E) z Pregunta N.* 123 (UNMSM 2010-11) Halle el conjunto solución de la ecuación (Jx]+1994-5=+2 > (Jxp+n” A) a o (4 +=) » (39 Cc) (4; + 00) Pregunta N.? 124 (UNMSM 2010-11) Halle el conjunto solución de la ecuación 13x+2| -|x-1|=2x+3 A) (1; +0) a [5 +) Ir ÁLGEBRA ¡AMOO 000 D) -3jo[t+=) E) fx +=)-(5| Pregunta N.* 125 (UNMSM 2011-11) Halle la suma de los valores de x que satisfacen la ecuación 21x+3]-3|x-6|+|x-15|=x+6 A) -3 D) -15 B) -7 E) 18 Cc) 10 Pregunta N.* 126 (UNMSM 2012-1) Si el conjunto solución de la inecuación laa » AMP 2 a es <-«, alu[b, + o>, halle (b - a). A) 2 ) a 4 D) 5 B) 6 E 7 Pregunta N.* 127 (UNMSM 2012-1T) Halle el conjunto solución de la inecuación Ix| +? > 0 A) (1; 0) U (0; ao) B) (-1; 0) u (1; 00) C) (9; -1) U (0; 00) Pregunta N.” 128 (UNMSM 2012-11 Halle el valor solución de la inecuación: Ji8el> 43 A) <-1;1> B) <-3;3> D) (-1; 0) u (0; 1) E) (00; 0) U (0; 00) D) <-1;0> E) <5,1> Pregunta N.* 129 (UNMSM 2013-11) Halle el conjunto solución de la inecuación dx-1|+Ix-2).(1-x|-12-x)>x?%-6 A) <-28] D) [3,0> B) [-1;3] E) <-—x,-1] u [3,0> C) <-<,l] Pregunta N.” 130 (UNMSM 2013-ID) Halle el conjunto solución de la inecuación x2+2 8 <15, parax > 0. Xx 5 5+423 8) El 2 B) 25/21 pa ( a" 2 25-421 a (232,5) 1 D) (1 ] E 0 pa] : 2 Problema N.* 131 (UNMSM 2014-1) Halle la suma de las soluciones enteras de las a [hs ecuaciones 5D), A yl A 7 Le [1 2-5x+15| -2+8| =|3x+9], papa esco A) 16 19 aci EL CACHIMBO B) 25 2d 1 2 C) 30 A) 9 B) 4 C) 2 D) 31 E) 32 D) y2-2 E) 1 2 2 Problema N.* 132 (UNMSM 2014-11) Problema N.* 136 (UNMSM 2017-11) si 2 "Y donde m y n son constantes 1 +Inx] 1 +|myl Halle el conjunto solución de la e ' . . siguiente inecuación. positivas, determine la expresión equivalente aP(x; y)=m y —m*y-néx+n. + 2x2|x+11+2 2lx+1/+2 0 Ix+11é-4 - A) mn -(m+n)x+n? B) n2é-(m+n)x-1 A] <a, 2>u<2,+0> B) <-3,1> C) nP1-(m+n)x + mnx? ] C) R-(-2,0) D) <-9,3>uU<l,+0> D) nimx? -(m+n)x +2] E) R-(31) E) mné-(m+n)x+1 Problema N.* 137 (UNMSM 2017-11) Problema N.* 133 (UNMSM 2014-11) Sean m y n números reales positivos tales que Para todo x en el conjunto solución de la MX%n, soÉ, el. Halle el valor de x inecuación |1 — x|< 1, indique el intervalo al en la ecuación |mx+p] = |nx+ q]. que pertenece 1 — 2x. A) ZP m> mn A) 10,2) B) (4,0) C) (0,4) g pta D) (2,2) E) (-3,1) men e p+q Problema N.* 134 (UNMSM 2015-11) m-=n =+ El intervalo [a; b] es el conjunto solución de D) a la inecuación |14x-16-2 1%] <2x+2. Ey - p+q Halle a+b. mA A) 4 B) 8 Cc) 10 D) 14 E) 12 Problema N.* 135 (UNMSM 2015-11) Si Ja|?+ |b]2=1 y (a+b)?=2, halle el valor E de Jab. : 20 ÁLGEBRA EL CACHIMBO IED NAAUNal0l DE PRIMER GRADO Pregunta N.? 138 (UNMSM 2010-11) Si x ( e0; 7), entonces encuentre la suma de los extremos del intervalo al que pertenece: 5-x x+3 Ap 22/15 B) 28/15 C)) 8/8 D) 1/6 E) -1/6 Pregunta N.* 139 (UNMSM 2010-II) Determine el menor valor entero que puede asumir x si satisface simultáneamente las inecuaciones y-3x-2=<0 y-x-1>0 Ay —2 B) -1 E) O Cc) 1 D) 2 Pregunta N.* 140 (UNMSM 2013-11) ¿Cuál es el sistema de YA inecuaciones cuyo 6 - conjunto solución está 4- representado por la región triangular sombreada en la figura? A A] x<6,x<yx24+y B) x26,x<y x+y<4 C) x<6,x2>y,x+y24 D) x<6,x<y,x—-y>-4 E) x<6,x<y0O< x+y<4 Pregunta N.* 141 (UNMSM 2014-II) Resolviendo el sistema en 2: 7+x<3y x+52>2y 4d>y calcule x+y. A) 3 B) 4 C)5 D)6 E) 2 Pregunta N.* 142 (UNMSM 2015-11) Halle la región determinada por el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones. * +y<5 z>0 | y>0 A) Región exterior al triángulo de vértices (0; 0), (0; 5), (5; 0) B) Región interior al triángulo de vértices (0; 0), (0; 5), (5; 0) C) El triángulo de vértices (0; 0), (0; 5), (5; 0) D) El primer cuadrante E) Región por encima de la recta definida por x+y=5 PreguntaN.? 143 (UNMSM 2015-11) En el gráfico, la región sombreada representa la solución de «un sistema. de inecuaciones. Indique el sistema, (10 LA] p e $ a as LAA al 7 ÁLGEBRA MONO INE 0) Y A) -26 Bj) -29 C) 30 y =x D) 15 E) -12 Pregunta N.? 147 (UNMSM 2011-1) La tabla adjunta muestra parte del (1,0) dominio y rango de una función lineal f. clara 8 | b A) ys<x,0<x<1,0<ysl fo) | 10 a 28 | 37 B) y>x,1>x>0,1>y>0 C) y>x,1>x>0,1>y>0 D) x+y>0,1>x>0,1>y>0 A) 30 B) 25 C) 40 D) 45 E) 35 E) x+y<20,x=0,y>0 La suma de a y b es Pregunta N.*” 148 (UNMSM 2011-II) Pregunta N.* 144 (UNMSM 2016-1 Y ( ) La suma de las coordenadas de los Halle la suma de los enteros que verifican puntos de intersección de las gráficas simultáneamente las inecuaciones: , e de las funciones f y q, definidas en el c4dx-—5 3 conjunto de los números reales =x+ fo =2-2x+3 = _X O ab Mo3tl es A) 31/4 B) 31/3 C) 41/4 A) 20 Bj) 19 C) -18 D) 41/3 E) 33/4 D) -21 Ej 22 Pregunta N.? 149 (UNMSM 2011-11) OE — Seaf:(-2,7]>R la función definida por f(x) =5 —|x-1 |. Halle elrango de f. Pregunta N.* 145 (UNMSM 2010-1) A) (2, 1) DEFINICIÓN, DOMINIO Y RANGO Halle el rango de la función f(x)=- 4+2x, E) Eta | a Es y C) (2, 6] sabiendo que su dominio es igual al D) [1,5] conjuntos de los números reales. E) (-1,2] A) (-0:07 B)(=o1) C) (-0;0) . . D) (0; co) E) (o; 1] Pregunta N.* 150 (UNMSM 2011-11) Sif R > R es una función DT Pregunta N.* 146 (UNMSM 2010-11) que satisface las condiciones Ie Kay==2y4g==4, hala Sea f(x) una función, cuyo gráfico es una recta. 800 =Í hm +Í- 1) Si 1(4)=7 y 1(3)=1, determine f(-2). 22 CIA TN A) 9) = 2 +4x+1 16 B) 49, = A +4x C) 8 = A —-4x D) gi = e +4x-1 8 8 E) 31%) =-¿ +2 + Pregunta N.*? 151 (UNMSM 2012-1) Si los puntos (0,0) y (1,-9) pertenecen a la oráfica de la función cuadrática f(x) =m(x -2*-p, halle m+p. A) 10 D) 18 B) 16 C) 12 E) 15 Pregunta N.* 152 (UNMSM 2012-1) Halle el mínimo valor de la función 2 169 = sI e RR. vz Y2 a 5 Bl c) 6 y2 3 A Pregunta N.” 153 (UNMSM 2014-I) Dada la función 1d= 3x(Yx +1+ 1) parax+*0 y x*-2, halle fl10%) 1 A A 01 +1+1 B) D i n E (x +1) Dl DE Yx +14 1) AMOO IO iO) al )y A 1 ) 000 101% +1 1 E — ) 27 Pregunta N.* 154 (UNMSM 2014-11) x+4 Sea f:[-1; 2] > R definida por f¡., = +2 Halle la suma de los elementos enteros del rango de f. A)5 B)1 C)6D)2E)4 Pregunta N.* 155 (UNMSM 2016-1) ¿A cuál de las siguientes funciones corresponde el siguiente cuadro de valores? x Flx) 23 | 0 3 1 6 2 9 A) Fb)=9+1 B) Flx)="+3 C) Flx)=-3x+6 D) Flx)=2-7 E) F(x)=3x+3 Pregunta N.” 156 (UNMSM 2016-1) Determine el dominio de la siguiente función real de variable real SOLUCION: B) (-F:2]U 13; +00 > Cc) <-0;2]U IZ; +00 > D) (oo; -SJut2, Ls E) (=00¡- 2)u ($5 +00) CLASES DE FUNCIONES PREGUNTA N.?* 157 (UNMSM _2011-IT) Halle el área de la región determinada por el gráfico de la relación R=|(x, y)eR?/Lx1* y? /1=x2). A) 3 u? B) r u? C) 41 u? D) = u? E) 2n u? Pregunta N.*? 158 MSM 2011-11 Halle el área de la región limitada por el gráfico de la relación R=((x y) € R?/x= ly] w x=5). A) 20 u? B) 30 u? C) 25 u* D) 15 u? E) 12,5 u* Pregunta N.* 159 (UNMSM 2011-11) Sea la función real f(x)=x? +1 con x20. Si g es la función inversa de f, halle g(3). 3/2 B) 2/3 43 +1 42 D) Y3 3 C) 24 | ÁLGEBRA e Pregunta N.* 160 (UNMSM 2014-1) Halle la suma de los valores enteros de n tal que el gráfico de la función fo) =9WÉ - 6nx+n+12 no interseca al eje de las abscisas. A)5 B)-3 C)3 DO E) 1 Pregunta N.* 161 (UNMSM 2015-11) Halle la suma de las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de las funciones, Y= fi =2%90 43-2%, xER y=9p) =4-4:2%,x E R. A) 2 B) 3 D) 6 Cc) 1 E) 7 Pregunta N.* 162 (UNMSM 2015-1) Dada la función f;,, =+5,xER, halle la función inversa de f. A) dx-5,x* 5 B) Yx+5, xeR C) %x-5, xeR D) dx+5, x>-5 E) Yx-5, x* R Problema N.? 163 (UNMSM 2015-11) Dadas las funciones reales Íix3 =(x — 12, x+lix>-1 81x) = cal Rk-—kx=-1 de las ordenadas de los puntos de intersección. GAO 19 A) 4 B) 5 o 8 D) 3 E) 10 ÁLGEBRA ¡AMO OA II Problema N.” 164 (UNMSM 201 6-1) Si R es el conjunto de los números reales y se tiene los siguientes conjuntos: A=((x; y) e R?/xP4+y2>5%) B=((x; y) e R?/y>x) ¿cuál de los siguientes gráficos representa AnB? A) 1 D) IV B) 1 Cc) IM E) V Problema N.” 165 (UNMSM 2016-11) Miguel dibujó la gráfica de una función f, la cual está formada (de izquierda a derecha) por la recta y = x +3 con x <-1 y los segmentos AB y BC. Halle la suma de las soluciones que tiene la ecuación f (f (x)) = O e A) 10 O 12 D) -6 B) 3 E) -16 Problema N.* 166 (UNMSM 2017-1) Dada la función f(x) = 3-|x-2] W x e R, determine el intervalo máximo donde la función es decreciente. A) <-=;2] B) [24 wm > C) <5¡+ m> D) <2;+0> E) <-—=;3] Problema N.* 167 (UNMSM 2017-1 Sea la función f: [-1;5] —> R definida por x2—=dx,-1<x<5 5558 f(x) =35 gx Determine en cuál de los siguientes intervalos la función f es inyectiva. A) [0,4] B) [4,8] C) [-1,8] D) [1,5] E) [0,8] Problema N.* 168 (UNMSM 2017-I En una determinada empresa se-fabrican X unidades de un artículo y la función utilidad. en miles de soles, es dada por = A Ulx) = -x? +10x-16, Determine. la lidad máxima de la empresa. 25 ÁLGEBRA ¡AMO NOA IO S/ 18000 5/11 000 S/ 9000 S/ 7000 S/ 12 000 Problema N.* 169 (UNMSM 2017-11) Sean f(x) =x% y a[x) funciones de variable real. Si g es una función tal que flalx)) =x9-6x? + 12x-8, halle a(2x + 1). A) 2x+2 B) 2x-1 C) 2x+1 D) 2x E) 2x-2 Problema N.* 170 (UNMSM 2017-11 El camino recorrido por una persona se representa por la gráfica de la función f(x) = 3|x-2|] +7, con x e [-1,6] en el plano XY. Si cada unidad en los ejes X e Y representa 1 km, halle la distancia recorrida una sola vez por esta persona. A) 7/10 km B) /58 km C) 24/29 km D) 54/10 km E) 1045 km 22. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Problema N.* 171 (UNMSM 2010-1) En la siguiente progresión aritmética, m es un entero positivo. sia ¿113 (n+1) términos (3n+1) términos mr, ¿Cuál es el máximo valor de n—-m? A) 112 B)21 C) 79 D) 100 E) 50 26 Problema N.* 172 (UNMSM 2011-11) Si el segundo y el noveno término de una progresión aritmética son Y y 28, respectivamente, halle el vigésimo término de dicha progresión. A) 64 B) 61 C) 58 D) 53 E) 57 Problema N.* 173 (UNMSM 2013-11 Las edades de 6 hermanos, cuya suma es 108, se encuentran en progresión aritmética. Si hace 4 años la edad del cuarto hermano era el triple de la del menor, ¿qué edad tenía el mayor cuando nació el menor de ellos, «si sus nacimientos coinciden en el día y el mes? A) 20 B) 28 €) 32 D) 24 E) 22 23. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Problema N.* 174 (UNMSM 2009-11) La suma de tres números positivos que forman una progresión geométrica es igual a 35. Si a estos números les restamos 1, 2 y 8, respectivamente, los nuevos números forman una progresión aritmética. Determine la suma de los cuadrados de los números originales. A)635 B)517 C)525 D) 475 E)565 Problema N.* 175 (UNMSM 2010-11) La suma de los n primeros términos de una n+1 Halle 7? progresión geométrica es 21- OT: veces la cuarta parte del sexto término de esta progresión. JN pr A) 30 a 3 DAR C) 2(3 B) 3 ) 23) E) 3(2%) ICI EL CACHIMBO 24. SUCESIONES Y SERIES Problema N.* 180 (UNMSM 2016-11) Problema N.* 176 (UNMSM 2010-1) Sea : m—3r 211 _" 1-5 si al 1 1 1 S 77-617 %)=7*"", calcule el valor S= 3x6 + 6x9 + 9x12 +... + 300x303 de la expresión 7 z z halle el valor de S. E —————_——+ iri—=r) (1-r)j(2-r) (48 —r)(49—r) dE 10 A 01 3 DJ 309 A) 7/5 B) 87/98C) 45 4 O 309 100 D) 48/49 E) 49/50 B) 303 El 309 Problema N.* 177 (UNMSM 2011-11) A 25. LOGARITMOS Y FUNCION Si la suma de los dígitos del número abe AAN es 9, calcule Aa DEFINICIÓN, COLOGARITMO, Z,obe + 2,00b + Y, bea. ANTILOGARITMO A) 909 n Problema N.* 181 (UNMSM 2012..) B) 989 n Sip,q,reR”,y C) 969 n ; ; ; D) 979 n = + + +1, E) 999 n log, (pq)+1 log¿(pr)+1 log, (qr)+1 Problema N.* 178 (UNMSM 2016-11) halle el valor de E. A) 1 B) 15 a) 2 En la sucesión D) 3/5 EJ 3 ay = -1, as=0, az=5, ag=14, as =27,.... ! Problema N.* 182 (UNMSM 2012-1) halle a93 A) 780 C) 679 D) 660 Si x=1l08, 37 81, halle el valor de x. B) 779 E) 656 3 7 Problema N.* 179 (UNMSM 2016-11) Y 3 Sea 1l; 4; 9: 16; ... la sucesión de los cuadrados B) a de los enteros positivos. Si el número 8?” es o) q un término de esta sucesión, ¿cuál es el 7 término de la sucesión que sigue después de 4 ; 310 D) 3 : A) (841 B) (8 Cc) (8% E 544312 512 E) D) (8"+1) E) (8%+1 3 27 ÁLGEBRA AMOO DO Problema N.* 183 (UNMSM 2012-11) Si . M =10g yz V2 +log ¡5 2+l0g37 2 +10 2+...+ +log 295 2 halle el valor de M. A) 231 D) 222 Bao AP E) 215 Problema N.” 184 (UNMSM 2012-11) Halle el valor de M=in(5 +2) +m(3)+...+ (100) A) -3In110 B) -3In101 C) -n(1x2x...x101) D) -3In(1x2x...x101) E) -In101 A Problema N.* 185 (UNMSM 2012-11) Si x=logo(loga4(logg64)), halle el valor de 3g1+x y 31-x A) 6 B) 7 Cc) 8 D) 10 E) 9 ECUACIONES LOGARÍTMICAS Problema N.? 186 (UNMSM 2009-11) Halle la suma de las raices de la ecuación log +log,4-3=0. A) 5 B 4 Cc 8 D) 6 E) 7 Problema N.* 187 (UNMSM 2010-11) Halle el producto de los valores de x que satisfacen la ecuación 28 log*sx-5logx+6=0 A) 12 D) 32 B) 6 C) 30 E) 5 Problema N.* 188 (UNMSM 2011-11) Si 2(4*)-3(2%) -20=0, halle el valor de log,(4*). A) 2 B3 043 D) 8 E) 16 Problema N.* 189 (UNMSM 2011-1l si 2Y+145.2Y=12, halle 2(y+1) A) log23 B) 3log»5 C) log29 D) 7log77 1 Problema N.* 190 (UNMSM 2012. Halle el producto de las soluciones de la ecuación y B+log y)=1p6 A) 10% D) 10% B) 10% Cc) 10 E) 103 Problema N.* 191 (UNMSM 2015-11) Silog,x +log; x+ log ¿x= 8, halle log_2. Z a 5 Do) + B) , E) 42 ÁLGEBRA EL CACHIMBO Problema N.” 192 (UNMSM 2016-1 Halle la suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuación log» (xé-4x+7)=logo(x-2)+2; x>2 Aj 25 B) 34 C) 41 D) 29 E) 20 Problema N.* 193 (UNMSM 2016-11) Halle la suma de las soluciones de la ecuación 1 +logx+log(x-—1)=log60 A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 4 Problema N.* 194 (UNMSM 2017-1) Un estudio sobre plantas de cierta región geográfica determinó que, en terrenos de x m? de área, el promedio de especies encontradas es y; cuando log y se graficó en función de log x, el resultado fue una línea recta dada por log y = log(11, 2) -log3op + Hlogx ¿Cuál es el promedio de especies encontradas en un área de 256 m*? A) 17920 B) 15900 C) 16820 D) 17290 E) 18900 SISTEMA DE ECUACIONES, INECUACIONES LOGARÍTMICAS Y FUNCIÓN EXPONENCIAL Problema N.” 195 (UNMSM 2009-11) Halle el dominio de la función f, definida por 2x-3 fíix)= in >) A) R-[-5;: 8) D) R-[(-5; 8] B) R-(5; 8] E) R-[-3; 7) C) R-(5; 8) Problema N.? 196 (UNMSM 2010-1) Sea a un número real positivo diferente de 1. Halle el valor de y que satisface el sistema de ecuaciones a +Y=16, a Y=1/4, A) log,6 B) log,64 D) log, 16 C) log, 4 E) log,8 Problema N.* 197 (UNMSM 2011-1) Halle los valores de x que satisfacen la ecuación slogx?-5x+15) - qlogx25 A) 2y4 C) 3y4 D) 2y3 E) 2y5 Problema N.* 198 (UNMSM 20141-1) Los números positivos x e y satisfacen el sistema B) 3y5 Pa y=0 logax—log3 y=2 Halle x+4. a) 2 B 3 3 4 4 2 D) 1 E 4 5 Problema N.* 199 (UNMSM 2011-11 Seaf: R > R una función definida por + 2109 a), l=x) 2" Ll+x ES 1+4 donde a>0y ax 1, cuyo dominio e es un intervalo pS E E a) Halle p=g. p ko) = 5log,a al +21 a g "Sa 29 ÁLGEBRA EL CACHIMBO Problema N.* 203 (UNMSM 2017-1) A) 5 B) -2 Cc) 1 D) 3 E) 4 El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos está dado por Problema N.* 200 (UNMSM 201 1-11) Q(t) = 2500ek! La suma de los cuadrados de dos donde k es una constante positiva. Si después números reales positivos es 11 y la de 15 minutos hay 5000 bacterias, ¿cuántas - a diferencia de 'sús logaritmos; en base 10, bacterias habrá al cabo de una hora y media: es 1/2. Determine el producto de dichos A) 80000 números. B) 150000 A) /11B) 10 C) V/7 e DE D) J10 E) 10 a E) 180000 Problema N.” 201 (UNMSM 2044-11) Problema N.* 204 (UNMSM 2017-1) Halle el conjunto solución de la inecuación La presión atmosférica p varía con la altitud h sobre la superficie de la Tierra. Para altitudes log y (x?+2x 8) <-4, E por encima de los 10 kilómetros, la presión p 2 en milímetros de mercurio está dada por A) (-0,-9) u (1, +02) p = 760€e-0.125h B) (-oo, -4) u (2, +00) donde h está en kilómetros. ¿A qué altitud la C) (->,-6) u (4, +02) presión será 190 milímetros de mercurio? D) (-e, -7) u (1, +09) A) 71n6 km E) (-c, -1) u (5, +09) B) 81n8 km á C) 8In4 km Problema N.? 202 (UNMSM 2016-1) D) 81n6km Si el crecimiento de bacterias en un cultivo E) 9ln4 km de duraznos en el tiempo t es representado e o +1 p Problema N.* 205 (UNMSM 2017-1) por la función f(t)=3 , determine el intervalo de tiempo para que el crecimiento sea menor o igual a 1 3 Se coloca ken uma cámara de enfriamiento una sustancia química y r horas después de estar en la cámara, se calcula su temperatura T en grados centígrados, según el modelo 1. 3 1. 5 A. 8 Al= =<=| Ble= =| 0 |=: <= r L = La ] 6 S Tm=75+a(2)% . Si la temperatura ox ys ua de ¡e 9/ u1 09 '1 93 1M 3 5 inicial de la sustancia era de 450 *C, ¿al 15 [2 a cabo de cuántas horas su temperatura será 2 [5 3 El 2 2 igual a 15602 Y ya ) A) 12 LIO C) 15 B) 8 E) 9 30 26. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Problema N.*” 206 (UNMSM 2011-11) ¿Cuál es el menor semiperímetro que puede tener un rectángulo de área 357 cm? si la medida de sus lados, en centímetros, son números enteros? A) 58 cm D) 28 cm C) 17 B) 51óm y «Ein E) 38 cm Problema N.* 207 (UNMSM 2013-1) Halle el máximo número entero, menor o igual que la expresión E= Y43+x+43-x, x e [-3,3). 3 D) 0 2 E) 4 A) B) C) 1 27. CONJUNTOS NUMÉRICOS (N,Z,Q,1,R,C) Problema N.* 208 (UNMSM 2012-11) Si a>0 y b<0, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: L ab<ab? II. [ab3| = -ab? IM. YVab?=-bY/a A) FVW D) VVV B) VVF E) UFV C) FVF Problema N.* 209 (UNMSM 2016-11) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para todo aeK, a=0? L a+tb>2 a ÁLGEBRA €. 1 IL a+=>=<2 al IL a+1>2 a M al-a>2 A) Solo ll ) Solo CG) Solo! D) UyH B) IyIV E) IyIl 28. RACIONALIZACIÓN Problema N.* 210 (UNMSM 2015-11 Racionalice y simplifique, luego, indique el denominador. 3 15+8/5-3/7-/35 A) 18 B) 30 C) 21 D) 24 E) 36 NON Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio de Pesquería obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 — toneladas de bonito y 2000 toneladas de corvina; además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si la utilidad por la venta del bonito es de 1000 soles/ton y por la venta de la corvina es de 1500 soles/ton, determine cuántas toneladas de cada tipo debe pescar y vender la empresa para obtener el máximo beneficio. A) 2000 de bonito, 1000 de corvina Bj) 1500 de bonito, 1500 de corvina C) 1000 de bonito, 2000 de corvina D) 1200 de bonito, 1600 de corvina E) 900 de bonito, 2000 de corvina 31 SOLUCIONES Y qa +A BAMA u=x +1 Y =, =(1É+ 3/1), (0441) =(2u0+ wm Ó =p o y = (2 +2 + 25 1)" 5 att ¿sa=d linVp0) = Jlimt0) Alim L(= Y loz const, lim fx) = u /o4, Fx) = log, [limplx)),c=const_ li ÁLGEBRA E 32 AT AMOO IAA:LO SOLUCIONARIO A A 2 Referencias 29 2 ay Definición y teoremas de la potenciación: 1 65 * Exponente entero negativo: ee 4_ 4 _ 13 521 > 521 8-3 a á 52 25 1 R ta: | * Multiplicación de potencias con la misma base: p pex. t2_ gx * Potencia de potencia: peras (5 4=5%, (5 =5% yl -1 a a? E bos os at NE Análisis y procedimiento M = 4 E -x+2z (4) 2 +(-27)3 Si N=(0,04) +2 entonces N= 00 ] 1 100 + ] E 403 —MHLE —x 42 an Ez 9 3 pa 9 pa 4 No 35) > Na(52)* MG 1iW 1113 (Da) 73 5 2x-4z _ Elx dz => N=1(5) => N=5%:'5 Rpta: (EY 2 > N=(5*) -(5z)* 4 A Six es un número positivo, tal que Como 5*=m y 5*=n entonces N=m*n* o Je e TO BAY 2) 32 ? 233) q32) ">" Por lo tanto, (0,047 **%=m?-n"* hallar la suma de a + b. Resolución: Rpta: Del dato: O A. xd =x% == q=— 6 7:3-31=3(9 M5 29) 7:31= 7 WE Resolución: =>3Il=3% | Si xY =2 donde x>0 » ÁLGEBRA EL CACHIMBO a E ro. 0 p 38 1 a+b= 6 a+b=5 Rpta: a 2,4 Por dato e-= 32 Vx + Y = 8 Pa, (3202 e ge lg2óa 1) Rpta: [E 22+2_ 5(6x)- 32x+2=0 4(2X)24+4(2Xx3X)- 9(2X x3X)-9(3X)2 4x2 (2%43%)-9 x 3X(2%4 3%) =0) (2% + 3)(4x 2% -9x3*)=0 o O a (-1) o 3x-1 —3x=1 27 81 gi =(3x-1)%+1=(4-1)*+? a H=roys tar yal 3 3 Rpta: a PALAS 14 PP 27=14 913 )010 8 .(que 8 Y=l6=2>x=4 Reemplazando: E = 4) +9 E =5 Rpta: =0 De la ecuación se obtiene: aa 8 4.3 * a —a la cual se reduce a: abBlar=a?. (at -a9) ab. gi= art. gll donde: al q all = 244 4 ar allat+1) = aX(ad+1) a > Bpto: 11 IRC TiÓN EL CACHIMBO E E Six =1 => y=0; Análisis y procedimiento ademásx+y=4 => x=4 Nos piden el valor de xy?. Reemplazamos A partir del dato Rpta: Elevamos al cuadrado a UN [LEyraay? ] = (3xy) a+b=1, ab=w2 Byte? a b (ab + bal + bb) -(22 de 22) Factorizamos xy? ab AS +1) =9 7 ab 4 (abj? + (baje + potb _ (22 4 22) boa a b xy"+1=9 a+ b+224+22-22-22=1 xy?=8 Rpta: des Luego, lo que nos piden A y? =U8 =2 Análisis y procedimiento ena: Damos forma al dato para que aparezca a. , M= Ja+x+yfa—=x. x= 2ab m-=á4p=3n data Ja =x > b?+1 m-p=3n+3p Propiedad de proporciones m-p=3(n+p) M+1_yYa+x m. s M-1 Ya-x 47 (m+ 1) _AR+xX a=3 (m-1)? a-x Nos piden (M+ 1) -(M-D* _x_ 2b 2228 (m+1)2+(m-0? a p+1 A = : 2 > M=b> M*+1 b"+1M 4 ATI EL CACHIMBO => | fín)=a(n-6)+b Si el polinomio P(x) = nxM+5 + (n +1)x" Analizamos los datos: +64 (n + 2)x+7 +... esordenadoy ) completo, calcular P(1) - P(-1). + _fQ)=-14 Resolución: a(-4)+b=-14 > -da+b=-14 (I) Como es ordenado y completo: n +5 =0 =>n=-5 luego: . f(3)=-29 PO) = -5-4x- 3 - 2x*- x' a(-9)+b=-29 => -9ai+b=-29 (1) P(1) = -15 Prtp-$ Al resolver (1) y (11), se obtiene a=3; b=-2 Por lo tanto: NEP DR P(1) - P(-1) = -12 AR =2(3)-(-2)=8 Pp a Rpta: A Plx) +01(x) =ax+ b P(x) -Qlo) =bx+ a Análisis y procedimiento Se pide: valor de $111 -S100 Sumando Restando De los datos: Aj A [a E x,=(-1)"+1 Dato: P(5)=4 S =X FX9+xX3 + ...X ne N. (a +b)6 4 para n=101 > S101=1+x2+xX3+ +. X100X101 P(5) = A =4 >a+ B=S para n=100 > S1p0=X1+X2+xX3+ ... X100 |- 0 Si01-S100= X101 y P[Q(1)) =P la -b1(1-1) Sin-=Sio=ED'"+1=0 z Rpta: a N 4 sp. MERO+D a+b e Calculo del valor numérico 2 2 2 3 D s e la reala de correspondencia di F(3;4) = 3?- 4?=9-16=-7 Por tanto: Análisis y procedimiento F(3;F(3;4))=F(3;-7)=3*-(-7)*=9.49=-40 De la condición -. F(3;F(3:4))=-40 ps f(x + 6) = alx) + b , al hacer el cambio de variable A O L_-6 3 SIIC la x+6=n, tenemos ÁLGEBRA a Calculamos : f(3) A h(-1) Por dato 10) =Pb) QU) > x9474+1H%+mx+n= pbé+ax + Evaluamos:x=6 ta en f: (3)=62+1=37 a) Sea x=1: 25+m+n=(a+b+1) ...(a1) + Evaluamos x = -2 Él E - — - a mega AN +actb)d+bxta)=9+(a+b)8+..=4+ 7% Luego : h(f(3) +h(-1))=h(37+(-7))=h(30) i Finalmente evaluamos x = 29 en h: h(30) = 4(29) + 1 = 117 ¿. h(£(3) + h(1)) = 117 Rpta: Rpta: Datos: a+b+c=0 a+b=7; reemplazando en (0): 25+m+n=[(7+ 1) 23m+*n=39 (1) Análisis y procedimiento abtactbe=3 (11) Como el polinomio abe==6 (11) p)=n0 a+ 1 +2 +7, E es ordenado y completo, además, los Piden el valor de + Ez a c exponentes de la variable x están en forma ascendente, entonces nO abtac+be_-7 , 1,1,1_7 poa abc -6. cba 6 Luego, pb)=-5-4x-3É-2P Por lo tanto, el grado del polinomio p(xj es 4. Al dividir Il con Il se obtiene Elevamos al cuadrado y desarrollamos el trinomio cuadrado | Rpta: (Ey) (2,2,28 -(2] ltd a O E a? E E > ab ac be] 36 > coef. de P(x) =1+a=0 a=-1 nal abe Reemplazando en P(x) a E P(x) =(x-3)(x?—1) Según el dato l, a+b+c=0. donde x= 3-= b (mayor raíz) Por lo tanto, A m Nos piden: a? be e abc) 36 | . —=X +3 1. 1 1 49 : ; A Rpta: (Ey) a po 36 y AN EL CACHIMBO x Recordemos el desarrollo de un trinomio al = Los valores son 3 y 4. cuadrado. Rpta: eey+zli=>l + y +22 +2 (xy +xz+ yz) 27. a Análisis y procedimiento Tenga en cuenta que Datos: * Binomio al cuadrado a(b+c)=-bc (1) (a + bjé=a? + 2ab+b? a+b+c=2_ (11) * Diferencia de cuadrados Piden el valor de a?+b2+c*, a“—b*=(a+b)(a-b) Elevamos al cuadrado en el dato Il. Análisis y procedimiento 2_92 (a+b+cjP=2 Se pide el valor de C en a+ bi+ o +2(ab+ac+bc)=4 NA -JB = VA+JC ¡YA —yC > ai+bi+co4+2* alb+c) +be - 2 —bc...dato (1) Elevamos al cuadrado m.a.m. 2,.,2,.2 E O IRTE q pr, NEO . Ar bi+ 4 2 2 Rpta: (EY y [SEO [Ao] a 2 PAP Dato x-x=1. JÁ -VB= MÁ - AS Elevando al cuadrado: (os A 124 E 2 == “. C=A-B x Rpta: E xy a Plevando al cuño: Recuerde algunas identidades y productos (x SS z ] o notables. D NE | mo . os 1 3 1 y 4 * Identidad de Legendre: prota tdo A ae - z y * Diferencia de cuadrados: (x+y) (x-y) e? V ?-—-3(1)=1 38 | pi E ALGEBRA AO AiO Análisis y procedimiento Piden simplificar la expresión M. ao a b a b M= 2-ab Aplicamos la segunda identidad de Legendre en el numerador. pal) _ 4-aób? ab(2—ab) Luego, factorizamos la diferencia de cuadrados. m - 2+ab) (2-4b) - ab(2ab) M = ah 1 Rpta: 29. xy (hc +y)=30 (a) A+y=35 (Pp) 3(a)+(8): (<+y)=125 =>x+y=5 (0) En (a) xy=0 (y) De0 yy, x=3=x v y=2=yg “Xp Yy=1 Rpta: 30. Recuerde el desarrollo de algunos productos notables. (y 2xy+y ty => +3 y +3xy2+ y Ó ey i=4+y*+3xy(x+y) Análisis y procedimiento Piden el valor de a?+b?. Datos ab=3 ac+b*=19 De acuerdo a los datos, podemos determinar el valor de a+b y luego, en dicho valor, debemos hallar lo requerido. (a+b)?=a?+b*+ 2ab (a+bJ= 19 + 2(3)=25 => a+b=5 v a+b=-5 (nose obtiene alternativa) 1.7 Consideraremos a+b=5 2.0 (a+bJ"=a*+b*+3ab(a+b) 5 =a4+b943 (3) (5) a+b*=80 a - hb b a a=b En el problema: Sn 39 ALGEBRA EL CACHIMBO Reemplazando e igualando a cero el numerador: x?2+bx+c=0 De (2): (1+y + xy) +y - xy) = 133 E ql 1) => > .b+e=-1l ta Luego: x + y + vxy = 19.........(3) a Sumando (1) + (3) => x+y = 13 En (3): xy = 36 En toda división de la forma Plx)+(Ax+B), el Resolviendo: x=4 a y=09 residuo es igual al valor numérico de P(x) cuando Y -B x=9 Aa y=4 Sr TY “la-y|= 5 Rpta: ([EY| Análisis y procedimiento Piden hallar el resto 33. En la división algebraica La igualdad: 4(3x- 7% -(3x-5) +8 x-3 mm ¿bs 2, . «Mm Aplicando el teorema se verifica cuando x"=1 x-3=0 Entonces: mn _ m3, a x=3 (x Luego reemplazando en el dividendo cuando 3m LE 13 1 9 x=3, se obtiene el residuo xom 19 R(x)=4(3(3)-7)-(3(3)-5)"+8 Rpta: Rx) = go Ñ yy 8 CUA Rx) =8 Rpta: (a+b+0)2=212 O al + b? +02 + 2(ab + bc + ac) =441 37. 179 + 2l(ab + bc + ac) = Por identidades (ab + bc + ac) =131 3 pos p(x) = (x-3) qa Luego — p(x) + (1-3 - V7) 35 =3x-3- 7 = 0 x=3+V7 2 bars, => p(34+V7) = = (3+/7-3) - ES AS Para que cumpla la condición entonces: p(3 +17) =71 Ll AE OO) a x-1=0 UA x=1 40 |SoLuc 2 Pp) + (+1) => R =3 ..P(1) =3 Si D= dq + R Pp) = A D)A+1)g00 + Ar+B....(0) Six=1 => A+B=6>A+2B = 12...(1) 2 2 Si p(0)+(Qx1)>R=6 HE) =6 x=-1>-A+B =3 >-A+B=3...(11) Sumando 3B = 15 = B=5 “A =2 Luego: R = 2x +5 Respuesta 2x+5 Rpta: 39. Análisis de los datos o gráficos Resto de la división es: 10 e X-x-x+k División: =—————_— x-2 Operación del problema Por el teorema del resto: x - 2 = O E NA Reemplazamos x = 2 en el dividendo: 2-2-2+K=10 16-8-2+K=10 6+K=10 Conclusiones y respuesta K=10-6 Rpta: (3 K=4 41 ÁLGEBRA on Po=5"+c Q00m=x+1 Por el teorema del resto P(x) + QU) x+1 Por la identidad fundamental de la división —= Residuo =c-1 P(x)=Q(0) qua) + e-l Cociente Residuo Parax=1 => P(10)=0Q(0)q(1)+c-1 > £+1=200+£-1> q(1) =1 Es lo que piden Rpta: Pe). - P(3) = x-3 > resto = P(3) = 2 Po) =PRUSS a = resto = P[-1) = -2 Por algoritmo de Euclides Para Para xP(x) = (x-3)(x+ 1)0(x)+ax+b x=3 —=>3a+b=6 x==1 =>-a+b=2 a=1Ab=3 '. Resto =x+3 Rpta: ÁLGEBRA EL CACHIMBO Considere que el desarrollo del cociente notable. FACTORIZACIÓN de Pm) = (13) (1-4) (1-3) (16) - 120 A, pn Pa) = (4 - 9x + 18)? - 9x + 20) - 120 laforma 24 b , donde n es un número impar, es ] ida Sea” - 9% +18 =a ñn ñ A _ A a E O > P=a(a+2)- 120 l ] P = a? + 2a- 120 a =10 Análisis y procedimiento á >< 12 Del cociente notable 14 Sie Aa P = (a - 10Ka + 12 x"+128_ (x)+2" a +2 a ( M ) x242 — (x2)+2 a+2 > Pía) = (7 - 9x + 8) (1? - 9x + 30) Xx -1 Entonces el cociente tiene 7 términos. X >< -8 al 42? =a0- aorta > (2) +0*(2)2-a%2) +at2)* al2P+2 PG) = (x- 1) (x - 8) (7 - 9x + 30) te: quinto término Ki" Tres factores irreductibles Luego t;=a*(2)'=16a*=16(x*)?=16x* hn - Tx +21 ta: (MR Por lo tanto, el coeficiente del quinto término es 16. “e a Rpta: (Ey Por divisores EA : ZN 9 binomios Por propiedad 3.27 = 1 ¡ 30 m=6 x=2 2 ¡o 10 La división es 1 2 10 dé : + E =(x-2)02+2x+5) y factor pri grad Luego a actor primo mayor o 31,2 os piden 4 = =-— e A 1=B 1107) 12+25+5?=30 a do A => T, = =D $ MU 13 Rpta: (EY) 42 | ÁLGEBRA EL CACHIMBO aia Sean los números reales a; b y e Por dato: abc = 900 ...(1) E: yd 2 a b 5 [ab+ac+ be] ...(2) 1 + — € Piden: Operando en (2): ab+ac+ bc 1 abe 9 Usando (1): LERIAL- E Luego: ab + ac +be =900x +=180 Rpta: po) = Prrt--2 pa) = +21 + )(x-1) MCM =x 4-5 +4 MCM = (+ 2)1-2)x + Ma-1) MCD = x-1 Por propiedad poo) + quí) = MCD - MCM 142) DAT qu) = 2 AD AS q() = (1-1)(x-2) quí) = -31+2 Suma de raices = 3 Rpta: 48, Factorizando Q(x) Q() = (x-1)(x-2)(2x-3) las PR(P(0) = +11; 2; 3; 6) como MCD(P(1); QU) = (2- r,)(x - r,) “1 =lA r, =2 Evaluando en Pa) =4-21% + ad + bx-6 r=1=>a+b =7 r”=2=> 2a+b=3 Resolviendo: a = 4; b = 11 “b-a=15 Cd R Recordemos: propiedad de proporciones: A A “bd Th se cumple: ae _ qe b+d h-f La serie se puede escribir: moon - p _ a 131. 1l4x]1381 15x14x]31 16x15x14 x 121 1714 7 15x14 — 16x15x14 mi -+n Y a-p 15. “muay Por Propiedad) A. 15 J5x14x15 (por dato) Despejando: q-p=210x17! a 50. Record 1 7! > cordar: = —_—_—_—_= 6) 6!x(7-6)! n En general: ] =n n-1 Por lo tanto n ] me pk? E= + + | n-1 me -1 2 E=n!+m14+ e! CAT EL CACHIMBO m Desarrollo del binomio cantidad detérminos : (x+a) =x+a 2=1+1 (+a)j =P +2ax+a? 3=2+1 2 = Sr + 12]! =b: at=d+ata+lax+a 4=3+1 2 = xX-5x+6=0 . . si 3 Se observa que la cantidad de términos se obtiene 5 NA 9 como el exponente del binomio aumentado en uno. x=3 vv x=2 1 2 Para el caso (x-+ grata la cantidad de términos Nos piden es 2n+5+4+1=524, por dato. Rpta: X¡—Xpo = 1 “. n=259 Rpta: 55 Sea: 1 Ordenando (2s + 20 oe To = CR (29 (2x) e dl Tra = pe ey y 2 Ti + EE 20 2 met lts Conclusión: 4 = EX —=, K =4 The. = cie Ei “X 2 Y 3 o k 12+2k Coeficiente: Cl! - 2% = 2640 mx*y8 =C]2.(-1)* Ea y 3 Rpta: ji del 53. 2 k 30 ge. y a _ 960 2 k=0 k=6 20 Rpta: a a m=G2 (3) 8 k=0 2n 96. 2n 7 92 2 ¿)? > 22 -3yY 0 Plx, y) =[2*-3y)” = Y de Coef. = P(1, 1) 2x25 23, 22n _, pn=29 Y de Coef. = -1 vu a Qlx, y =(x+y* => Y de Coef. = Qí1, 1) SN Y de Coef. = 16 Por las caracteristicas que presenta el E > l AN ! | " ] problema; es decir, es operativo y tiene en :. P de Coef.(P)x 2 de Coef. (Q) any] a su desarrollo cierta formación, aplicamos el 2 método de razonamiento inductivo. 44 Sea el binomio (2x-3y)**. Su término general está dado por Tr =D “epa gy) Si k=12 > Tia = (1% cl$12x)*3y | Tia =(+D) 7 12 e) (3y) ¿1618 x1413x 121 (23 43y)? DATA ASA > T¡¿=1820(2)Y3y)* Finalmente, el valor numérico de T¡z cuando x=1 A = — Es 2>=3 1820(2(1)* [3(2 ) = 29120 Sea N.? de camisas mal lavadas: x Total de camisas a lavar: n¿,. =12n unid. Ordenamos los datos en el siguiente cuadro: es ] Rpta: De a camisas | cfcamisa mal mtos x —-S/.b —xb bien 12n-x Sa (12n-x)a lavados Recibió m=(12n-x)]a—xb m=12na-ox-xb x(a+b)=12an-=m _12an—m Rpta: O q. Final Martes Miércoles Jueves Viernes =0-0 W=s=ex MN xx 71 5 5 3 -.x = 1250 naranjas. Rel: a. 12x | AB C D AB+BC+CD=48 x+3x+121=48 16x=48 x=3m Piden: CD=12x . CD=36 m n.” de casacas de varones = Xx n.* de casacas de damas= Ex Del enunciado 8x+5(7x)=11400 x =800 n.? de casacas de damas = 1000 Rpta: 62. Ica x días PLATA ORO Chincha x+3 días + 2x+5=9 —2x+5=11 Paracas 2 x=2 > Ñ ¡ 3 2x+5 Chincha: 5 [Chincha 6 Rpta.: 5 días y 6 días .> a+b A 0 CÓÉA===___—_—_—, ÁLGEBRA EL CACHIMBO ¡EA mx -2y =5 —3x + (m-1)y =1 Tiene solución única. mi -m3+6 m-m-6%0 lo de m +2 (m-3)lm+2)+ 0 C.V.R.: R-(-2,3) Rpta. | R-(-2:3) | Rpta: 0 TN Si la solución es (1, a). Reemplazando en el sistema: 3-a=k sd S+a=k-2 ..(2) Restando (2)-(1): 2+2a =- Za=-4 ad= — q Siy¿=0 >x+2=2 ... 1) ax +z=éa ...(11) (11) — (1): (a - 1)x = 4a-2 ax+z=0 ... (TI (1) — (ID): (a —a)< = 4a x= 2 (6) a -— a > (A) = (B) . Lom=a+a | Rpta: (EJ Se debe cumplir que: A, +0 lk 1 k 1 klx*0 O -k 1 Efectuando: 2-10 (k+ 1)/(k-1)=0 ks*lnAkz=1 «ke R-—[+1) Rpta: 67. Autos Camiones Totales Cantidad —x y x+y<100 Área 10 20 10x+20y= 1200 Recaudación: |[R = 8x + 15y De la figura: (0:60) R=900 (80:20) R=640+300 = 940 meno! (100;0) R=800 SOLUCION: TM Se tiene: (1) 3 2+y+32=5 293 => %r +3iy+32=0 Restando: -Tx-2y =5 ....(0) QA => 6r+2y+2z =0 (3) => x+3y+22=6 Restando: —x+y=6 .....(B) De (0) y (B) > x=-1 Ay=1 En (2) => 3(-1) + 1+2=0 z=2 Luego Xx + ta = El =6 Respuesta 6 Rpta: je Dado los datos Costo por Cant. e unidad ROBERTO Libros 8 x= A Cuadernos 5 ox iMh = 35 10 59 ALBERTO Libros 5x3 = 15 Cuadernos 8 xD = 56 10 71 10 + 10 = 20 Rpta: rias Reemplazando la solución (x,: y,) en el sistema y, además, x, = y; pe + (d- cx, =-1 ÁLGEBRA O a+b E =.11 d-e Rpta: 71. Del dato: JAY eii Al DEL E A. Hacemos: a - P+y: dz=-4 > z=-1 en p: [x =-1],1 en a: [y =-1 Reemplazando en lo pedido: ca ta? ta? A + A + A 24 Rpta: De los datos: Cono= Cubo + Esfera ..............(1) Esfera = Cilindro + Cubo .........(2) 2 CONOS= D CUDOS aiccccoroconcaiónasoo (9) . De (3): sie Cono = 5k Cubo = 2k « En (1): Esfera =3k * En (2): Cilindro =2k Rpta.: Dos cúbicas pesan más que una esférica. IÓN AMOO 00 73 E E -1 1 2-1 = 2 111 A E b+h -1 210 se =f para PO x=1+5 (x, y, 23 = (1,0, 0) + 1(5,3, 1) C.S. = ((1,0, 0) + 21(5, 3, 1/ 1 €R) 76. Como el sistema tiene infinitas soluciones, se cumple 2-Xk-"Xk_4_ SS E AS Rpta: (8) PA Mesas Sillas m —> 4 n > 6 fp > 8 Rpta: Dato: 4m+6n+8p=152(primer día) EN Del sistema lineal 3x+2y=m>+2 2x-3y=2m-1 — |3 tqr5= 11 (segundo día) m n,P._ £ a. 9 (tercer día) Reduciendo se obtiene el sistema Del dato x=2y; reemplazando en función de “y”: 3(2y)+2y=m+2 > 8y=m+2 2(2y4)-3y=2m-1 =y=2m-1 a m+2 2 = — + Dividiendo 8 1 m=3 Rpta: 4 o 2y+2=>3 ....(2) =r+z=-3 ....(3) Hacemos (Ec.1)x3; (Ec.2) x(-1) a (Ec.3) <2 T DES ar+3y=0 |y -2y-2=5 -211+22=-6 —_—_—— x+y+2=-1 Rpta: sa 3m + 2n+3p= 66 3m + 6n + 2p = 108 2m+3n+4p=76 Resolviendo: n=12 p=6 m=8 Total = 26 mesas Rpta: Refrigerado | No refrigerado A 20 40 B 30 30 Total 900 1200 y l Ll Del texto Ñ 20x+ 30y = 900 Bal a PO 40x + 30y =1200 ....... ÁLGEBRA ¡AMOO iiO Resolviendo x= 15 y=20 Rpta.: 15 de A y 20 de B Rpta: O r4B Según los datos: 1% semana: S/. 0,5 SS 9=0,5+0,5x]... (1) adicionales: S/. 0,5+0,5x pasajeros en . pasajeros en . E la 18% semana! 120 > la “x” semana * 120—5x [q=120-5x]... (11) De (1) y (II): q+10p=125 Rpta: 80. En la 1.* ecuación EY - a 6x Se tiene: a+r1=2>320 +2 =5a 2a? -5a+2=0 eS a — Luego: a=2 v a=1/2 X+HY _ x+y_1 Nes E Y Ne a x+y=24dx vw 4x+4y=06x HA Se pide el valor de K. Del enunciado II _íAAKÁ a+b=axhe?l A E De l tenemos a+b-axb=0 a(1-b)=-b =b "1-b K ob b-1= a De Il tenemos axbé=a b*=1 b*-1=0 (b+1)(b-1)=0 b=-1 w b=1=" De l: bx1 Luego 1 b=-1 a a== nea 1 K=axb= --= Rpta: 2 e y Resolución 3 y y 14 = JO Sumando li yla = 24 miembro a 9:34 = 54 miembro 34 = 97 px 3 elevemos al cuadrado: donde: Vx = 9. Enlo pedido: y=23x 2y=x «Las E 80 e n= Vx q 9-5 Rpta: (E) En la 2.* ecuación: —= 23x-24x-9=0 v 2y=3y-9=0 as a 8 Inviertiendo las ecuaciones: ut (2y+3)(y - 3)=0 y=3 y ya 3H aL “x=0 Rpta: 1lylcld :.18x + Oy =13(6) + 9(3)=105 1 *9* 49 yz os Odd EL CACHIMBO 13 Lp d zZ XxX n Sumando: 2(2+1+1)=L 4141 x y z) m n s 1,1,--1(1,1,1 yz TO L m so La + t+h)- E Zz 2 5 m 1 _mn+ms-—ns z 2mns Rpta: Sumando las tres ecuaciones (miembro a miembro) E 1 -) 5+3+4 2] =+=+-= |= ——_—— 60 De (2) (Vx -/y)'=8 x+y-2./xy = 64 18 de(1) 50 3 x+y=100 “px + y =10 Rpta: Análisis y procedimiento Factorizamos la ecuación (x+1)(x+2)- (k+2)(x+2)=0 (x+2)(x+1-(k+2))=0 (x+2) vw (x+1-(k+2))=0 x=-2 v xo=k+1 como tiene raices iguales X1=X9 => -2=k+1 h=-3 Rpta: yA * Raíz de una ecuación + Teoremas de Cardano para una ecuación cuadrática Sea wa +bx+c=0 ; a%0, de raíces x¡ A Xo suma de raices Xy ex al Pa Análisis y procedimiento Sea a la raíz común de las ecuaciones Y Xo A Xz las no comunes -kx+10=0 > CS=(a y xo) x-(k+1)x+12=0 > CS=(0 y xa) reemplazamos la raíz común (0) en cada ecuación y luego restamos ÁLGEBRA o2—ka+10=0 Pa o a-2=0 a=2 Usando el teorema de Cardano (producto de raices) * -kx+10=0 * -(k+1)x+12=0 3 0x=12 > 2x3=12 x3=6 yl Xp +X3= 11 1 px" +10x-2=0 sea X= g Reemplazando en la ecuación cuadrática: Rpta: 0 Rpta: EL CACHIMBO Sir y sson las raices reales distintas de É- px+q=0, entonces la ecuación cuyas raíces son e y s? es F En la ecuación x*- px + q =0 E Jraces 5 Por propiedad: l. r+s=p ll. rs=q La ecuación ha formar es 14 - Sx+P=0 (a) donde S=+s? n P=?s=0g? Elev. 1. al cuadrado: +2rs+s% = pÉ 1 En (a) x? — (p?- 2q)x+g? =0 Xx + (2q -p?)x+g*=0 Rpta: B 90. Sean los números impares, positivos y consecutivos. X= 2x4 2 Dato: (x-2)%+x?+(x+2)= 155 Operando: 2x2 + 22) +x2=155 3x2=147 x=7 Los números son: 5;7;9 Se pide la suma: 21 Rpta: 91. (a+ 14 + 2n + 1)x =3(1 + 3)x + S(n + 3) Transposición (+ 1 + (n-Tx-5(n +3) =0 Si una raíz es inverso aditivo de la otra Rpta: a =>-i-Y=0 n=-7 51 ÁLGEBRA EL CACHIMBO 92. Sean las raíces: (1 y 201 Por Cardano + 20.= E Pa 0+20=-- o A C (a)Q0)=- 2 b c 20? =2|-2| =2 (3) 2 ac 2 wo e Aplicamos el teorema de Cardano en cada ecuación cuadrática. e xÉ+14x-1 =0); a y b son las raíces Entonces a+b=-14; ab=-1 e xé4+17x+2=0; c y d son las raíces Entonces c+d=-17; ed=2 Luego abc+ bed+cda+dab =-c+2b+2a-d =-(c+d)+2(a+b) =-(-17)+2(-14) = 17-28 =-11 abc+bcd+cda+dab =-11 Rpta: r y s son raíces de Ad+Bx+C =0; A%0 Por Cardano P r+s= E A - gm E A r” y s son raíces de +Px+0 =0 Por Cardano r+s=-P > (r+s) -2rs =-P 2 2 > (2) al p> -2AC-B" A A A? Rpta: 0 De la ecuación: 2x2 - (p+3)x-p + > =0 CS = (la; 1-1) = (x1; x2) Xx] - X= 1 Jo+3?-4.2.5-p) RX] X2= 2 Igualando p? + 14p-5=0; luego, el producto de valores de “p” es -5. Rpta: A 22 br+c=0 =>r,+r, =6 b EN =406 o b =]32 bx? - 3cx pde => XX, =d4 c > == 4 = C = 16 Reemplazando x,+ Xx, E 3 b ze =4 b | Fr+x + x= 10 Rpta: B 52 ÁLGEBRA EL CACHIMBO Ey Ja De la ecuación: raíces Como están en PA y son raíces de una as bicuadrada; éstas son: X -px+qx-r=0 —b -3a, -a, a y 3a Se Además: (3a )(3a)+(-a:(a)=-30 Por propiedades: -10a2=-30 l) a+b+c=p a?=3 ...(1) También: ID) ab+ac+bc=q a aba (a) (a (30)(3 a)=(m+1)* 91 *%= (m+1)?...(2) Piden: k= ++ (1) en (2) 93 2=(m+17 ar b? ce m+1=+9 >m=-10 v m=8 (bc)? +(ac)? 4 (ab)? ¿. Suma de valores de m: - 2 1 => k= Rpta: (abo* 100. Elevando (II) al cuadrado: EN Como G; n eje X=( (a; 0)): unitario, (ab)?+(bc)?+(ac)?+ pestes Al o entonces x=a es una raíz de fa =-=x+ b, Zabcla+b+c)=q Luego, fia,=0: a”—a+b=0 Reemplazando: además, (x—a) es una factor algebraico de f. (ab)"+(bc)*+lac)i"=g"2rp Luego Jpj*be-aJ es exacta, entonces yy =(0-0)*Q1g Aplicamos la regla de Ruffini para hallar q,,;;. q” -2p A. k= —— 1.0 -1 b r a a a Pa ps l a «-1|aA-a+rb 98. Sea a = 2 +5 a?=74+2010=x, A xo =7-2W10 > qu =é+ax+(a-1) a Riy=a -a+b=0 Luego, f; =(x-a) Lé+ax+a?-1) Como f tiene una sola raíz real: a (un solo x?-14x+9=0 punto de corte con el eje X), entonces q) é+ax+a?-1 debe tener sus dos Rpta.: x* -14+9=0 | Rota: raíces no reales, por lo tanto, su discriminante es negativo: A < O. 5 SOLUCION: Es decir A=a?-4(a-1)<0 > -3a2+4<0 > 3é>4 > at das e 2/3 2 lal> = —lal>» —= 43 3 — Además a-a+tb=0 > b=a-a” > b=a(1-a?) 2/3 : b=a(1-a”) lal > Rpta: ¡NOAA De la ecuación hHi-=1l-=g3= 0 +1 Resolviendo: Y = y » Igualando con el dato: a 1 l —=+==2+= b b b b 1 Entonces: —=—=> a = 2b a 2 Epa a 2 2 Rpta: GB ag >3814+34343*) = 120 A, 120 120 ÁLGEBRA €”. Reemplazando tenemos r-2=0 Por Cardano: Suma de raíces = 2 Rpta: x, = 3 Xx, =2 + vb también x, =2- Vb xx +x+13=7 Rpta: a 0 Como tienen espacios iguales: P,, (1)=P, (1). O S O 4LO142 == RIIIE P-SÉ+7T1-3=0 Factorizando: 1 -5 7 -3 II, rr «43 | 1.4 3l|0 (14 -41+3) =0 (r-DéM-3) =0 Como 1 e (0; 3) > Py (11) = 3()+3(01)+2(1) - 142 Py) =3+3+2-1+2 P..=9 (1) Rpta: A] + mm _ "n_ 30 E >3Y=1>3=1l>|in=0 54 | ÁLGEBRA ¡AMO OA IIA Efectuando D = 3aBy - (a7+83+y) como: a+P+y =0=>0%+8+y= 30y Luego: D = 3afy- 3apy = 0 Rpta: 5) De la ecuación: S- 6xé+11x-6=0; CS =([x1; xo; Xx3) se nota x1 +xo+xX3=0 Dato: x¡=3 —. x2+x3=3 De la ecuación: Rpta: (t-1)4+4(t-1)9+11(t-1)4+14(t-1)-8=0 Factorizando por el método del aspa doble especial: [(t-1)2+2(t-1)+8][(t-1)2+2(t-1)-1]=0 (12+7)(14-2)=0. La ecuación tiene 2 raíces reales que son: t¡=y2 A to=-42. Entonces, la suma de raíces reales es: t¡ +t2=0 e Ed dy VYáx 2Ny y Cambio de variable a 3 . Za a? -3=2a y al-2a+3=0 a —3 a +1 rs y y x-y_9-1_8 x 9 9 Rpta: (EY 2 [ a - -9Xx - 193 +(x-1Kkx-1? = Factorizando 2 a ha-9)+x-1|=0 >70-)+x-1 = () q0-9) =1-x Sx - 45 =3-3x 8x = 48 x=6 -. Suma de soluciones: 7 Rpta: Del sistema : rs Y I4 A = BÉ conos (2) Reempl. (2) en (1) x(x2+16) = y(5x2) x2 + 16 = 5xy ÁLGEBRA ¡AMO NOOOAl cuadrado : Xx + 32x24+256 = 25x2(5x2-4) 31x% - 33x?- 64 =0 (31x2 - 64)(x2 + 1)=0 4 1 Dando : x?= SF — y? =8 64 _ 196 E= LL bos 66 31 Rpta: a Del enunciado, sea el número de libros que Juan tenía al inicio: x. 19 Juan vende 1000 libros => queda (x — 1000) libros Por dato: gn 1000>> = mitad del n? de libros. (1) 2” Luego vende 502 libros > queda (x- 1502) libros Por dato: x-1502 < 500 (1) De (1): x>2000 y de (II): x < 2002 = 2000 < x <2002 Por lo tanto el número de libros: 2001 Rpta: a 112. Sea x el número de participantes inicialmente (x EX”) De las condiciones se plantea: . x-20>5 > x>30 (1) e x-20-5<7 > x<32 () Luego, de (1) y (11) 30 < x < 32 > x=31 Rpta: 56 Sean R: número de caballos de Roberto P: número de caballos de Pedro d: número de caballos de Juan donde (R; P¿ Ji cZ*. Se sabe que KR < 5 y R=P+3. > P+3<5 P<2iPe Z* => P=1 y R=4 Además P=J-1 1=J-1 J=2 > P+R+J=7 Por lo tanto, el número total de caballos es 7. Rpta: | a Análisis y procedimiento Nos piden Vb +a Datos: b>0 (1) ad<b > -Vb<a<wvb (1) De la condición a+ vb 2./b ls NN ÁLGEBRA EL CACHIMBO comob>0 = 24b>0 2/b < a+ vb Análisis y procedimiento vb <a (II) Nos piden el mayor número real r que cumpla que De (11) y (111) pa reox?+4x+6 :VYxeR < Jb Lx) eS > a=yP A a>vb Entonces, el mayor valor de r es el mínimo valor de f;,;. Luego, reemplazamos en la expresión pedida. Procedemos a completar cuadrados en fa mba para luego minimizarla. A] = a+a 109 =Lé+4x+4)+2 ” de 2 2a Rpta: O fo) =(x+2) +2 y El mínimo valor de f,,,= (x+ 2)? +2=2 ¡e mínimo valor es O Análisis y procedimiento Por lo tanto, el mayor valor de r es 2. De la condición Rpta: [E a x INECUACIONES 1 x+-2>0 De la inecuación 2:+4(2x-4 _ 1)< 2X- 16 se obtiene 22 — 2:+4_ 2x4+16<0 2 -2x+1_y (259-1727) +16<0 e Xx x 2 -16 (xD 2* ><, x 2-2 - Ma 2=16 => x=4 de donde (x-1)? > 0; xx 1 2=1=>x=0 1 —> 0 + E E => x>0 0 4 x e (0; 4) lxeR /x>01xx1) Rpta: (9) Respuesta Rpta: (E ixeR/x>0Axx1) 57 ÁLGEBRA EL CACHIMBO 2 x—x-6 2 ———— £ Se] =<O x*-1 > LA - E0 (x 3x+2) y Xx (x+1x-1) ANY DY Y 2 1 1 3 0 2 CS: x E R-—[0,2) x e (22; -D)u 4; 3] Rpia: (EY) Suma de valores de x =-Z + Z +3 7 Suma de valores de x = 3 ES Wa; b; x; y e E se cumple: "a B (a? + b2). (x2 + y2) > (ax + by)? Ii Según los datos: ad+bi=4 » x2+y2=8 3x-2 Reemplazando: (4)(8) > (ax + by)? 2r-3 +0 Efectuando: — 432 <ax + by< y 32 EE 3 Nos piden el mínimo valor de: Restricción: 1 +— 2 F=ax+by Puntos críticos: 2 y 3 Emnin= -4/2 3" 2 Rpta: + E + e < O- O de Edd == 1.3. + 3 2 Si: (X+ L] =m 2.31 p CS - E > ' La ecuación es: TP a b 2m -7m+ 6=0>(2m-3)(m-—2)=0 ÁLGEBRA EL CACHIMBO lx 7=22% =5 2 i) + 2= => Xy = 2 + ¿]=2 Aeolución =l- 28 Obs: x*0 => x|+1>1 =-1-1=-2 Rpta: po [Lo i u Luego 2x? -5x+2>14 2x" =5x-=12>0 mel x -4 (2x +3)(x -4)>0 - | y | . EZ CS.=x € Hu (4; 00) Rpta xe (=-5)u da 00 ) p 2 Rpta: (EY) IA Bx+2l- lx-1|=2x+3 Bx+21l li. 11 Ecuación Il [es-83/-3702 |-x+1 |-3x-2)-(-x+1) =2x +3 TW | es: [3x42 |eox+1 [[Bx +2) [-x+1) =2x +3 IM | lio) [3x+2 | x-1 [Bx+2)=(x=1)=2x+3 Dell): x<2/13 n -2x-3=2x-3 x<2/13 5 -á4dx=6 x<2/3 5 x=-—3/2 x=-3/2 mu DelI1): -2(3£2x<1 a 4x+1=2x+3 —2/3<x<1 a» 2x=2 —2/33x<1 apa x=1 xeUd a ES Del 111): x2la 2x4+43=2x4+3 x2l.A xeR x e [l; oo) y C.S.=SP, USP, U SP, z C.S.=Í- Jul; 00) Cs.=|-3) vÍ1; 0) Rpta: ([5) Rpta. 2Lx + 31- 3lx - 61 + lx -15|=x +6 Por puntos criticos —o 3 6 15 +00 Ll x<-3>x=-15 Il 3<x<6>x=1 TM 6<x<15>x=11 IV, x>15 =>x = 3 (no satisface la igualdad) ¿. CS=[-15, 1, 11) Y de los valores de x =-3 Rpta: 59 ÁLGEBRA Se observa: (+) (+ 11-34 PB), (x1-023 Ñ (+) 0 Reduciendo factores positivos: | x + 1|-3= 0 =|x+1|2=3 por teorema: [x+1[2>230x+1>3Vx+1<-3 Ssx=2Vx<-4, luego: ES =<- 00; -4]U[2; + 00 > Identificando con el dato: b=2 A a=-4 =b-a=6 Rpia: (EJ) Six>=0 S1i+e>0 xQ? +1) > 0, luego x > 0....(0) Si x<0 Só-x>0 xé-1)>0 x,=0 xa+Da-1)> 0 /1=-1 x=1 FYY+ — comox<0 -1 0 1 tal Mor (B) (a) U (PB) => xx el, 0) U (0, a) Rpta: (Ey 60 AMOO OO Despejamos: |19x]| < 19 19.|x] < 19 |x| <1 “. xe<-1;1> (b—11+Je=2p()=11-P=2) 2-6 (y E >pP Rpta: (Ey Efectuando P-2-3<0 a-3Aa+1<0 Luego C.S. = [-1; 3] Respuesta C.S. = [-1; 3] Rpta: IB varor assoturo 15< 12 +2-8<15 Xx 244 <23+2 X 1 Y (+) <a x (1+l+5][x+2-5)<0 Xx Xx Positivo Como: x>0 e-5x+1<0 S-V21 5421 2 2 os- (342, a 2 192 Rpta: [([-4 LL 6-36 Ss | (a) de (a):A<0=>a>0 [x2-5x+15-x2+8|=/3x+9] |-5x+23|=/|3x+9| por teorema: -Ox+23=3x+9 v -5x+23=-3x-9 x=7/4 y IL. |x-4/45|x-4|+6=0 factorizando: (|x-4|-2)(|x-4]-3)=0 |[x-4|=2 v |x-4| =3 x=2VWx=6|: x=7VWx= 1] Suma de soluciones enteras de ambas: 32 Rpta: 132. nx _ 1+|nx] — = ——— >0 my 1+|mx| nx x Luego: —>0 => —>0 my y Así: |x| =]y] Efectuando: nx =my nx CAT Reemplazando p(x, y) = ml1 -(M+N)X + mn? | q 61 A, ÁLGEBRA 3 |l=x| <1 Por teorema lal <besb>0a-b<a<b =l<l-x<l =H; -2<x<0 xX2.-4<-2r<0 +1. -3<1-2r<1 >2(1-20€ (3; 1) Respuesta (3; 1) Rpta: |2x%-14x+16|<2x+2 22>ld-T+8|<x+1 D x+120>x2>-1 Luego: -x-1< 12-71+8 <x+1 >-x-1<12-71+8 0<1-6x+9 (x-3)>0 xeR... (0) >-7x+8<x+1 -8x+7<0 (x-Tix-1) <0 pan x,=1 1<x<7...(B) De (a) y (B) sixe la; b] >1x€6[1; 7] -a+b=8 Rpta: OA pe Análisis y procedimiento Nos piden el valor de Vab. Datos: e la +lbó=1 > al+b?=1 + (a+b)=2 al+b9+20b=2 > ab= 1 1 2 EN A a E 2 1 Rpta: ¡EIA Resolviendo: (x+1)|-1)? Praia o Ix+1|%1 >x*0 5 x%-2 < ] —00 -2 [x+1|<-2 y |[x+1|>2 —_—_—_—— Absurdo x+1<-2 v x+1>2 x<-3 v x>1l q __—_—_—_—_— xe <-0; -3I>U<l; +0> Rpta: (9) ¡E sta m n mx+p>0Anx+gq<0 Oo — — + = Reemplazando en la ecuación | mx + p [F| nx + q | o? A] + e 62 EL CACHIMBO mx+p=-nx-q XxX = P+*9A m-+n Rpta: INECUACIONES Del dato: Dex<?7 O<x<?7 7 <-x<0 3=<x+3<10 DEBIRES 1, 1_1 10 x43 3 Reemplazando: E, 10 x+3 3 1 <y< 5. 5 3 mb Suma extremos: $_ 1 Es 22 3.5615 22 | Rpta: Rpta. 15 p - E 2 +0 Sistema de inecuaciones Y -3x-2<0 | Restamos miembro Y O a miembro -2x-1<0 -2x= 1 x>- El menor valor entero que puede asumir x es 0, Roto: ÁLGEBRA EL CACHIMBO Reemplazando en (au) y (BB) Del gráfico: A "lx>1 SL Luego: x + y = 4 Respuesta: x+y=4 Rpta: a 142. Separando... | Yi 3 x>0 La yo e : E e. y>0 NO». x x (5, 0) t 6 a Xx (0, 0) ” J y Y x<6 A x2y A x+y24 Respuesta Región interior al triángulo de vértices Rpta: xS6,x2y, x+y24 (0, 0),(0,5), (5, 0) Rpta: Rpta: Análisis de los datos o gráficos Programación lineal Del gráfico se deduce: T7+x<3uy E x+5>2y q 4>y 0<x<1 0<y<l Hallar: x + y Se tiene que resolver en Z. Apia: 93 OE 0SyS1 Operación del problema Rpta: Volviendo a escribir: a < —7 ... (a) 3 >x>-8.6 -2y> *- 2929. (Bl ME +5 >1<25,6 4 (a) + (-1).(B): y < -2 86 <x<-5,6 y> 2 J enteros a : GOES 6 E Como: y < 4; entonces: y = 3 > ) Suma = 21 RPta: 63 - ÁLGEBRA EL CACHIMBO Aumentando y restando 1: > flx)==x" +2x-1+1 f(x) =-(x 14 +1 Luego se cumple que: (x-1)? > 0 Mult. por(-1) =-(x-1)*< 0 Aument. (1) > 1-(x -1f <1 — f()<1 Ran(f)= (=a% 1] Rpta: f(x) = es una función de 1.* grado Na =ac+b Sifi4)=7 => 4a+b=7 7/, Sifl3)=1 => 3a+b=1 a=6; b=-17 > flx)=6x-17 f(-2)=6(-2)-17 => f(-2) =-29 Rpta: Sea la función: f(x) =mx+n f(2)=10 => 2m+n=10 Rpta. | - 29 ets FUNCIONES fo) = 2 -2x+3 glx) =3+2 => fl) = al) x -2x+3=>5+2
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