Inecuaciones - Desigualdades

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DESIGUALDADES E 
INTERVALOS
DESIGUALDADE
S Definición:
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente
entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos:
 desigual que ≠
 mayor que >
 menor que <
 menor o igual que ≤
 mayor o igual que ≥
 Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos
miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo de des
igualdad y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de
desigualdad.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
CLASIFICACIÓN DE DESIGUALDADES
DESIGUALDAD LINEAL
Desigualdad lineal es una desigualdad que involucra a una función
lineal. Una desigualdad lineal contiene uno de los símbolos de la
desigualdad:
DESIGUALDAD CUADRÁTICA
Para resolver desigualdades cuadráticas se debe reunir todos los términos
diferentes a cero en un solo miembro, si se pueden factorizar sus términos
en factores de primero grado y se aplican el método gráfico, que
explicamos enseguida.
• < es menor que
• > es mayor que
• ≤ es menor o igual a
• ≥ es mayor o igual a
• ≠ no es igual a
• = es igual a
https://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
INTERVALOS
DEFINICIÓN:
Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si
los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el
contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si uno de
extremos pertenece al conjunto y el otro no, se dice que semiabierto o
semicerrado.
SOLUCIONES DE DESIGUALDADES
Resolver una desigualdad es un proceso que consisten en
transformar las desigualdades hasta que el conjunto solución sea
evidente.
1. Se puede adicionar o aumentar el mismo número miembros de la
desigualdad.
2. Se pueden multiplicar o dividir ambos miembros de una desigualdad
por un número positivo, sin que la desigualdad cambie de sentido.
3. se pueden multiplicar ambos miembros por un número negativo, pero
se debe de cambiar el sentido de la desigualdad.
EJEMPLO:
PARA RESOLVER:
INECUACIONES LINEALES
CONCEPTO
 Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o
más incógnitas en los miembros de la desigualdad. La solución de una inecuación lineal
se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene
infinito números reales.
 En la práctica, la propiedad de que al sumar o restar una misma cantidad en ambos
miembros la desigualdad no se altera significa que cualquier cantidad que esté en un
miembro de una inecuación se puede transponer al otro miembro cambiándole el signo.
 Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9.
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita
REGLAS
1. Al sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros de la inecuación, se obtiene una
inecuación equivalente.
2. Al multiplicar o dividir por una misma cantidad positiva los dos miembros de una
inecuación, se obtiene otra equivalente.
3. Al multiplicar o dividir por una misma cantidad negativa los dos miembros de una
inecuación, se obtiene otra equivalente cambiando el sentido de la desigualdad.
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN
1.) Para resolver la inecuación
se transponen los términos 2x y 2, cada uno al otro miembro, y se obtiene
Ahora, si se dividen ambos miembros entre -5, tomando en cuenta que la desigualdad
cambia quedando
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN
En términos de intervalos, la solución es , gráficamente, se representa como
GRÁFICO
PARA RESOLVER:
INECUACIONES
CUADRÁTICAS
PASOS PARA SOLUCIONAR
inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y
en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c
ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede llevar a
de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes.
CONCEPTO:
Algunas recomendaciones que debes tener en cuenta al resolver inecuaciones cuadráticas son:
1. Hacer uno de los miembros de la inecuación igual a cero.
2. Eliminar signos de agrupación, denominadores (si los hay) y reducimos términos semejantes.
3. Verificar el grado de la inecuación resultante y si es de segundo grado, FACTORIZAMOS,
aplicando alguno de los diferentes casos.
4. Analizar el signo de cada paréntesis, para ello, igualamos cada factor (PARÉNTESIS) a cero y
establezcamos el punto crítico de cada uno de ellos.
6. Utilizar el método del cementerio para hallar los intervalos solución, aplicando la ley de los
signos.
7. Expresar la solución en notación de intervalos.
EJEMPLO:
Halla la solución de la siguiente inecuación cuadrática.
1) x2 – 2x > 3
Respuesta.
1. x2 – 2x – 3 > 0
x2 – 2x – 3 = 0.
(x – 3) (x+1) = 0 x = -1 ó x = 3
Rta. x Real: x > 3 ó x < -1 También se puede dar la respuesta en forma de intervalo
S = ]-∞, -1[ U ] 3,+∞[
GRÁFICA
 Para graficar una desigualdad cuadrática, comience graficando la parábola. 
Luego rellene la región ya sea arriba o debajo de ella, dependiendo de la 
desigualdad.
 Si el símbolo de la desigualdad es o , entonces la región incluye la parábola, 
así debe ser graficada con una línea continua.
 De otra forma, si el símbolo de la desigualdad es o , la parábola debe ser 
dibujada con una línea punteada para indicar que la región no está incluida en 
sus bordes.
1. 5x2 + 2x > 4x2 + 2x +16.
2. x2 + 19x ≥ 9x - x2.
3. -7x2 + 13x ≥ 9x - 19x2.
4. x2 + 12x + 36 ≤ 4.
5. 10x2 - x < 6x - 10x2 + 40.
6. 50 + x2 > 2x2 - 50.
7. 2x2 - 10x - 12 < 0
8. (2x- 4)(3x - 6) > 0
9. x(2x- 5) ≥ 5x + 12
EJERCICIOS PROPUESTOS:
INECUACIONES
RACIONALES
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador
son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Es uno de los
que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo
fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.
CONCEPTO:
Como resolverlo?
Para resolver esta inecuación debe de hallarse la raíz de cada termino, tanto al numerador
como al denominador, y se debe excluir al numero que haga 0 al denominador ya que de otro
modo quedaría un numero que no pertenece a los números reales.
Para excluir al numero que hace 0 el denominador, lo colocamos en un paréntesis y NUNCA
en un corchete, recordemos que al colocar un paréntesis no se toma ese numero, sino los
mayores o menores dependiendo del sentido.
Ya tenemos nuestra inecuación igualada a 0
Igualamos a cero cada termino, arriba y abajo y
obtenemos nuestras raíces. ½ y +4
Expresamos nuestra solución, buscando en el
cuadro de intervalos o la línea de intervalos los que
sean positivos, ya que en este caso nuestra
inecuación es mayor que 0
EJEMPLO:
1. Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
2. Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las 
raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen 
que ser abiertas
3. Tomamos un punto de cada intervalo, evaluamos en la inecuación inicial y 
observamos el signo en cada intervalo:
4. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el 
mismo signo que la fracción polinómica
 El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede 
ser cero.
INECUACIONES
IRRACIONALES
DEFINICIÓN
 Es aquella desigualdad en la cual en uno de sus miembros aparece una 
expresión irracional.
 Se pueden resolver por diversos métodos como, por ejemplo:
 Método de puntos críticos
 Se presentan de la forma:
EJEMPLO
RESOLUCIÓN:
PARA RESOLVER:
INECUACIONES
CON VALOR
ABSOLUTO
EJEMPLO
Una inecuación de valor absoluto es una combinación de dos conceptos:
valores absolutos
inecuaciones lineales.
 Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una 
variable) de los realesen los reales:
y se define como una función a trozos:
Esta función es continua en los reales y derivable en
La gráfica de la función es:
• El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando 
su argumento es 0:
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO PARA INECUACIONES
• El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos 
de los factores:
• Valor absoluto de la suma:
• Propiedad: Si la desigualdad es ≤ (menor o igual ) 
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO PARA INECUACIONES
Podemos escribir
Ó
(tienen que cumplirse ambas relaciones).
Dicho en forma de intervalos:
• Propiedad: Si la desigualdad es ≥ (mayor o igual)
(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Dicho en forma de intervalos:
Podemos escribir
NOTA
• si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
• si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con
signo opuesto, es decir, con signo positivo);
• si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni
negativo.
PARA RESOLVER: