PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-35

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X=1X=-1
Y=XY=-X
X=1X=-1
Y=XY=-X
El dibujo de la curva es el siguiente:
-10 10
-10
10
E 6- Dibujar la curva y  x  1  x
3
x − 1 .
Solución: La curva no es real para x
3
x − 1  0, es decir para 0  x  1. El valor x  1, hace infinito el
valor del radicando, luego se trata de una asíntota paralela al eje YY ′. Para estudiar la posición de la curva
respecto a esta asíntota, se sustituye x  1  , con  → 0, obteniéndose y  2  1

. Luego para   0,
y  , mientras que para   0, el valor de y es imaginario, luego no hay curva. Para obtener las
asíntotas generales, se tiene: y  x  1  x xx − 1
1
2  x  1  x 1  1x 
1
x2
. . .
1
2 
 x  1  x 1 
1
2
1
1
x 
1
x2
. . . 
1
2
2
1
x 
1
x2
. . .
2
. . . . De donde se tiene que:
y ≃ x  1  x  12 
3
8x . Luego hay dos asíntotas generales: y  2x 
3
2 , y 
1
2 . Para estudiar la
posición de la curva respecto a y  2x  32 , se tiene yc − ya 
3
8x ; luego para x  , yc  ya, y para
x  −, yc  ya. La curva la corta en −13 ,
5
6 . Con relación a y 
1
2 , se tiene yc − ya 
−3
8x ; luego
para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. La curva la corta en −13 ,
1
2 . Los puntos de intersección
de la curva con el eje XX′, tienen por abscisas 1  52 . El punto de intersección con el eje YY
′, tiene por
ordenada 1. Este punto 0,1 es de retroceso, siendo su tangente doble y  x  1. Derivando la ecuación
de la curva e igualando a cero, se tiene el mínimo 43 ,5 . De acuerdo con lo anterior, se presenta
seguidamente el dibujo de la curva, que también se puede realizar partiendo de la recta y  x  1,
sumando y restando a la ordenada de cada uno de sus puntos, la cantidad x
3
x − 1 .
-2 2
-5
5
103
E 7- Dibujar la curva y2  x  1  x
3
x − 1 .
Solución: Dibujada la curva del ejercicio anterior E 6, en cada punto de ella se extrae la raíz cuadrada de
su ordenada, obteniéndose dos puntos que tienen la misma abscisa que el punto de que se trata, y cuyas
ordenadas son simétricas respecto al eje XX′. Es evidente que a los puntos de aquella curva cuya ordenada
es negativa, no les corresponde curva real al extraer la raíz cuadrada. Las asíntotas de la nueva curva son:
x  1, y   22 . La curva corta a las asíntotas y  
2
2 , en los puntos de abscisa
−1
3 . La curva tiene
ramas parabólicas según el eje OX. La tangente en el punto de retroceso 0,1 es: y  x2  1. La tangente
en el punto de retroceso 0,−1 es: y  −x2  1. Los puntos de intersección con el eje XX
′, tienen por
abscisas 1  52 . Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero, se tiene el mínimo
4
3 , 5 y
el máximo 43 ,− 5 . Seguidamente se presenta el dibujo de la curva.
-5 5
-4
-2
2
4
E 8- Dibujar la curva y  3 −x3 − 3x2  2x , hallando la tangente en el origen como
x→0
lim yx .
Solución: El
x→0
lim yx 
x→0
lim 3 −1 − 3x 
2
x2
 , luego la tangente en el origen es el eje YY ′. Como
y  −x 1  3x −
2
x2
1
3 ≃ −x − 1  53x , la asíntota general es y  −x − 1. Como yc − ya 
5
3x , se
tiene que para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. La curva corta a la asíntota en el punto de abscisa
−0.2. Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero, se tiene: 3x2  6x − 2  0, de donde se
obtiene el máximo −3  153 ,
−36  10 15
9 y el mínimo
−3 − 15
3 ,
−36 − 10 15
9 . Los
puntos de intersección con el eje XX′, tienen por abscisas: 0, −3  172 . La curva corta al eje YY
′ en el
origen, cuya tangente se ha calculado más arriba. De acuerdo con lo anterior, el dibujo de la curva es el
siguiente:
-4 -2 2 4
-5
5
E 9- Por desarrollo en serie encontrar las asíntotas de la curva y  x2 − 3x  2  x2 − 1 .
Solución: Se tiene: y  x 1  −3x 
2
x2
1
2  x 1 − 1
x2
1
2  2x − 32 −
5
8x . . . . La asíntota es
y  2x − 32 . La posición de la curva respecto a la asíntota, viene dada por yc − ya 
−5
8x , luego para
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x  , yc  ya. La curva no corta a la asíntota. No hay curva para y  0. El dibujo de la curva es el
siguiente:
-1 1 2 3
2
4
E 10- Dibujar la curva y  x3x − 12.
Solución: No tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según OY en el primer cuadrante, y otra según
OY ′ en el tercer cuadrante. Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero, se tiene:
y ′  x25x2 − 8x  3  0, obteniéndose las raíces 0, 35 , 1. Siendo la segunda derivada
y ′′  2x10x2 − 12x  3, el punto 0,0 es de inflexión, el punto 35 ,
108
3125 es un máximo, el punto
1,0 es un mínimo. La tangente en 0,0 es el eje XX′. La curva no tiene otros puntos de intersección con
los ejes que los ya reseñados. El dibujo de la curva es el siguiente:
1
-0.5
0.5
E 11- Dibujar la curva y  x − 1x  13x − 22.
Solución: La curva no tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica en el primer cuadrante, según el eje
OY, y otra en el segundo, también según OY. Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero:
y ′  2x  12x − 23x2 − 5x  1  0, cuyas raíces son: −1, 2 y 5  136 . Como la segunda derivada
es y ′′  4x  1x − 23x2 − 5x  1  2x  123x2 − 5x  1  2x  12x − 26x − 5, el punto
−1,0 es de inflexión, el punto 2,0 es un mínimo, el punto 5 − 136 ,−4.49 es un mínimo, el punto
5  13
6 ,2 es un máximo. La tangente en −1,0 es el eje XX
′. Los puntos de intersección con el eje
XX′, tienen por abscisas: −1, 1, 2. Los puntos −1,0 y 2,0 se han estudiado más arriba. La pendiente de
la tangente en 1,0 es 8. La intersección con YY ′ es el punto 0,−4, siendo −4 la pendiente de su
tangente. A continuación se presenta el dibujo de la curva, atendiendo a lo expuesto.
-1 1 2
-5
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