PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-37

Vista previa del material en texto

E 19- Dibujar la curva y   x − 5x  3 x
2  1 .
Solución: La curva es simétrica respecto al eje XX′. Tiene la asíntota x  −3. Para estudiar la posición de
la curva respecto a ella, se sustituye x  −3  , con  → 0, con lo que y   −8 10 , luego tanto para
  0, como para   0, yc  . Realizando las operaciones de la ecuación dada, se tiene:
y   x − 8  492x . . . . Luego la curva tiene las asíntotas generales y  x − 8. Para estudiar la
posición de la curva respecto a y  x − 8, se tiene yc − ya  492x , luego para x  , yc  ya, y para
x  −, yc  ya. La posición con la asíntota y  −x  8, es simétrica de la posición anterior, respecto al
eje XX′. La curva corta a estas asíntotas en los puntos de abscisas −1.66 y 6.76. Derivando la ecuación
dada e igualando a cero, se tiene: x3  6x2 − 15x  8  0, cuyas raíces son: 1 (raíz doble) y −8. Los puntos
1, 2 son de inflexión. El punto −8, 13 655 es un mínimo, y el punto −8,
−13 65
5 es un
máximo. La curva corta al eje XX′ en 5,0, donde tiene dos tangentes cuyas pendientes son  268 . El
dibujo de la curva es el siguiente:
-10 10
-20
20
E 20- Dibujar la curva y  x  x − 1x − 23 .
Solución: La curva tiene valores reales para x ≤ 1, y para x ≥ 2. No tiene asíntotas. Tiene en cada
cuadrante una rama parabólica, según OY en los dos primeros cuadrantes, y según OY ′ en el tercero y
cuarto cuadrantes. La curva se puede dibujar sumando y restando a la ordenada de cada punto de y  x, la
cantidad x − 1x − 23 . En el punto 1,1 la pendiente de la tangente es . En el punto 2,2, la
pendiente de la tangente es 1, siendo un punto de retroceso. La curva corta al eje XX′ según la ecuación
x4 − 7x3  17x2 − 20x  8  0, cuyas raíces reales son 0.73 y 3.72. El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2 4
-5
5
E 21- Hallar la ecuación tangencial de y2  x3.
Solución: Como ux  vy  1  0, y  −1 − uxv . Luego x
3  −1 − uxv
2
. Desarrollando, se tiene:
v2x3 − u2x2 − 2ux − 1  0. Derivando respecto a x, se tiene: 3v2x2 − 2u2x − 2u  0. De donde se obtiene:
109
x  u
2  u4  6uv2
3v2
. Luego, sustituyendo este valor en la ecuación v2x3 − u2x2 − 2ux − 1  0, se tiene:
v2 u
2  u4  6uv2
3v2
3
− u2 u
2  u4  6uv2
3v2
2
− 2u u
2  u4  6uv2
3v2
− 1  0. Operando y
simplificando, se tiene la ecuación tangencial: 27v2  4u3  0.
E 22- Hallar la ecuación puntual de u2  v3.
Solución: Como ux  vy  1  0, v
3
2 x  vy  1  0. Derivando respecto a v: 32 v
1
2 x  y  0, de donde
v  4y
2
9x2
, u  −9x
2 − 4y3
9x3
. Luego −9x
2 − 4y32
81x6
 64y
6
729x6
. Operando y simplificando: 27x2  4y3  0.
E 23- Dibujar y   x  x
5
x − 1 .
Solución: Los intervalos de existencia de la curva vienen dados por x
5
x − 1 ≥ 0, x 
x5
x − 1 ≥ 0. La
primera desigualdad se cumple para x ≥ 1, y para x ≤ 0. La segunda desigualdad se cumple para
x ≤ −1.32, y para x ≥ 1. La curva es simétrica respecto al eje XX′. El punto de la curva 0,0 es un punto
aislado. La curva tiene la asíntota x  1; evidentemente la curva toma los valores , para x  1  , con
 → 0. Efectuando las operaciones indicadas en la ecuación de la curva, se tiene:
y  x 1  34x −
3
32x2
. . .   x  34 −
3
32x . . . . Luego la curva tiene las asíntotas generales
y   x  34 . Para estudiar la posición de la curva respecto a y  x 
3
4 , se tiene que yc − ya 
−3
32x ,
luego para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. Las posiciones respecto a y  −x − 34 , son las
simétricas de las anteriores, respecto al eje XX′. La curva no corta a las asíntotas. La tangente en
−1.32,0 tiene por pendiente . Derivando la ecuación de la curva e igualando a cero, se tiene:
16x5 − 40x4  21x3  12x2 − 12x  4  0, que tiene una raíz real para 1.21, es decir que 1.21,2.03 es
un mínimo, y su simétrico respecto a XX′, es un máximo. El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 -1 1 2
-4
-2
2
4
E 24- Dibujar la curva y  x x
2 − 3
3x2 − 1
.
Solución: La curva es simétrica respecto al origen de coordenadas. Tiene las asíntotas paralelas al eje
YY ′, x   1
3
. Para estudiar la posición de la curva respecto a x  1
3
, se sustituye x  1
3
 , con
 → 0, con lo que y  −49 , luego para   0, y  −, y para   0, y  . En relación a x 
−1
3
, se
sustituye x  −1
3
 , con  → 0, con lo que y  −49 , luego para   0, y  −, y para   0, y  .
Realizando las operaciones indicadas en la ecuación dada, se tiene: y  x3 −
8
9x . . . , luego la curva
tiene la asíntota general y  x3 ; como yc − ya 
−8
9x , para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. La
curva no tiene máximos ni mínimos, y corta al eje XX′ en los puntos de abscisas 0 y  3 . El punto 0,0
es de inflexión, siendo 3 la pendiente de su tangente. La pendiente de las tangentes en  3 ,0 es 34 . El
dibujo de la curva es el siguiente:
110
-2 2
-2
2
E 25- Calcular tanh4a en función de tanha. En el resultado obtenido, sustituir tanh4a  y, tanha  x,
representando la curva y  fx.
Solución: tanh2a  2 tanha
1  tanh2a
, tanh4a 
4 tanha1  tanh2a
tanh4a  6 tanh2a  1
, y  4x1  x
2
x4  6x2  1
. La curva es
simétrica respecto al origen de coordenadas. Tiene la asíntota y  0. Para estudiar la posición de la curva
respecto a y  0, se tiene que para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. Derivando la ecuación de la
curva e igualando a cero, se tiene el máximo 1,1 y el mínimo −1,−1. La pendiente de la tangente en
0,0, que es punto de inflexión, es 4. No tiene ninguna otra intersección con los ejes. El dibujo de la
curva es el siguiente:
-10 10
-1
1
E 26- Dibujar la curva y  x  2
2x − 1x − 23x − 42
x  3x  13x − 34x2
Solución: Las asíntotas son x  −3, x  −1, x  3, x  0, y  0. Las posiciones de la curva respecto a
ellas, son las expuestas en el dibujo. La curva no corta a las asíntotas verticales. La curva no corta al eje
YY ′. El punto −2,0 corresponde a un máximo. La pendiente de la tangente en 1,0 es −729512 . El punto
2,0 es de inflexión, siendo su tangente y  0. El punto 4,0 corresponde a un mínimo. La curva tiene
otros dos mínimos: −0.38,79.59, 1.19,−0.012, y otro máximo para 6,0.009. El dibujo de la curva
es el siguiente:
-4 -2 2 4
50
100
En el siguiente dibujo se presenta un detalle referente a la posición de la curva respecto al eje XX′, para
x  0.
111