PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-62

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Fig A
Y=5/8
X=0
Fig B Fig C
Y=1
Fig D
Y=5X/4-19/8
Fig A
Y=5/8
X=0
Fig B Fig C
Y=1
Fig D
Y=5X/4-19/8
El dibujo de la curva es el siguiente:
-10 -5 5 10
-2
-1
1
2
3
-10 -5 5 10
-2
-1
1
2
3
E 162- Dibujar la curva x  − 1  t
2
tt − 1 , y  −
1  t2
t − 1 .
Solución: 1º) Asíntotas: Para t  0, x  , asíntota: y  1; haciendo t  , con  → 0, x  1 ,
yc − ya  , luego para   0, x  , yc  ya, y para   0, x  −, yc  ya (figura A). Para t  ,
y  , asíntota: x  1; como xc − xa 
−t  1
tt − 1 , para t  , y  −, xc  xa, y para t  −, y  ,
xc  xa (figura B). Para t  1, y  x  , a 
t1
lim yx 
t1
lim t  1, b 
t1
lim y − x 
t1
lim −t
2 − 1
t  −2,
siendo la asíntota general: y  x − 2; haciendo t  1  , con  → 0, yc − ya  −2, luego siempre yc  ya
(figura C). 2º) Máximos y mínimos: para y ′  0, t  1  2 , teniéndose el punto −2,−2 ∓ 2 2 ; para
x ′  0, t  −1  2 , siendo el punto 2  2 2 ,2 . 3º) No hay intersecciones con los ejes.
Y=1
Fig A
X=-1
Fig B
Y=X-2
Fig C
Y=1
Fig A
X=-1
Fig B
Y=X-2
Fig C
El dibujo de la curva es el siguiente:
-10 10
-10
10
184
E 163- Dibujar la curva x  t
2  1
2t , y 
2t − 1
t2
.
Solución: 1º) Intervalos de existencia: Como t2 − 2xt  1  0, t  x  x2 − 1 , luego no hay curva en
−1  x  1. Como yt2 − 2t  1  0, t 
1  1 − y
y , luego no hay curva para y  1. 2º) Asíntotas: Para
t  , x  , asíntota: y  0; para determinar la posición de la curva respecto a la asíntota, se tiene que
para t  , x  , y  0, y para t  −, x  −, y  0 (figura A). Para t  0, x  , y  −;
a 
t→0
lim yx 
t→0
lim 22t − 1
tt2  1
 −, se trata, por tanto, de una rama parabólica según el eje YY ′ (figura B).
3º) Intersección con los ejes y con las rectas x  1, y las pendientes m de sus tangentes: para t  12 , el
punto de intersección con el eje XX′ es 54 ,0 , siendo m 
−16
3 ; para t  1, la intersección con x  1,
es el punto de retroceso 1,1, m  −2; para t  −1, la intersección con x  −1, es −1,−3, m  .
Fig A
Y=0
Fig BFig A
Y=0
Fig B
El dibujo de la curva es el siguiente:
-4 -2 2 4
-4
-2
E 164- Dibujar la curva x  t
3
1 − t2
, y  t − 2
1 − t2
.
Solución: 1º) Intervalos de existencia: Como yt2 − 2y  1t  y  2  0, t 
2y  1  1 − 4y
2y , luego
no hay curva para y  14 . 2º) Asíntotas: Para t  , x  , asíntota: y  0; para determinar la posición
de la curva, se tiene que para x  , ya  yc, y para x  −, yc  ya (figura A). Para t  1, x  ,
y  , yx  , luego se trata de una rama parabólica según el eje OY (figura B). Para t  −1, x  ,
asíntota: y  −34 ; para determinar la posición de la curva, se tiene que para x  , yc  ya, y para
x  −, yc  ya (figura C). 3º) Intersección con los ejes, y pendientes m de sus tangentes: Para t  0, el
punto de corte es 0,−2, que es punto de inflexión, siendo m  . Para t  2, se tiene el punto de corte
−8
3 ,0 , siendo m 
−9
4 . 4º) Punto de cruce: Para hallarlo se forma el sistema:
t13
1 − t12
 t2
3
1 − t22
,
t1 − 2
1 − t12
 t2 − 2
1 − t22
, cuya solución es t1  1,651, t2  −0,866, siendo el punto de cruce −2.6,−0.8.
5º) Máximos y mínimos: Para x ′  0, se tiene t  0 (punto de inflexión ya estudiado), y t   3 ,
obteniéndose el máximo de x para −2.6,−0.5, y el mínimo de x para 2.6,−0.5. Para y ′  0, se tiene
t  3, obteniéndose el máximo de y para −3.37,0.25.
Fig B
Y=-3/4
Fig C
Y=0
Fig A Fig B
Y=-3/4
Fig C
Y=0
Fig A
185
El dibujo de la curva es el siguiente:
-5
10
-1
0
-5
10
-1
-5
10
-1
0
E 165- Dibujar la curva x  2t
1  t22
, y  t
21 − t2
1  t22
.
Solución: 1º) Intervalo de existencia y simetría: Como y  1t4  2y − 1t2  y  0,
t2 
1 − 2y  1 − 8y
2y  1 , luego no hay curva para y 
1
8 , ni para y  −1. La curva es simétrica respecto al
eje YY ′. 2º) La curva es cerrada, no tiene asíntotas. 3º) Intersección con los ejes, y pendientes m de sus
tangentes: Para t  0, 0,0, m  0. Para t  1, 12 ,0 , m  1. Para t  −1,
−1
2 ,0 , m  −1.
4º) Máximos y mínimos: Para x ′  0, t   1
3
, t  . Para y ′  0, t  0, t   1
3
, t  . Los tres
puntos  3 38 ,
1
8 y 0,−1, correspondientes a los tres valores de t que anulan a las dos derivadas,
son puntos de retroceso, siendo las pendientes de sus tangentes, respectivamente,  1
3
y . El punto
0,0, correspondiente a t  0, es un mínimo de y. El dibujo de la curva es el siguiente:
-0.5 0.5
-1.0
-0.5
E 166- Dibujar la curva x  t
3
t − 1t − 2 , y 
t2 − 2t
t − 1 .
Solución: 1º) Asíntotas: Para t  1, x  , y  , a 
t→1
lim yx 
t − 22
t2
 1,
b 
t→1
lim y − x  −4tt − 2  4, la asíntota es: y  x  4; para determinar la posición de la curva, se tiene
para t  1  , con  → 0, y  −1 , yc − ya  8, luego para   0, y  −, yc  ya, y para   0,
y  , yc  ya (figura A). Para t  2, x  , la asíntota es: y  0; para determinar la posición de la
curva, se tiene para t  2  , con  → 0, x  8 , yc − ya  2, luego para   0, x  , yc  ya, y para
  0, x  −, yc  ya (figura B). Para t  , x  , y  , a 
t→
lim yx  1, b 
t→
lim y − x  −4, por
tanto la asíntota es: y  x − 4; para t  , x  0, yc  ya, y para t  −, x  0, yc  ya (figura C).
2º) Intersección con los ejes: Para t  0, 0,0, punto de inflexión, siendo  la pendiente de la tangente.
3º) Máximos y mínimos: Para x ′  0, la única raíz real es t  0, ya estudiado. Para y ′  0, no hay raíces
reales.
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