calculo-diferencial-e-integral-francisco-javier-pérez-gonzález-164

Vista previa del material en texto

Ejercicios propuestos 467
b
b
�1
2
0
x D y2
x D y C 2�
Figura 8.10. Ejemplo de región de tipo II
Tenemos que:
�.�/D
2w
�1
.y C 2 � y2/dy D 9
2
como se muestra en la figura8.11. Aunque la región así obtenida,�s , no es la misma� tiene,
sin embargo, igual área que�.
b b
�1 20
y D x2
y D x C 2
�s
Figura 8.11. Simétrica de la figura8.8
�.�s/D�.�/D
2w
1
.xC2�x2/dxD9
2
:
�
8.7.2. Ejercicios propuestos
404. Calcula el área de las dos partes en que la parábolay2D4x divide al círculox2Cy2D8.
405. Calcula para qué valor de� la curvay D � cosx divide en dos partes de igual área la
región limitada por la curvay D senx y el eje de abscisas cuando0 6 x 6 �=2.
406. Calcula el área encerrada por el bucle de la curvay2 D x.x � 1/2.
407. a) Calculaf .t/D
C1w
0
sen.xt/e�x dx .
b) Calcula el área limitada por la gráfica def y el ejeOX .
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 468
408. Calcula el área de las regiones del plano limitadas por las siguientes curvas.
1. y D x.x � 1/.x � 2/ y el ejeOX .
2. x D 12y2 � 12y3; x D 2y2 � 2y.
3. y D�x2 � 2x; y D x2 � 4; �3 6 x 6 1.
4. y D x2; x C y D 2; x > 0; y > 0.
5. x C y2 D 3; 4x C y2 D 4.
6. y D sec2 x; y D tg2 x; ��=4 6 x 6 �=4.
7.
x2
a2
C y
2
b2
D 1, a > 0, b > 0.
8. .y � x/2 D x � 3; x D 7.
9. y D .logx/2; 0 < x 6 e.
10. y2 D 1� x
1C x ; x D�1.
11. y D x e�x; y D x2 e�x; x > 0.
409. Calculaa > 0 por la condición de que el sec-
tor parabólicoOAB de la figura de la derecha
tenga área mínima. El puntoB es la intersec-
ción de la parábolayDx2 con su normal en el
puntoAD .a; a2/.
A D .a; a2/
B
O
y D x2
410. Con un disco de radioR queremos hacer,
recortando un disco concéntrico de radio
r , una arandela como la de la figura de la
derecha. Se pide calcular el radior por la
condición de que el área de la parte de la
arandela que queda a la izquierda de la rec-
ta xD r (sombreada en gris) sea máxima.
Sugerencia. Tomar̨ como variable.
O
R
r
˛
B
A
411. Una corona circular de radio interior
p
2 y radio exterior
p
6 se corta con la parábola de
ecuaciónx D y2. Calcula el área de cada una de las dos regiones resultantes.
412. Se considera la hipérbola de ecuaciónx2� y2D 1
y un punto.x0;y0/ de la misma.x0 > 1/. Se pide
calcular el área,!0, de la región sombreada en gris
en la figura, y deducir que:
x0 D cosh.!0/; y0 D senh.!0/:
O
x0
x2 � y2 D 1
.x0; y0/
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 469
8.7.3. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 203 Calcula el área de las dos partes en que la parábolay2 D 4x divide
al círculo x2 C y2 D 8.
Solución.
Hay que calcular los puntos de intersección
de la parábola y de la circunferencia. Para
ello calculamos la raíz positiva de la ecuación
x2 C 4x � 8 D 0 que es̨ D �2 C 2
p
3. Los
puntos de intersección son, por tanto,.˛; 2
p
˛/
y .˛;�2p˛/. Teniendo en cuenta la simetría,
para calcular el área de la parte azul del círculo
es suficiente calcular el área de la región com-
prendida entre la circunferencia y la parábola
cuandox 2 Œ0; ˛�, es decir, el área de la región
coloreada en rojo. Se trata de una región de tipo
I cuya área viene dada por:
˛O
w̨
0
�p
8 � x2 � 2
p
x
�
dx D
w̨
0
p
8 � x2 dx �
w̨
0
2x1=2 dx D
w̨
0
p
8� x2 dx � 4
3
˛3=2:
Calculemos la integral que falta.
w̨
0
p
8 � x2 dx D
�
x D
p
8 sent
�
D
p
8
arc sen. p̨
8
/
w
0
cos2 t dt D 2
p
2
arc sen. p̨
8
/
w
0
1C cos.2t/
2
dt D
D
p
2 arc sen
�
˛=
p
8
�
C 1p
2
sen
�
2 arc sen.˛=
p
8/
�
:
Por tanto, el área,S , de la región en rojo es igual a:
S D
p
2 arc sen
�
˛=
p
8
�
C 1p
2
sen
�
2 arc sen.˛=
p
8/
�
� 4
3
˛3=2
La solución obtenida puede simplificarse más usando que sen.2x/D 2 senx cosx pero,
tal como está, puede considerarse correcta.
El área de la parte del círculo interior a la parábola (coloreada en azul) es igual4� � 2S ,
y el área de la parte del círculo exterior a la parábola (zonasamarilla y roja) es igual a
4� C 2S .
Otras formas de hacer este ejercicio son las siguientes.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Integral de Riemann
	Aplicaciones de la integral
	Ejercicios propuestos
	Ejercicios resueltos