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Propiedades asociativas y conmutativas 530
es tal que la seriefa�.1/ C a�.2/ C � � � C a�.n/g es positivamente divergente, pues paran >
�.k/C k tenemos que:
nX
jD1
a�.j/ >
�.k/CkX
jD1
a�.j/ D
kX
jD1
a�.�.j/Cj/ C
k�1X
qD0
�.qC1/CqX
jD�.q/CqC1
a�.j/D
D
kX
jD1
a
.j/ C
k�1X
qD0
�.qC1/CqX
jD�.q/CqC1
a�.j�q/ D
kX
jD1
a
.j/ C
�.k/X
jD1
a�.j/D
D
kX
jD1
a
.j/ C P�.k/D
k�1X
jD1
�
P�.jC1/ � P�.j/ C a
.jC1/
�
C P�.1/ C a
.1/
>.1C .k�1� � � C1/C 1D k: 2
La utilidad del teorema que acabamos de probar está clara: para estudiar la convergencia
conmutativa de una seriefa1 C a2 C � � � C ang lo que se hace es estudiar la convergencia de la
seriefja1j C ja2j C � � � C janjg. Es usual utilizar la siguiente terminología.
9.15 Definición. Se dice que la seriefa1 C a2 C � � � C ang esabsolutamente convergente, si
la seriefja1j C ja2j C � � � C janjg es convergente.
Debes entender bien esta definición. Que la serie
X
n>1
an converge absolutamente quiere
decir que es convergente la sucesión
X
n>1
janj D fja1j C ja2j C � � � C janjg :
Y el teorema anterior afirma, entre otras cosas, que esto implica la convergencia de la sucesión
X
n>1
an D fa1 C a2 C � � � C ang :
¡Son sucesiones muy diferentes!
Naturalmente, si una seriefa1 C a2 C � � � C ang converge, también converge la sucesión
que se obtiene tomando valores absolutosfja1 C a2 C � � � C anjg; pero esta sucesiónno es~
igual afja1jC ja2jC � � �C janjg. Por esopuede ocurrir que una serie sea convergente pero no
sea absolutamente convergente. La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente
que no es absolutamente convergente.
Con esta terminología, el teorema9.14afirma quela convergencia absoluta es lo mismo
que la convergencia conmutativa1.
1En muchos libros a las series que son absolutamente convergentes las llaman tambiénincondicionalmente
convergentesy a las series que son convergentes pero no son absolutamenteconvergentes las llaman tambiéncon-
dicionalmente convergentes. En mi opinión esta terminología solamente sirve para confundir un poquito más.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 531
9.1.4. Ejercicios propuestos
451. Estudia la convergencia de las series: a)
X
n>1
1
n.nC1/ y b)
X
n>1
log
�
1C 1
n
�
.
452. Justifica las igualdades:
a)
1X
kD1
�
1
4k � 3 �
1
4k � 2 C
1
4k � 1 �
1
4k
�
D log2.
b)
1
2
1X
kD1
�
1
2k � 1 �
1
2k
�
D log2
2
.
c)
1X
kD1
�
1
4k � 3 C
1
4k � 1 �
1
2k
�
D 3
2
log2.
453. Demuestra que si los términos de la serie armónica alternadase permutan de tal modo
que a cada grupo dep términos positivos consecutivos le siga un grupo deq términos
negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es convergente con suma
igual a log2C 1
2
log.p=q/.
454. Seafang una sucesión decreciente de números positivos y supongamosque la serie
P
an
es convergente. Prueba quefnang converge a0.
Sugerencia. ConsideraA2n �An.
9.1.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 223 Estudia la convergencia de las series: a)
X
n>1
1
n.nC1/ y b)
X
n>1
log
�
1C 1
n
�
.
Solución. a)
1
k.k C 1/ D
.k C 1/ � k
k.k C 1/ D
1
k
� 1
k C 1÷
nX
kD1
1
k.k C 1/ D 1�
1
nC 1 :
Luego
X
n>1
1
n.nC 1/ D
�
1 � 1
nC 1
�
! 1, es decir la serie
X
n>1
1
n.nC 1/ es convergente
y su suma es igual a1.
b) log
�
1C 1
k
�
D log k C 1
k
D log.k C 1/� logk÷
nX
kD1
log
�
1C 1
k
�
D log.nC 1/:
Luego
X
n>1
log
�
1C 1
n
�
D flog.nC 1/g!C1, es decir la serie
X
n>1
1
n.nC 1/ es posi-
tivamente divergente. ©
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Ejercicios resueltos 532
Ejercicio resuelto 224 Justifica las igualdades:
a)
1X
kD1
�
1
4k � 3 �
1
4k � 2 C
1
4k � 1 �
1
4k
�
D log2.
b)
1
2
1X
kD1
�
1
2k � 1 �
1
2k
�
D log2
2
.
c)
1X
kD1
�
1
4k � 3 C
1
4k � 1 �
1
2k
�
D 3
2
log2.
Solución. a) y b) Sabemos que la serie armónica alternada es convergente y su suma es
igual a log2.
1X
nD1
.�1/nC1
n
D log2. También sabemos que una serie obtenida asociando
términos en una serie convergente también es convergente y con la misma suma. Las
series en a) y en b) se obtienen de la serie armónica alternadaasociando términos de4 en
4 o de2 en2 respectivamente, lo que justifica las igualdades en a) y en b). Finalmente,
observa que la serie en c) se obtiene sumando las series en a) yen b). ©
Ejercicio resuelto 225 Demuestra que si los términos de la serie armónica alternadase per-
mutan de tal modo que a cada grupo dep términos positivos consecutivos le siga un
grupo deq términos negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es con-
vergente con suma igual a log2C 1
2
log.p=q/.
Solución.PongamosSn D
nX
kD1
.�1/kC1
k
. Consideremos la sucesión
˚
Sn.pCq/
	
n2N que
es precisamente la serie que se obtiene asociando términos de p C q en p C q en la
serie del enunciado. Si dicha sucesión es convergente, aplicando la proposición9.12(con
�.n/D n.pC q/), se sigue que la serie del enunciado también es convergentey su suma
es igual a lKım
n!1
Sn.pCq/. Llamando, como de costumbreHn D
nX
kD1
1
k
, y recordando la
estrategia7.33, tenemos que:
Sn.pCq/ D
pnX
kD1
1
2k � 1 �
nqX
kD1
1
2k
D
pnX
kD1
1
2k � 1 �
1
2
HnqD
DH2pn�1 �
1
2
Hnp C
1
2np
� 1
2
HnqD
D 1
2np
C ”2pn�1 C log.2pn � 1/ �
1
2
”np �
1
2
log.np/ � 1
2
”nq �
1
2
log.nq/D
D 1
2np
C ”2pn�1 �
1
2
”np �
1
2
”nq C
1
2
log
2np � 1
np
C 1
2
log
2np � 1
nq
!
! 1
2
log2C 1
2
log
2p
q
D log2C 1
2
log
p
q
:
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