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Ejercicios resueltos 569
Deducimos que:
nX
kD1
ak D 1 �
1
2n.nC 1/÷
1X
nD1
1
2n
nC 2
n.nC 1/ D 1:
d) Tenemos que:
2k�1
.1C 2k/.1C 2k�1/
D 1C 2
k � 1 � 2k�1
.1C 2k/.1C 2k�1/
D 1
1C 2k�1
� 1
1C 2k
:
Deducimos que:
nX
kD1
2k�1
.1C 2k/.1C 2k�1/
D 1
2
� 1
1C 2n÷
1X
nD1
2n�1
.1C 2n/.1C 2n�1/ D
1
2
:
e) Es una serie de la forma
X
n>0
p.n/
n!
xn dondep.n/D n3 � nC 1 y xD�1
3
. Pongamos:
n3 � nC 1D a0 C a1nC a2n.n� 1/C a3n.n � 1/.n � 2/:
HaciendonD 0 se obtienea0D 1; haciendonD 1 se obtienea1D 0; haciendonD 2 se
obtienea2 D 3 y haciendonD 2 se obtienea3 D 1. Por tanto:
1X
nD0
.�1/n n
3 � nC 1
3nn!
D
1X
nD0
1C 3n.n � 1/C n.n � 1/.n � 2/
n!
��1
3
�n
D
D
1X
nD0
1
n!
��1
3
�n
C 1
3
1X
nD2
1
.n � 2/!
��1
3
�n�2
� 1
27
1X
nD3
1
.n� 3/!
��1
3
�n�3
D
D e� 13
�
1C 1
3
� 1
27
�
D 35
27
e�
1
3 :
f) Es una serie de la forma
P
p.n/xn dondep.n/D n2 � n y xD �1
3
. Se trata, pues, de
una serie aritmético-geométrica. PongamosS D
1X
nD2
.n2 � n/
��1
3
�n
. Tenemos que:
S � �1
3
S D
1X
nD2
.n2 � n/
��1
3
�n
�
1X
nD2
.n2 � n/
��1
3
�nC1
D
D
1X
nD1
�
.nC 1/2 � .nC 1/
� ��1
3
�nC1
�
1X
nD2
.n2 � n/
��1
3
�nC1
D
D 2
9
C
1X
nD2
�
.nC 1/2 � .nC 1/ � .n2 � n/
� ��1
3
�nC1
D
D 2
9
C �1
3
1X
nD2
2n
��1
3
�n
:
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Expresión de un número real en baseb 570
PongamosS1 D
1X
nD2
2n
��1
3
�n
. Hemos probado que:
S � �1
3
S D 2
9
C �1
3
S1÷S D
1
6
� 1
4
S1:
Calcularemos ahoraS1. Tenemos que:
S1 �
�1
3
S1 D
1X
nD2
2n
��1
3
�n
�
1X
nD2
2n
��1
3
�nC1
D
D
1X
nD1
2.nC 1/
��1
3
�nC1
�
1X
nD2
2n
��1
3
�nC1
D
D 4
9
� 1
3
1X
nD2
�
2.nC 1/ � 2n
� ��1
3
�n
D 4
9
� 2
3
1X
nD2
��1
3
�n
D
D 4
9
� 2
3
1
12
D 7
18
:
Deducimos queS1 D 724 y, por tanto,S D
1
6
� 1
4
S1 D 332 . ©
9.5. Expresión de un número real en baseb
El primer ejemplo de sucesión que vimos en el capítulo 7 fue laexpresión decimal de2=3
que ahora podemos expresar con la notación que usamos para series:
2
3
D lKım
n!1
nX
kD1
6
10k
D
1X
nD1
6
10n
:
Seguramente sabes que los números racionales pueden expresarse en forma decimal y que
dicha expresión decimal o bien es finita o hay un grupo de cifras, el período, que se repite
indefinidamente. También sabes que los números irracionales tienen una expresión decimal
infinita no periódica. En lo que sigue vamos a precisar el significado de estas afirmaciones y a
justificarlas.
Para ayudarte a entender lo que sigue, vamos a empezar recordando el algoritmo de la divi-
sión de números enteros. Para ello vamos a usar la función “parte entera”. Recuerda que six es
un número real, representamos porE.x/ el único número entero tal queE.x/6x<E.x/C1.
El númeroE.x/ se llama parte entera dex. Una consecuencia directa de la definición deE.x/,
que usaremos en lo que sigue, es la siguiente:
x D ˇ C r donde ˇ2Z y 0 6 r < 1÷ˇ DE.x/: (9.15)
Además, es claro que sip es un número entero se tiene queE.x C p/DE.x/C p.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Expresión de un número real en baseb 571
Con ayuda de la función “parte entera” podemos expresar el algoritmo de la división de
enteros como sigue. Seanp, q números enteros conq > 0. Pongamosc D E.p=q/. Entonces
tenemos que:
c 6
p
q
< c C 1 ” 0 6 p � cq < q:
Poniendo ahorar D p � cq, tenemos quep D cq C r dondec y r son números enteros y
0 6 r 6 q � 1. Este es el algoritmo de la división de enteros conocido como“algoritmo de
Euclides”.
Seanp; q números enteros positivos conp < q y consideremos el número racional
x D p
q
2 Œ0; 1Œ. Veamos el proceso que se sigue para obtener la expresión decimal dex D p
q
.
Dividimos 10p entre q y obtenemos un cocientec1 D E.10pq / y un restor1. Como
0 6 10p
q
< 10, se verifica que0 6 c1 6 9 y, claro está,0 6 r1 6 q � 1. En resumen:
10p D c1q C r1; c1 DE
�
10p
q
�
; 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q � 1:
Que podemos escribir equivalentemente:
p
q
D c1
10
C r1
10q
; 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q � 1: (9.16)
Ahora dividimos10r1 entreq y obtenemos un cocientec2 D E.10r1q / y un restor2. Como
0 6 10r1
q
< 10, se verifica que0 6 c2 6 9 y, claro está,0 6 r2 6 q � 1. En resumen:
10r1 D c2q C r2; 0 6 c2 6 9; 0 6 r2 6 q � 1:
Igualdad que podemos escribir equivalentemente:
r1
10q
D c2
102
C r2
102q
:
Sustituyendo esta igualdad en (9.16), tenemos:
p
q
D c1
10
C c2
102
C r2
102q
: (9.17)
Conviene expresarc2 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que
100p
q
D 10c1 C c2 C r2q . Poniendox D
p
q
y teniendo en cuenta9.15, deducimos que:
c2 DE.100x/ � 10c1 D 102
 
E.102x/
102
� E.10x/
10
!
: (9.18)
El tercer paso sería como sigue. Dividimos10r2 entreq y obtenemos un cocientec3DE.10r2q /
y un restor3. Como0 6
10r2
q
< 10, se verifica que0 6 c3 6 9 y, claro está,0 6 r3 6 q � 1. En
resumen:
10r2 D c3q C r3; 0 6 c3 6 9; 0 6 r3 6 q � 1:
Igualdad que podemos escribir equivalentemente:
r2
102q
D c3
103
C r3
103q
:
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Series numéricas
	Expresión de un número real en base b