Polinomio de Newton en Diferencias Divididas y Finitas

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Polinomio de Newton en Diferencias Divididas y Finitas 
1. Estime el logaritmo natural de 10 por medio de interpolación lineal. Use el polinomio de Newton 
en Diferencias Divididas. 
a) Interpole entre ln 8 , ln 12. 
b) Interpole entre ln 9 , ln 11 
c) Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de segundo orden para estimar el ln 10, con 𝑥 = 8, 9, 11. 
Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo porcentual con base en el valor 
verdadero 𝐥𝐧 𝟏𝟎. 
𝐥𝐧 𝟏𝟎 = 𝟐. 𝟑𝟎𝟐𝟓𝟗 → 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝟖 ln 8 = 2.07944 
𝟗 ln 9 = 2.19722 
𝟏𝟏 ln 11 = 2.39790 
𝟏𝟐 ln 12 = 2.48491 
 
Interpole entre 𝑙𝑛 8 y 𝑙𝑛 12 
 
𝑓|𝑥0, 𝑥1| =
𝑓1−𝑓0
𝑥1−𝑥0
=
2.48491−2.07944
12−8
 =
0.40547
4
= 0.10137 
𝑷(𝒙) = 𝟐. 𝟎𝟕𝟗𝟒𝟒 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟕(𝒙 − 𝟖) 
𝑃(10) = 2.07944 + 0.10137(10 − 8) = 𝟐. 𝟐𝟖𝟐𝟏𝟖 
 
Interpole entre 𝑙𝑛 9 y 𝑙𝑛 11 
 
𝑓|𝑥0, 𝑥1| =
𝑓1−𝑓0
𝑥1−𝑥0
=
2.39790−2.19722
11−9
 =
0.20068
2
= 0.10034 
𝑷(𝒙) = 𝟐. 𝟏𝟗𝟕𝟐𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟑𝟒 (𝒙 − 𝟗) 
𝑃(10) = 2.19722 + 0.10034(10 − 9) = 𝟐. 𝟐𝟗𝟕𝟓𝟔 
 
 
Interpole entre 𝑙𝑛 8, 𝑙𝑛 9 y 𝑙𝑛 11 
 
𝑓|𝑥0, 𝑥1| =
𝑓1−𝑓0
𝑥1−𝑥0
=
2.19722−2.07944
9−8
 = 0.11778 
𝑓|𝑥0, 𝑥1, 𝑥2| =
𝑓|𝑥1,𝑥2|−𝑓|𝑥0,𝑥1|
𝑥2−𝑥0
=
0.10034−0.11778 
11−8
 =
−0.01744
3
= −0.00581 
𝑷(𝒙) = 𝟐. 𝟎𝟕𝟗𝟒𝟒 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟑𝟒 (𝒙 − 𝟖) − 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟖𝟏(𝒙 − 𝟖)(𝒙 − 𝟗) 
𝑃(10) = 2.07944 + 0.10034(10 − 8) − 0.00581(10 − 8)(10 − 9) = 𝟐. 𝟑𝟎𝟑𝟑𝟖 
 
 
Polinomio Aproximación Error Porcentual 
a) 𝑷(𝒙) = 𝟐. 𝟎𝟕𝟗𝟒𝟒 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟏𝟑𝟕(𝒙 − 𝟖) 2.28218 0.886% 
b) 𝑷(𝒙) = 𝟐. 𝟏𝟗𝟕𝟐𝟐 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟑𝟒 (𝒙 − 𝟗) 2.29756 0.218% 
c) 𝑷(𝒙) = 𝟐. 𝟎𝟕𝟗𝟒𝟒 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟑𝟒 (𝒙 − 𝟖) −
𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟖𝟏(𝒙 − 𝟖)(𝒙 − 𝟗) 
2.30338 0.034% 
 
 
2. Calcule 𝒇(𝟐. 𝟏) con el uso de polinomios de interpolación de Newton en diferencias Finitas de 
órdenes 1 a 3. Elija la secuencia de puntos más apropiada. 
 
𝒙 𝟏. 𝟔 𝟐 𝟐. 𝟒 𝟐. 𝟖 𝟑. 𝟐 𝟑. 𝟔 
𝒇(𝒙) 2 8 14 15 21 28 
 
Valores tomados: 
𝒙 𝟏. 𝟔 𝟐 𝟐. 𝟒 𝟐. 𝟖 
𝒇(𝒙) 2 8 14 15 
 
ℎ = 2 − 1.6 = 𝟎. 𝟒 
 
𝑎1 =
𝑓1−𝑓0
ℎ
=
8−2
0.4
=
6
0.4
= 𝟏𝟓 
𝑎2 =
𝑓2−2𝑓1+𝑓0
2ℎ2
=
14−16+2
2(0.4)2
=
0
0.32
= 𝟎 
𝑎3 =
𝑓3−3𝑓2+3𝑓1−𝑓0
6ℎ3
=
15−(3×14)+(3×8)−2
6(0.4)3
=
−5
0.384
= −𝟏𝟑. 𝟎𝟐𝟎𝟖𝟑 
 
𝑷𝟏(𝒙) = 𝟐 + 𝟏𝟓(𝒙 − 𝟏. 𝟔) 
𝑃1(10) = 2 + 15(2.1 − 1.6) = 𝟗. 𝟓 
 
𝑷𝟐(𝒙) = 𝟐 + 𝟏𝟓(𝒙 − 𝟏. 𝟔) 
𝑃2(10) = 2 + 15(2.1 − 1.6) = 𝟗. 𝟓 
 
𝑷𝟑(𝒙) = 𝟐 + 𝟏𝟓(𝒙 − 𝟏. 𝟔) − 𝟏𝟑. 𝟎𝟐𝟎𝟖𝟑(𝒙 − 𝟏. 𝟔)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟐. 𝟒) 
𝑃3(10) = 2 + 15(2.1 − 1.6) − 13.02083(2.1 − 1.6)(2.1 − 2)(2.1 − 2.4) = 𝟗. 𝟔𝟗𝟓𝟑𝟏 
 
 
Polinomio Aproximación 
𝑷𝟏(𝒙) = 𝟐 + 𝟏𝟓(𝒙 − 𝟏. 𝟔) 9.5 
𝑷𝟐(𝒙) = 𝟐 + 𝟏𝟓(𝒙 − 𝟏. 𝟔) 9.5 
𝑷𝟑(𝒙) = 𝟐 + 𝟏𝟓(𝒙 − 𝟏. 𝟔) − 𝟏𝟑. 𝟎𝟐𝟎𝟖𝟑(𝒙 − 𝟏. 𝟔)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟐. 𝟒) 9.69531