polinomios especiales

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CURSO: Álgebra-MAXI 
PROFESOR: MAXI-984793088
 
POLINOMIOS ESPECIALES
 
 
Son aquellos polinomios que obedecen a ciertas características y de acuerdo a ello son: 
• 
• POLINOMIO HOMOGENEO 
Son aquellos polinomios que se caracterizan porque los grados absolutos de sus términos son iguales entre sí. 
 
Ejemplos: 
1) ( ) 7 9 8 8 15
G 16G 16 G 16
P x, y x y x y x y
== =
= + + 
Se dice que ( )P x, y es homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16. 
 
2) Hallar los valores de “a” y “b” en: ( ) 5a 2 3a 4b b 8P x,y x y x y− += + 
cuyo grado de homogeneidad es 38. 
Solución: 
 ( ) 5a 2 3a 4 b b 8
G 8a 2 G 5b 8
P x, y x y x y
− +
= − = +
= + 
Luego: 8a 2− = 38 5b 8+ = 38 
 a 5= b 6= 
 
POLINOMIO IDÉNTICO 
Dos polinomios del mismo grado y con las mismas variables son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus 
términos semejantes son iguales. 
8 3 8 3
ax bx c mx nx p+ +  + + 
  a m= , b= n , c p= 
Ejemplos: 
 
 
 
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1) Hallar "a b c"+ + en:
5 2 5 2
4ax 3bx c 5 20x 18x 3+ + −  + + 
Solución: 
Por ser un polinomio idéntico: 
5 2 5 2
4a x 3b x c 5 20 x 18 x 3+ + −  + + 
 
Se cumple: 
 4a 20= 3b 18= c 5 3− = 
 a 5= b 6= c 8= 
 
 a b c 19+ + = Rpta. 
 
POLINOMIO NULO 
Un polinomio es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son ceros. 
Si: 
8 5 2
ax bx cx d 0+ + +  
Se debe cumplir que: 
 a 0= , b 0= , c 0= , d 0= 
 
Ejemplos: 
 
1) Hallar el valor de “ a b c+ + ” si: ( ) ( ) ( ) ( )5 3P x a 5 x b 2 x c 4 x= − + − + + 
es idénticamente nulo, 
Solución: 
Por ser idénticamente nulo, se debe cumplir que: 
 
 a 5 0− = b 2 0− = c 4 0+ = 
 a 5= b 2= c 4= − 
 
  a b c 3+ + = Rpta. 
 
POLINOMIO ORDENADO 
Presentan un orden ascendente o descendente en los exponentes de sus variables. 
 
 
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Ejemplos: 
 
1) ( ) 9 5 3 2P x 4x 2x 6x 5x 8= + + + + 
El polinomio está ordenado con respecto a “x” en forma decreciente 
 
2) ( ) 8 3 6 7 3 9 2 15P x,y x y x y 3x y x y= − + + 
El polinomio está ordenado con respecto a “x” en forma decreciente y con respecto a “y” en forma creciente. 
 
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO 
Es aquél que tiene desde su máximo exponente, en forma consecutiva, hasta el mínimo exponente (cero) o bisiversa. 
 
Ejemplos: 
 
1) ( )
5 4 3 2 1 0
P x x x x x x 6x= + + − + + 
 ( )
5 4 3 2
P x x x x x x 6= + + − + + 
El polinomio está completo y ordenado desde su máximo exponente ( )5 , en forma consecutiva, hasta el mínimo 
exponente ( )0 
 
2) ( )
0 1 2 3 4
P x 5x x 3x 7x 8x= + + + + 
 ( )
2 3 4
P x 5 x 3x 7x 8x= + + + + 
El polinomio esta completo y ordenado en forma ascendente. 
 
OBSERVACIÓN: 
 
•En todo polinomio completo y ordenado de una sola variable se cumple: 
o
# Term = G+ 1 
 
•En todo polinomio completo y ordenado de una sola variable se cumple que la diferencia de los grados en forma 
consecutiva es igual a la uno: 
 
 ( )P x x x x x x x= + + + + +
5 4 3 2 1 0
 
 
POLINOMIO MONICO 
Es aquel polinomio que se caracteriza porque su coeficiente principal es la unidad. 
 
Ejemplos: 
 
1) ( )
7 4
P x x 5x 3x 5x 8= + + − +
9
1 
 
 
 
Coeficiente p r incipal
 
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2) Hallar el valor de “a” en el polinomio Mónico. 
( ) ( )5 6 8P x 3ax x a 4 x 2x= + + − + 
Solución: 
Ubicando el término de mayor grado: 
( ) ( )5 6
Coef.princ.
P x 3ax x a 4 x 2x= + + − +
8
 
Luego: a 4 1− = →  a 5= Rpta. 
 
OBSERVACIÓN: 
El coeficiente principal multiplica al término de mayor grado. 
 
POLINOMIO CONSTANTE 
Se caracteriza por presentar rectas horizontales en el plano además el valor numérico de este polinomio es constante 
para cualquier valor de que se asigne a su respectiva variable. 
 
 ( )  ; 0P x k k R=   − 
 
Ejemplos: 
 
1) ( )P x 8= 2) ( )P x 5= − 
3) ( )P x 2= 4) ( )
3
P x
5
= 
 
POLINOMIOS ESPECIALES
 
 
1. Determinar la sumatoria de coeficientes del polinomio homogéneo:
( ) ( )a 10 a b b 15P x, y ax ab x y bx+ += + +
 
 
A) 129 B) 319 C) 175 D) 437 E) 234 
2. Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio definido en “z” 
( ) ( )
n
n n a n b c 2 d 8
P z d z az z cz z nz 5z
− −
= + + + + Si se sabe que es completo y ordenado en forma decreciente. 
 
A) 19 B) 29 C) 39 D) 49 E) 59 
3. Si el polinomio que se muestra: ( ) ( )8 5 3P x x a 255 x 8x 4a 5= + − − + + Es un polinomio mónico, hallar el término 
independiente de dicho polinomio. 
A) 10 B) 13 C) 14 D) 16 E) 19 
 
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4. Calcular el valor de "b" en el polinomio idéntico:
( ) ( )a x 10 b x 5 105 6x− + +  −
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
5. Si el polinomio definido por las variables “x”, “y” es idénticamente nulo, hallar “ m n p+ + ” 
( ) ( ) ( ) ( )5 3 280 2 40P x m x n x p x= − + − + − 
A) 122 B) 96 C) 90 D) 156 E) 167 
6. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo definido por las variables “x” e “y”. 
( ) 3 4a b 2 4 a 8 b 7 9 a 2P x, y a x y b x y a x y+ + += + + 
A) 333 B) 349 C) 459 D) 217 E) 447 
7. Hallar el término independiente del polinomio ( )P x que es completo y ordenado de grado 7. 
( ) ( )n 2 m 1P x x x ... mx m n
+ −
= + + + + + 
 
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 
8. Dado el polinomio nulo: ( ) ( )2 2P x b x x 2ax 3cx c a 1= + − − + − + 
Calcular el valor de "ac b"− 
A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2 
9. Hallar “ a b c+ + ” sabiendo que: ( ) ( )a 3a 27 x 63x b 55 7cx− − + −  
 
A) 29 B) 39 C) 49 D) 37 E) 47 
10. El grado del polinomio homogéneo ( ) 3 a 2 b 6 cP x,y,z ax y z bx y z cxyz= + − es 10. Hallar el valor de la suma de los 
cuadrados de sus coeficientes. 
 
A) 26 B) 34 C) 64 D) 68 E) 98 
11. Calcular el valor de “a+b+c” si: ( ) b a a 2 2a c 5 a 1P x ax x x x x+ + − −= + − + + 
es completo y ordenado en forma descendente. 
A) 10 B) 13 C) 14 D) 16 E) 19 
12. Si el polinomio definido por las variables “x”, “y” es idénticamente nulo, hallar “ m n+ ” 
( ) ( ) 2 4 2 2 2, 80 7 81P x y m x y n xy x y xy= − + + − 
A) 99 B) 96 C) 90 D) 87 E) 67 
13. Si la sumatoria de coeficientes del polinomio homogéneo es 19. 
( ) ( ) ( )7b a 2b a 16P x,y 2a 3 x 2 4b x y− += − + + Determinar el valor de: 
b a
E= a b+ 
A) 18 B) 24 C) 32 D) 36 E) 43 
 
 
 
 
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14. Si el polinomio completo y ordenado en forma decreciente. 
 ( )
2a 1 b 3 c 2
P x x 2x 3x ...
+ + +
= + + + Posee “2c” términos, hallar ( )a b c+ + 
A) 11 B) 14 C) 17 D) 21 E) 23 
15. Si el polinomio: ( ) b c 2b a b c cP x 5x 3x 7x 8x ...+ + += + + + + es completo y ordenado en forma descendente. Hallar: 
2 2 2
a b c+ + 
 
A) 29 B) 39 C) 49 D) 37 E) 47 
16. Si ( )P x es completo y ordenado en forma ascendente y tiene ( )2n 8+ términos. Hallar "a n"+ 
( ) n 10 n 11 a 15P x x x ... x
− − +
= + + + 
 
A) 16 B) 19 C) 22 D) 31 E) 37 
17. Calcular la sumatoria de coeficientes del polinomio completo definido en “y”. 
( ) ( ) ( )a b b c a cc y y a y y b y y abc+ + + + + + 
A) 17B) 18 C) 20 D) 23 E) 27 
18. El polinomio completo y ordenado: 
( )
4n 1 4n 2 4n 2 4n 1
P x, y x x y ... xy y
− − − −
 + + + + que también es homogéneo, se verifica que la suma de los grados absolutos 
de todos sus términos es 240, según esto, hallar su grado de homogeneidad. 
A) 12 B) 15 C) 19 D) 23 E) 28 
19. Hallar el polinomio constante: ( ) ( )
5 30 3 12
0 0
n m
P x m x n x mn m n
− −
 + +     
 
A) 26 B) 29 C) 31 D) 34 E) 39 
20. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente polinomio:
( )
( ) ( )
n
n 1 nn
n n 1 n 1
P x;y xy x y
+
+ −
= − +
 
 
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 
21. Si el polinomio: ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
P x a 3 x b 1 x c 1 x 5 abc= − + − + − − + 
Es mónico, además el coeficiente del término cuadrático es 6 y el coeficiente del término lineal es 7. Hallar el T.I. 
A) 19 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 
22. Si se cumple la identidad:
( )
2
2
Ax 3x 2B 1
KA 1 x Bx 3B
+ +

+ + +
. Hallar: A B K+ + 
 
A) 6 B) 8 C) 9 D) 14 E) 7 
23. Determinar el valor de “ a b c+ + ” en el polinomio idéntico.
( ) ( ) ( ) ( )5 2a 8 x b 4 x 9c 3x 6 3x 6− + − −  + −
 
 
A) 21 B) 22 C) 23 D) 25 E) 29 
 
 
 
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24. De un polinomio completo y homogéneo de grado 40 se han tomado tres términos consecutivos ordenados 
decrecientemente respecto a “y” tal como se muestra.
a b 20 b n
... x y E x y ...
+
+ + + + 
Hallar el valor de: ( )a b n+ + 
A) 30 B) 38 C) 41 D) 44 E) 49 
25. Dado el polinomio homogéneo: ( )
( )
n
a a
an a
P x, y x y ,n 1= +  Hallar el valor de: 
n
an a
E
n
+
= 
 
A) a B) 2a C) 3a D) 2 E) 4 
26. En el polinomio mónico: ( ) 9 4 9 2 9P y 8ay 8y 99y 5y 3ay 4= + − + − + Hallar el valor de “a” 
 
A) 14 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 
27. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo es:
( ) a 4 a b b 5P x,y ax 3x y bx+ += + +
 
 
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 
28. El grado del polinomio homogéneo ( ) 3 a 2 b 6 cP x,y,z ax y z bx y z cxyz= + − es 10 entonces la suma de sus 
coeficientes será: 
A) 0 B) -1 C) -3 D) 5 E) 4 
29. Calcular ( )a b c d+ + + , si el polinomio ( )P x es homogéneo y la suma de sus coeficientes es –8. 
( ) c c 1 a a b 2c 3P x ax bx y cx y dy− −= + − − 
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 
30. Hallar el término independiente del polinomio ( )P x que es completo y ordenado de grado 7. 
( ) ( )n 2 m 1P x x x ... mx m n
+ −
= + + + + + ¿ 
A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6 
31. Calcular el valor de “b” si ( )P x es completo y ordenado: 
 ( ) b a a 2 2a a a 1P x ax x x x x+ + −= + − + + 
A) 1 B) 5 C) 6 D) 2 E) 3 
32. En el polinomio: ( )
5 4 3 2
6 5 4 3 2
a a a a a
P x ax ax ax ax ax a= + + + + + 
Determinar el valor de “a”, si la suma de coeficientes es igual a su término independiente incrementado en 100. 
 
A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 1 
33. Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio, si se sabe que es completo y ordenado en forma 
decreciente. 
2
n n a n b c 2
P(x) ax x cx nx a
+ + −
= + + + + 
A)8 B)12 C) 11 D)14 E)15 
 
 
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 I 
34. Si el polinomio ordenado decreciente y completo. ( )
2a 1 b 3 c 2
P x x 2x 3x ...
+ + +
= + + + Posee “2c” términos, hallar 
( )a b c+ + 
 
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 
35. Si ( )P x es completo y ordenado hallar (a + n) si tiene (2n+8) términos. ( )
n 3 n 2 a 4
P x x x ... x
− − +
= + + + 
 
A) 9 B) 3 C) 10 D) 12 E) 11