ESTADISTICA II-SEMANA2b-Estimación puntual y por intervalos

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UNIVERSIDAD NACIONAL
 DE CAÑETE
Código: F-M01.01-VPA-008
Revisión: 02
Fecha de aprobación: 22/03/2022
ESTADÍSTICA II
SEMANA 2
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS
SEMESTRE ACADÉMICO 2022-II
Teoría y Ejercicios
LOGRO
El alumno conoce los principales conceptos y tipos de estimación, así como también, los principales conceptos del intervalo de confianza para la media y los cálculos correspondientes.
TEMARIO
SUMARIO
Estimación
Estimación puntual
Estimación por intervalos
Intervalo de confianza para la media con varianza conocida
Intervalo de confianza para la media con varianza desconocida
1. ESTIMACIÓN
Se trata de emplear los estadísticos para estimar los parámetros.
Métodos de estimación:
Estimación puntual: 
utilización de datos de la muestra para calcular un solo número para estimar el parámetro de interés.
Estimación de intervalo: 
ofrece un intervalo de valores razonables dentro del cual se pretende que esté el parámetro de interés: . Con cierto grado de confianza
Parámetros ()
Estadísticos: 
POBLACIÓN (N)
Muestra (n)
No olvidar!!
2. ESTIMACIÓN PUNTUAL
cuando obtenemos una media aritmética a partir de una muestra (Estadístico), esta puede ser empleado como estimador puntual para el valor de la media poblacional (Parámetro). Análogamente con los demás estadísticos.
De la población de tallas de los estudiantes en La UNDC año 2020, se extrae una muestra aleatoria de 8 alumnos, cuyos valores observados son: 
1.50 1.6 1.58 1.45 1.52 1.68 1.62 1.55 . 
Halle un estimador puntual para la media poblacional
Solución:
Media:
Estimador Puntual 
PROPIEDADES DE UN ESTIMADOR:
INSESGADO: el promedio de una distribución muestral de los promedios de las muestras es igual al promedio de la población misma.
EFICIENTE: estimador más eficiente es el que tiene el menor error estándar.
CONSISTENTE: al aumentar el tamaño de la muestra el estadístico se aproxima más al parámetro de la población.
SUFICIENCIA: utilizar tanta información de la muestra que ningún otro estimador puede extraer información sobre el parámetro de la población.
3. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
En lugar de indicar simplemente un único valor como estimación del parámetro poblacional , lo que se hace es calcular un intervalo de valores en el que se tiene cierta probabilidad (confianza) de que se encuentre el verdadero valor de  (parámetro).
Coeficiente 
o grado de 
confianza
Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1- que la muestra elegida contendrá el valor verdadero ()
LA CONFIANZA O NIVEL DE CONFIANZA (1- α) : 
es la probabilidad asumida de que la media µ este contenida en el intervalo de confianza buscado en el experimento: 1- α= 99%, 98%, 95%, 90%,…
LA DESCONFIANZA o NIVEL DE SIGNIFICANCIA (α)
es lo raro que puede ocurrir en su experimento es decir hechos fortuitos o extraños: α=1%, 2%, 5%, 10%,…
El nivel de significación es también llamado el error Tipo I
4. INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA
1. INTERVALO DE CONFIANZA(IC):
2. ERROR ():
EMPLEAREMOS Z CUANDO:
 y σ2 conocida
 n < 30 y σ2 conocida
	Nivel confianza: 
	
	90%	1.645
	95%	1.96
	98%	=2.33
	99%	2.578
Compruébalo usando tu tabla Z!!
Valores tabla Z aproximados
	Nivel confianza: 
	
	90%	1.645
	95%	1.96
	98%	=2.33
	99%	2.578
3. TAMAÑO DE LA MUESTRA (n):
4. LONGITUD DEL INTERVALO (L):
5. ERROR ESTANDAR ( : 
PROBLEMA 1:
Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida de distribución normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas.
a) Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la media de la población de todos los focos que produce la empresa.
b) Que tan grande se requiere que sea una muestra. Si se desea tener una confianza del 95% de la media poblacional, y que esté dentro de las 10 horas del promedio real.
SOLUCIÓN a):
con un nivel de confianza del 95%, el tiempo de vida promedio de los focos esta comprendido desde 765.69 a 794.31 horas.
X: variable aleatoria tiempo de vida de focos fabricados
X : N (μ,σ2)
 
Reemplazando:
 
 780 – 1.96 x < μ < 780 + 1.96 x 
 
 IC: 765.69 < μ < 794.31
Datos población
μ = ?
 (Conocido)
Datos Muestra
SOLUCIÓN b):
Adicionalmente podemos calcular el error y el tamaño de muestra que aproximadamente será la misma.
Error: e = e = = 14.3138
Tamaño de muestra:
 = 
El error(e) es muchas veces
 dato del problema o es fijado por el investigador!!
5. INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA CON VARIANZA DESCONOCIDA
 Cuando la varianza poblacional no es conocida utilizamos la distribución de “t” de “student” , para tamaños de muestra n<30. el estadístico T será:
 Como σ² no se conoce se estima mediante S². 
 La distribución se desvía en forma apreciable cuando los grados de libertad (v = n-1) son pequeños.
 El estadístico t definido resulta de una muestra aleatoria seleccionada de una población normal, con varianza σ² no conocida.
a. Emplearemos T cuando: n<30 y σ2 desconocida 
b. Emplearemos Z cuando: n>30 y σ2 desconocida 
PROBLEMA 3:
Una compañía utiliza baterías en sus juegos electrónicos que según ellos duran un promedio de 30 horas, para confirmar esto se prueba 16 baterías siendo la media muestral de 27.5 horas y su desviación estándar S=5 horas. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media. Suponga que la distribución de la duración de las baterías es aproximadamente normal.
SOLUCIÓN:
X: V.A. duración de batería 
Reemplazando en la fórmula:
con una confianza del 95%, la vida media de las baterías estará entre 24.84 y30.16 horas
=5
Datos población
μ = 30
Datos Muestra
De la tabla: t 0.975,15 = 2.131
Reemplazando datos:
gl=n-1
PROBLEMA 4:
En una muestra aleatoria de 20 porciones de cereal el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gramos con desviación estándar de 2.45 gramos. Suponiendo que los contenidos de azúcar están distribuidos normalmente, determine el intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de azúcar en las porciones de dicho cereal.
SOLUCIÓN:
X: V.A. contenido de azúcar en el cereal pre endulzado
Datos del problema:
Población: u = ?
 σ = ?
Muestra: n = 20
 S = 2.45 
Confianza : 1 -  = 0.95 
 v = 20 – 1 = 19
 t0.975 = 2.093
Sabemos que : 
El intervalo de confianza para el contenido promedio de azúcar será de 10.153 a 12.446 gramos con una confianza del 95%.
10.153 <  < 12.446
Reemplazando:
FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DEL
INTERVALO DE CONFIANZA (IC)
	N°	CASO	FÓRMULA A EMPLEAR
	1	CON σ2 CONOCIDA Y n>30	
	2	CON σ2 DESCONOCIDA Y n<30	
	3	
CON σ2 DESCONOCIDA Y n>30
	
	4	CON σ2 CONOCIDA Y n<30	
EJERCICIOS PARA PRACTICAR
Comencemos
a practicar
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
CONCEPTOS GENERALES RELACIONADOS CON ESTIMACIÓN
COMO OBTENER LOS INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA 
CUANDO APLICAR LA DISTRIBUCION Z
COMO OBTENER EL TAMAÑO DE LA MUESTRA 	
CUANDO APLICAR LA DISTIBUCION T DE STUDENT
G
R
A
C
I
A
S
11
22
IC:<<
nn
XZXZ
aa
m
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-+
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