Matematicas Nivelacion 2022 - cristhian herrera

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MATEMÁTICAS Nivelación General. Colegio Internacional Océano Pacifico MANTA 
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NÚMEROS ENTEROS 
 
Un número entero es un par ordenado de números naturales. Se escriben los números enteros en 
notación abreviada, restando las dos componentes del par. Escribiendo el signo + si la primera 
componente es mayor; y el signo -. Si es mayor la segunda. 
Los números enteros que tienen delante signo + se llaman positivos y los que tienen delante - negativo 
se llaman negativos. 
 
Representación grafica de los números enteros.- 
 
Se representan gráficamente sobre una recta horizontal fijando un origen, 0 y escribiendo de 0 hacia la 
derecha los números positivos en orden creciente (de menor a mayor); y de 0 hacia la izquierda los 
negativos en orden decreciente (de mayor a menor). Teniendo en cuenta de dos números negativos es 
mayor el de menor valor absoluto, y de dos números positivos es mayor el de mayor valor absoluto. 
Se representan gráficamente sobre una recta horizontal fijando un origen, 0 y escribiendo de 0 hacia la 
derecha los números positivos en orden creciente (de menor a mayor); y de 0 hacia la izquierda los 
negativos en orden decreciente (de mayor a menor). Teniendo en cuenta de dos números negativos es 
mayor el de menor valor absoluto, y de dos números positivos es mayor el de mayor valor absoluto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adición de Números Enteros 
 
La Adición de dos enteros positivos es otro entero positivo, cuyo valor absoluto es la Adición de los valores 
absolutos. 
 
 (+7) + (+12) = +19 
 (+9) + (-14) = -5 
(-12) + (-20) = -32 
 
Propiedades de la Adición 
 
Propiedad Asociativa.- En la suma de varios números enteros se pueden reemplazar dos o más sumandos por 
una suma efectuada. 
 (+2) + (+5) + (-4) = 3 
 (+2) + [(+5) + (-4)] = 3 
 
Propiedad Conmutativa.- El orden de los sumandos no altera la adición. 
 
(+5) + (-4) = (-4) + (+5) 
 (+5) + (-4) = +1 
Elemento Neutro.- El elemento neutro de la Adición es un número que sumado con cualquier otro número de 
ese otro número. 
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
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El cero (0) es el elemento neutro de la Adición de números enteros. 
 
0 + (-4) = -4 
(+5) + 0 = +5 
 
Elemento Simétrico.- El elemento simétrico de un número para la Adición es otro número que sumado con el 
primero, dé el neutro (0). 
El elemento simétrico de cualquier número entero para la Adición es su opuesto 
 
(+9) + (-9) = 0 
(+5) + (-5) = 0 
 
Sustracción de Números Enteros 
 
La sustracción se define igual que en todos los conjuntos de números: es una operación que tiene por objeto, 
dados dos números llamados minuendo y sustraendo, hallar otro número, llamado diferencia, que sumado al 
sustraendo nos de el minuendo 
(+5) – (+3) = +2 
(+6) – (-3) = +9 
(-10) – (+3) = -13 
 
Elemento Opuesto.- El opuesto de cualquier número es el que tiene el mismo modulo y distinto signo. Por 
consiguiente, para calcular el opuesto de cualquier número entero es suficiente con cambiarle el signo. 
Llamamos elemento opuesto de un número entero a otro entero que sumado con el primero, dé como resultado 0. 
 
EL opuesto de + 4 es - 4 pues (+4) + (-4) = 0 
El opuesto de - 12 es + 12 pues (-12) + (+12) = 0 
 
Leyes de la resta 
 
Las leyes de la resta son dos: La ley de uniformidad y la ley de monotonía. 
 
Ley de Uniformidad: Esta ley puede enunciarse de dos modos que son equivalentes: 
1.-La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual. 
2.-Restando miembro a miembro dos igualdades, resulta otra igualdad. 
 
La diferencia entre 7 - 2 tiene un valor único 7 – 2 = 5, porque 5 es el único número que sumado con 2 da 7. 
 
Multiplicación de Números Enteros 
 
Multiplicar un número por otro significa 2tomarlo como sumando, tantas veces como unidades tenga el 
otro. 
5x3= 5+5+5: multiplicar el 5 por 3, quiere decir tomarlo tres veces como sumando. 
a x n = a+a+a+a.........+a(n veces) 
Leyes de signos [+ . + = + ] [+ . – = – ] [ – . – = – ] [– . + = –] 
 
(+2). (+6)= +12 
(-4). (+5)= -20 
(-3). (-2)= +6 
(+8) x (-3) x (+5) = (-24) x (+5) = -120 
(-2) x (+7) x (+1) x (-3) = (-14) x (+1) x (-3) = (-14) x (-3) = +42 
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Leyes de la Multiplicación 
 
1) Ley de uniformidad.- El producto de dos números tiene un valor único o siempre igual. 
2). Ley Conmutativa.- El orden de los factores no altera el producto. 
3). Ley Asociativa.- El producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su 
producto. 
. 
División de Números Enteros 
 
La división de números enteros se efectúa de la misma manera que le de números naturales. Solo hay 
que tener en cuenta los signos del dividendo y del divisor, para los que vale la misma regla de los 
signos de la multiplicación. 
 
Adición, Sustracción, Multiplicación y División de Números Fraccionarios 
 
Números Fraccionarios: La unidad fraccionaria es cada una de las partes en que dividimos la unidad 
entera, Número fraccionario es el formado por una o varias unidades fraccionarias, el número 
fraccionario se le llama también fracción, son sus términos el numerador y el denominador. 
Operaciones con números fraccionarios.- Al igual que en los números enteros podemos realizar 
operaciones como: 
 Adición. 
Sustracción. 
Multiplicación. 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
Realice las siguientes operaciones 
 
1) 10 – (6 - 15). 
 
2) 3 – (6 - 15) – (11 - 4). 
 
3) 8 – 3(-2 - 6) – 7. 
 
4) 24 x 4 ÷ (-8). 
 
5) 72 ÷ (-18) x 4 – (3 - 12) ÷ (-9). 
6) 2(7 - 9) – 6 ÷ (-7). 
 
7) 18 ÷ 3 x 6 – (7 - 35) ÷ 14. 
 
8) .
2
5
12
7
12
11
−+ 
 
9) .
12
605
12
45
12
7
−+ 
10) .
4
7
16
9
8
81
32
18
−+





−
− 
 
11) .
16
4
6
3
7
11
22
21
−





 
 
12) .
4
7
3
5
12
11
20
4






+ 
 
 
13) 
9
8
39
14
26
21
 
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14) 
16
3
8
7
35  
 
15) 20
3
64
16
10
+ 
 
16) 





−−
25
28
5
7
21
10
14
11
 
 
17) 
2
1
3
2
3
4
2
15
5
1
3
4
−+ 
 
 
PRODUCTOS NOTABLES 
 
Son ciertos productos o multiplicaciones algebraicas que para hallar su respuesta se aplican ciertas 
reglas, y por lo tanto no es necesario multiplicarlas. 
 
 
Producto de la Suma por la Diferencia de un Binomio 
 
El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el 
cuadrado del segundo. 
 
- ( )( ) 2222 babababababa −=−+−=−+ 
- ( )( ) ( ) ( ) 2222 49232323 yxyxyxyx −=−=−+ 
- ( )( ) ( ) ( )25225252 545454 mnnmmnnmmnnm −=−+ 10224 2516 nmnm −= 
 
Producto de Dos Binomios con un Termino Común 
 
 
El producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado del término común, 
mas la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto de los 
términos no comunes. 
 
- ( )( ) abaxbxxbxax +++=++ 2 ( ) abbaxx +++= 2 
- ( )( ) ( ) ( ) ( )( )5252445424 2 −++−+=+− xxxx 101216 2 −+= xx 
- ( )( ) ( ) ( ) ( )( )6464336343 2 −−+−−+=−− mmmm 24309 2 +−= mm 
 
Producto de la Forma (mx + a) (nx+b) 
 
 
El producto de dos binomiosde la forma (mx + b)(nx + b) es igual al producto de los primeros 
términos, mas la suma algebraica de los productos de los coeficientes extremos y medios por x, y mas 
el producto de los segundos términos. 
- ( )( ) abanxmxbmnxbnxamx +++=++ 2 ( ) abanmbxmnx +++= 2 
- ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )  ( )( )25x3522x3x22x35x2 −+−++=+−   10x11x610x154x6 22 −−=−−+= 
- ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )  ( )( )645463536543 −−+−+−+=−− aaaaa ( ) 24381524201815 22 +−=+−−+= aaaa 
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- 
 
- Cuadrado de la Suma y Diferencia de un Binomio 
 
El cuadrado de la suma o diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer termino, más o 
menos el doble producto del primero por el segundo término y mas el cuadrado del segundo termino. 
 
- ( ) 22222 2 babababababa ++=+++=+ 
 
- ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22222 924163342434 yxyxyyxxyx ++=++=+ 
 
- ( ) ( ) ( )( ) ( )233222232 n6n6m22m2n6m2 ++=+ 6324 36244 nnmm ++= 
 
 
Cubo de la Suma y Diferencia de un Binomio 
 
 
El cubo de la suma o diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, más o menos el 
triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el 
cuadrado de! segundo y más o menos el cubo del segundo término. 
- ( ) 32223 33 babbaaba +++=+ 
 
- ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )3323232232332 n6n6m23)n6m23m2n6m2 +++=+ 962346 216216728 nnmnmm +++= 
 
 
- ( ) 32233 bab3ba3aba −+−=− 
 
 
Cuadrado de un Trinomio 
 
El cuadrado de un trinomio, es igual a la suma de los cuadrados de cada término, más o menos los 
dobles productos que resulten al multiplicar cada término por cada uno de los que !e suceden. 
- ( ) 2222 cbcacbcbabacabacba ++++++++=++ 
- ( )232 zyx −+ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )zyzxyxzyx 322232232 222 −−+++= yzxzxyzyx 641294 222 −−+++= 
- ( )232 32 cba −− ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )332223222 322322232 cbcabacba +−−++= 
 
EJERCICIOS 
 
 TAREA 1 
 
 
a. ( )( )=−+ 1010 22 yy 
 
b. ( )( )=−+ cbacba 7878 22 
 
c. ( )( )=−+ xxxx nmnm 9595 
 
d. =





−





+
4
7
90
4
7
90 2222 yx,yx, 
 
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e. =





−





+ nmnm baba
4
1
4
4
1
4 
 
f. =





−





+ 2222 81
5
3
81
5
3
d,bcad,bca 
 
 g. ( )( )66 22 +− yy = 
 
h. ( )( )=−+ nmnm 7474 
 
 i ( )( )=−+ 2323 9696 xabxab 
 
 j =





−





+ 325325
2
1
3
4
2
1
3
4
edcedc 
TAREA 2 
 
a. ( )( )86 22 +− yy = 
 
b. ( )( )=++ 3454 xx 
 
c. ( )( )=+− 82122 22 mm 
 
d. ( )( )=−− 2323 8052 b,ab,a 
 
e. =





−





+ 2222 4
4
1
3
4
1
nmnm 
 
f. =





+





− cab,cab,
2
1
60
3
1
60 22 
 TAREA 3 
 
a. ( )( )=+− 2853 aa 
 
b. ( )( )=−+ 9846 xyxy 
 
c. ( )( )=−+ 321850 m,m, 
 
 
d. ( )( )=−− 2574 22 xx aa 
 
e. =





+





−
2
1
3
4
1
2 xyxy 
 
f. =





+





− 1
2
1
2
3
1
ww
TAREA 4 
 
 
 
a. ( ) =+ 224nm 
 
b. ( ) =− 25 1x 
 
c. ( ) =+ 232 36 byxa 
 
d. ( ) =− 224 540 xzy, 
 
e. =





+
2
32 4
2
3
ba 
 
f. ( ) =− 245 axmn 
 
g. ( ) =+ 22 37 zyx 
 
h. ( ) =− 233 dc 
 
i. ( ) =− 242 26 bb 
 
j. ( ) =+ 222601 dc, 
 
k. =





−
2
2
2
1
3
2
axmn 
 
 
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TAREA 5 
 
a ( ) =− 34cb 
 
 
b ( ) =+ 323 nm 
 
 
c ( ) =− 322 dc 
 
 
d ( ) =− 323 45 zy 
 
 
e ( ) =+ 32 503 c,ba 
 
f =





−
3
22
2
1
x 
 
 
g ( ) =+ 325 23 cb 
 
 
h ( ) =− 325 zxy 
 
 
i ( ) =+ 32 32 nm 
 
 
j ( ) =− 3504 b,a 
 
 
k =





−
3
2 1
5
2
vw 
l =





+
3
22
4
5
pnm
 
TAREA 6 
 
a. ( ) =−+ 222 23 cba 
 
 
b. ( ) =−+ 22432 nm 
 
 
c. ( ) =+− 2234 zy 
 
 
d. ( ) =+− 22 243 yxvw 
 
e. ( ) =−− 2326 cdab 
 
f. =





−+
2
506
2
1
z,yx 
 
g. ( ) =−− 22 32 dcb 
 
h. ( ) =+− 22 32 pnm 
 
i. ( ) =+− 222 4 yxw 
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COCIENTES NOTABLES 
 
Son aquellas cuyas divisiones algebraicas cuyo cociente se escribe directamente aplicando ciertas 
reglas. 
 
1.- COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE lOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA 
SUMA O LA DIFERENCIA DE SUS RAÍCES 
 
El cociente de la diferencia de cuadrados perfectos entre la suma o diferencia de sus raíces, es igual a la 
diferencia o suma de sus raíces respectivamente. 
 
 
▪ ba
ba
ba
−=
+
− 22
 
 
▪ ba
ba
ba
+=
−
− 22
 
 
2.-COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAS PARES POR LA SUMA O DIFERENCIA DE 
SUS RAÍCES. 
 
Es igual a un polinomio homogéneo en grado n - 1 (el primero y el último término es igual a sus raíces 
elevada al exponente dado menos uno, los otros términos están formados por el primer término están 
formados por el primer término con su exponente en forma descendente multiplicado por el segundo 
término con su exponente en forma ascendente), cuyos coeficientes llevan siempre el signo positivo (en 
el primer caso) y los signos van alternados + y – (en el segundo caso) 
 
▪ 
3223
44
babbaa
ba
ba
+++=
−
−
 ▪ 
3223
44
babbaa
ba
ba
−+−=
+
−
 
 
3.-COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS POR LA SUMA O 
DIFERENCIA DE SUS RAÍCES. 
 
Es igual (refiriéndose a las raíces) al cuadrado del primer término, más o menos el primero por el 
segundo término, y más el cuadrado del segundo término. 
 
▪ 22
33
baba
ba
ba
++=
−
−
 ▪ 22
33
baba
ba
ba
+−=
+
+
 
 
4.-COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES POR LA SUMA O 
DIFERENCIA DE SUS RAÍCES. 
 
Es igual a un polinomio homogéneo de grado n – 1 (el primero y el último término, es igual a sus raíces 
elevado al exponente dado menos 1, los otros términos están formados por el primer término con su 
exponente en forma descendente multiplicado por el segundo término con su exponente en forma 
ascendente), cuyos coeficientes llevan siempre el signo positivo (en el primer caso) y los signos van 
alternados + y – (en el segundo caso) 
 
▪ 432234
55
babbabaa
ba
ba
++++=
−
−
 ▪ 432234
55
babbabaa
ba
ba
+−+−=
+
+
 
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CUIDADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
POTENCIAS PARES: 
 
b5a6
b5a6
b25a36 22
−=
+
−
 b5a6
b5a6
b25a36 22
+=
−
−
 
 
POTENCIAS IMPARES: 
422
2
63
q25pq15p9
q5-p3
q125-p27
++= 422
2
63
q25+pq15-p9=
q5+p3
q125+p27
 
b3a2
b243a32 55
−
−
 = 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
432234
432234
432234
b81ab54ba36ba24a16
b81b27a2b9a4b3a8a16
b3b3a2b3a2b3a2a2
++++=
−+++=
++++=
 
EJERCICIO 
Escribe en forma directa el cociente, si es posible, caso contrario justifica tu respuesta 
 
 
Actividad 1 
 
a. =
+
−
zy
zy
2
4 22
 
 
b. 
ab
ba
54
2516 22
−
−
= 
 
 
c. =
−
−
73
499
2
4
x
x
 
 
d. =
+
−
22
442
136
16936
xmn
xnm
 
 
➢ La suma de potencias pares nunca es divisible por la suma ni por la 
diferencia de sus raíces. 
➢ La diferencia de potencias pares es divisible por la suma o 
diferencia de sus raíces. 
➢ La suma de potencias impares solo es divisible por la suma de sus 
raíces. 
➢ La diferencia de potencias impares solo es divisible por la 
diferencia de sus raíces. 
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e. =
+
−
24
48
2011
400121
ba
ba
 
 
f. =
−
−
33
66
12
144
dc
dc
 
Actividad 2 
 
a. =
−
−
3
814
b
b
 
 
b. =
+
−
zy
zy 66
 
 
c. =
−
−
ab
ba
5
625 44
 
 
d. =
+
−
m
m
2
16 4
 
 
e. =
− zax
xa
43
81 44
 
 
f. 
nm
nm
23
64729 66
+
−
 
Actividad 3 
 
a. =
−
−
nm
nm
2
8 33
 
 
b. =
+
+
z
z
35
27125 3
 
 
c. =
−
−
74
34364 33
ab
ba
 
 
d. =
+
+
22
66
2
8
dc
dc
 
 
e. =
−
−
xy
yx
8
512 33
 
 
f. =
+
+
22
66
96
729216
nm
nm
Actividad 4 
 
 a) =
+
+
b
b
2
128 7
 b) =
−
−
1
15
w
w
 c) =
−
−
dc
dc
3
243 55
 
 
 
 d) =
+
+
3
21877
z
z
 e) =
+
+
wv
wv 77
 f) =
−
−
3
24355
ax
xa
 
 
 
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FACTORIZACIÓN 
 
 
Factor Común.- Cuando observamos que en un polinomio existe un factor que se repite en todos los 
términos del mismo, podemos expresar el polinomio como producto de este factor común, por los 
términos no comunes: 
 
Para extraer e! factor común se procede 
 
✓ Obtener el factor común numérico y/o literal, calculando el divisor común mínimo de los 
coeficientes y de los literales (en este caso es el de menor exponente). 
 
✓ Se expresa el polinomio como el producto del factor común por un polinomio cuyos términos son 
los cocientes que resultan de dividir cada término del polinomio origina' entre el factor común. 
 
EJEMPLO 
 4x + 4y - 4z = 4(x + y - z); ya que: z
z
;y
y
;x
x
===
4
4
4
4
4
4
 
 
 
 2a (a2+ 1) + a (a2+1) = (a2+1)(2a + a); ya que: 
( ) ( )
a
a
aa
;a
a
aa
=
+
+
=
+
+
1
1
2
1
12
2
2
2
2
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
Encuentra el factor común en las siguientes expresiones: 
 
1. 36x2-18x-48 
2. 20a2b-72ab+28ab 
3. 135x2yz+162xy-189xy2z-108x2y 
4. 40a2b-96ab2-48ab-56a2b2 
5. 80m3n4-192m2n+112mn2-128mn 
6. 9x2y2z5+6xyz4-18x2y5z2-21x3y4z2 
7. 25x4y3z2-50x3y2z-100 x2y2z5z3+75x2y2z2 
8. 20a3b3c3-18a2b2c-30a2b2c2+12a2b3c5 
9. 2ex+6e2x+2ex+1 
10. 6ex-15ex+1 + 12e2x 
11. 20ex-4e2x+1+8e3x 
12. 4(x-2)(x-4)+4-x+(x+4)(x-4) 
13. 4(x+4)(x-6)+18-3x+2(x+2)(x-6) 
14. 2(x-2)(x+1)+4-x2+3(x-2)(x+9) 
15. 5(x+1)(x-3)-3(9-x2)+2(x+2)(x-3) 
16. 2(x+1)2(x-2)-4(4-x2)+3(x+1)(x-2) 
17. 3(x+5)(x-4)+5(x-4)2-6(x+3)(x-4 
18. 2(a+b+c)-xa-xb-xc 
19. 3(x+y+z)+ax+ay+az 
20. 5(m-n+o)-aym+ayn-ayo 
 
 
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FFAACCTTOORRIIZZAACCIIÓÓNN DDEE BBIINNOOMMIIOOSS 
 
Los polinomios pueden presentarse como binomios (2 términos) y cada uno responde a ciertos 
procedimientos y reglas para poder factorizarlas. 
 
DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTO 
 
Un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número racional. Cuando un binomio se 
presenta como la diferencia de cuadrados perfectos, entonces es igual al producto de la suma y 
diferencia de las raíces cuadradas perfectas. 
 
Ejemplos 
 Cuando las cantidades son algebraicas tenemos: 
 
1. Factoriza 9x4y2 – 4z2 9x4y2 – 4 z2 = ( )( )zyxzyx 2323 22 −+ 
2. Factoriza ( ) ( )22 4 yxyx +−− 
( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) yxyxyxyxyxyx ++−+−−=+−− 224 22 
 
( )( )
( )( ) ( )( )yxyxxyxyx
yxyxyxyx
++−=+−−=
++−−−−=
3333
2222
 
SUMA O DIFERECNIA DE CUBOS PERFECTOS 
 
( )( )
( )( )2233
3233
babababa
babababa
++−=+
+−+=+
 
 
La suma o diferencia de cubos es igual al producto de la suma o diferencia de sus raíces cúbicas por el 
cuadrado de la primera raíz menos o más el producto de las dos raíces cúbicas más el cuadrado de la 
segunda raíz cúbica. 
 
SUMA DE CUBOS 
 
 a3b6 + 27 = (ab2 + 3) [(ab2)2 - (ab2)(3) + 32] 
 
 ab2 3 = (ab2 + 3) (a2b4 - 3ab2 +9) 
 
 
 
DIFERENCIA DE CUBOS 
 
 
a3b6 - 27 = (ab2 - 3) [(ab2)2 + (ab2)(3) + 3 = (ab2 - 3) (a2 b4 + 3ab2 + 9) 
 
 
 
 
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EJERCICIOS 
 
a. =−
125
729
512
343 1 29 ba
 b. ( ) =−− 645 3m c. ( ) ( ) =+−− 322 3 mm 
 
d. =+
3366 729 zyxa e. =−
125
512
1000
27 1 26 yx
 
 
SUMA Y DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES CON EXPONENTE IMPAR. 
 
La suma o diferencia de dos potencias con iguales exponentes n impar se descompone en la suma o 
diferencia de sus raíces por un polinomio homogéneo de grado n – 1, cuyos coeficientes llevan los 
signos alternados (+) y (-) en el primer caso y siempre son positivos en el segundo caso. 
 
 ( ) ( )( )43223455 babbabaababa ++++−=− ( ) ( )( )43223455 babbabaababa +−+−+=− 
 
Ejemplos: 
 
▪ a5 - 32 = (a - 2) [(a)4 + (a)3(2) + (a)2(2)2 + (a)(2)3 + (2) 
 
 a 2 = (a - 2)(a4 + 2a3 + 4a2 + 8a + 16) 
▪ 














+





−





+





−





+=+
432
234
5
5
2222232
yy
x
y
x
y
xx
y
x
y
x 
 
 x 
2
y
 





+−+−





+=
168422
43223
4 yxyyxyxx
y
x 
 
EJERCICIOS: 
 
Expresa en forma de factores los siguientes binomios. 
 
1. 64x4 – 36x2 2.- 9 a4b2 – 25c4d4 3.- 64y2 – 1 4.- 125x6y9 + z12 5.- 216 a3b9 +8c12 
 
6.- ( x – 1)2 – ( x + 2)2 7.- ( y – 5)2 – ( 2y + 1)2 8.- 4( a – 3)2 – 9( a - 1)2 
 
9.- ( x – 1)3 – ( x + 2)3 10.- 64( a – 3)3 + 8( a + )3 11.- 1331 a3b6 + 1728c6d15 
 
12.- 100 a3b6 + 512 c15 d21 13.- a7 – b7 14.- x10 – y5 15.- a5 – 32b5 
 
16.- a5 + 243b5 17.- m15 – n10 
 
 
 
 
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FFAACCTTOORREESS DDEE TTRRIINNOOMMIIOO 
 
Entre las técnicas más utilizados para factorizar trinomios tenemos: el trinomio cuadrado perfecto, el 
trinomio de la forma, cbxx ++2 , y el trinomio de la forma cbxax ++2 . 
 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P.) 
 
Se reconoce un T. C. P. si tiene al menos dos términos positivos que sean cuadrados perfectos (el 
primero y el tercer término y tengan raíz cuadrada exacta) y cuando el doble producto de sus raíces 
cuadradas da en valor absoluto, el otro término del trinomio (segundo término). 
EJERCICIOS: 
 
 4x2+20x+25 =(2x – 5)2 16a2-24ab+9b4= (4a – 3b2)2 
 
 
 2x 5 4a 3b2 
 
 2(2x)(5)=20x 2(4a)(3b2)=24ab2 
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + b.x + c 
 
Este trinomio se caracteriza porque el coeficiente de x2 siempre es la unidad. 
 
36132 ++ bb 22 96 mmnn +− 4062 −− xx 
 
El trinomio de la forma x2 + bx + c, es igual al producto de dos binomios cuyo primer término es la 
raíz cuadrada de x2. Luego de la raíz en el primer binomio se coloca el signo del segundo término del 
trinomio y en el segundo binomio va el signo que resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer 
término del trinomio. Los segundos términos de cada binomio son los números cuya suma algebraica 
de “b” y cuya multiplicación de “c”. El número de mayor valor absoluto va en el primer binomio y el 
menor en el segundo binomio. 
Ejemplos: 
 
( )( )4936132 ++=++ bbbb ( )( )4104062 +−=−− xxxx 
22 6316 yxxy++ se ordena el trinomio ( )( )yxyxyxyx 796316 22 ++=++ 
( ) ( ) ( )  ( ) 21111221131 2 −−−−=+−−− aaaa 
 
( )( )
( )( )312
21111
−−=
−−−−=
aa
aa
 
 
 
 
 
 
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 EJERCICIOS:
a. =+− 22 11924 yxyx 
 
b. =−− 32510 916 nnmnm 
 
c. =−+− 15425 36 xx 
 
d. ( ) ( ) =++++ 54152 nmnm 
 
e. ( ) ( ) =−−++ 119341 2 xx 
 
f. =+− 35122 mm 
 
g. =−− 16142 2 xx 
 
h. ( ) ( ) =+− 353123 2 xx 
 
i. ( ) ( ) =++ 842 485145 baba 
 
j. ( ) ( ) 44373 2 −−+− aa = 
 TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c 
Este trinomio tiene la característica de que siempre el coeficiente de x2 es diferente a la unidad. 
 
1109 2 ++ bb 10173 2 +− mm 334 2 −−nn 
Para factorizar existen varios métodos, nosotros utilizaremos el que consideramos es el mas sencillo. 
 
Se multiplica y divide el trinomio dado por el coeficiente de x2(a) 
 
( ) ( )
a
acaxbax ++
2
 
Considerando ax como un solo símbolo procedemos a descomponer el numerador igual que el trinomio 
anterior es decir buscando dos números cuya suma algebraica de b y cuya multiplicación de ac. 
Finalmente se procede a sacar el factor común y simplificar. 
Ejemplos: 
)1b9)(1b(
9
1
)1b9)(9b9(
9
9)b9(10)b9(
1b10b9
2
2 ++=++=
++
=++ 
EJERCICIOS: 
Factorea los siguientes trinomios: 
1. 2x2 + 7x + 6 
2. 4x2 + 39x + 27 
3. 3a2 + 5a - 2 
4. 4b2 – 9b – 9 
5. 2y2 – 7y – 5 
6. 4x2 – 23 x – 6 
7. 5x2 + 32x – 21 
 
 
 
 
 
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FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS POR LA FÓRMULA GENERAL 
Todo trinomio puede factorizarse utilizando la fórmula general de segundo grado: 
 x 
a
acbb
2
42−−
= , esta se encuentra mediante transformaciones algebraicas: 
 
Ejemplo: 
2c5b3a2x5x3 2 =−==+− 
1
4
4
x
2
3
4
6
x
4
15
4
24255
x
)2(2
)2)(3(4)5()5(
x
a2
ac4bb
x
21
22
====

=
−
=
−−−−
=
−−
=
 
EJERCICIOS: 
1. Factoriza los siguientes trinomios, aplica la fórmula general: 
 
a. 12194 2 +− xx 
b. 252 2 ++ xx 
c. 3x2 + 2x - 1 
 
d. 15x2 + x – 2 
e. 2039 2 −+ aa 
f. 328 2 −− xx
 
TRINOMIO INCOMPLETO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 
 
Si un trinomio no es cuadrado perfecto, éste se puede convertir en T.C. P. sumando al segundo término 
un monomio cuadrado perfecto, para que el valor de la expresión original no se altere se resta el mismo 
término que se sumó. Se factoriza el T.C .P. y luego la diferencia de cuadrados. 
 
 
 ( )( ) 224224 123984 yxy2x 2:ser debe término segundo el;yyxx 22 =++ 
 
= ( ) 22224224 yx4yx4y9yx8x4 −+++ Se suma y se resta 4x2y2 y para completar el trinomio 
 
= ( ) 224224 yx4y9yx12x4 −++ Se factoriza el T.C.P. 
 
= ( )( )xyyxxyyx 232232 2222 −+++ Se factoriza la diferencia de cuadrados. 
 
= ( )( )2222 322322 yxyxyxyx +−++ Se ordenan los factores. 
 
 
 
 
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EJERCICIOS: 
 
1. Factoriza los siguientes trinomios: 
a. 8446 8114 nnmm ++ 
b. 36119 24 ++ yy 
 
c. 93125 24 +− mm 
d. 44 64zy + 
 
e. 91949 24 ++ xx 
f. 4247121 aa +− 
 
Factoriza los siguientes trinomios. 
 
a. 42 165736 bb +− 
b. 10019 48 ++ yy 
c. 4224 2510681 nnmm +− 
d. 8448 49119144 bbaa ++ 
e. xxaa 497425 224 +− 
 
f. 48 4625 cb + 
 
AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS 
 
En algunos polinomios no es posible sacar un factor común a todos sus términos; es necesario agrupar 
los términos para obtener el factor común monomio en cada uno de los grupos. 
 
 byaybxax +++ 
 Primera Forma Segunda Forma 
 
 (ax+bx)+(ay+by) Agrupamos (ax+ay)+(bx+by) 
 x(a+b)+y(a+b) Extraemos el factor común monomio a(x+y)+b(x+y) 
 (a+b)(x+y) Extraemos el factor común polinomio (x+y)(a+b) 
➔ ax + bx + ay + by = (x + y ) (a + b) 
 
Como se puede observar la respuesta en ambos casos es la misma, lo que significa que la agrupación de 
términos se deberá realizar de una manera adecuada, tomando en cuenta los cambios de signos cuando 
un paréntesis está precedido del signo menos. 
 
EJERCICIOS: 
 
1. Factoriza los siguientes polinomios. 
 
1. 3x2 – 12x + xy – 4y = 
2. 15m – 9mn + 35mx – 21nx = 
3. 8b –7c + 24ab – 21ac = 
4. 6ab + 2ax – 15y – 5xy = 
5. a – ab – ac + a – b – c = 
6. 3vx + 2wx – x2 – 6vy – 4wy + 2
7. a4 – a3b + ab2 – b3 
8. 3ax – ay – 9bx + 3by 
9. 3ab – 6b + 4ª – 8 
10. 1 + bc – b – c 
11. x2 – xy + xz – x + y – z 
12.3x + 2 – 27xy –18y – 9xy2 – 6y2 
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COMBINACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE FACTORIZACIÓN 
 
En algunos ejercicios puede presentarse una combinación de las diferentes técnicas de factorización 
para su desarrollo es necesario identificar cada uno de ellas y a partir de eso descomponer en sus 
factores hasta que sean primos entre sí. 
 222 24 babac −+− ; observamos que existe un T.C.P., entonces procedemos: 
 
 Agrupamos términos (T.C.P.) ( )222 24 babac +−− 
 Factorizamos el T.C.P. ( )224 bac −− 
 Factorizamos la diferencia de cuadrados ( )  ( ) bacbax −−−+ 22 
 Supresión de signos de agrupación ( )( )bacbac +−−+ 22 
 
 88 34 −+− xxx 
 
 Agrupamos términos (T.C .P.) ( ) ( )88 34 −+− xxx 
 Extraemos factor común monomio. ( ) ( )88 33 −+− xxx 
 Extraemos factor común polinomio ( )( )81 3 −+ xx 
 Factorizamos la diferencia de cubos ( )( )( )4221 2 ++−+ xxxx 
 
 bbb 283 23 −− 
 Extraemos factor común monomio ( )2832 −− bbb 
 Factorizamos el trinomio de la forma x2+bx+c ( )( )47 +− bbb 
 
 
 258 5425 xxx −− 
 Factor común monomio. ( )5425 362 −− xxx 
 Trinomio de la forma x2+bx+c ( )( )227 332 +− xxx 
 Diferencia de cubos ( )( )( )2933 322 +++− xxxxx 
 
EJERCICIOS: 
 
Factoriza los siguientes polinomios hasta que sus factores sean primos entre si. (Utiliza las técnicas 
respectivas) 
 
a) 37 mm − b) xxx 456020 23 +− c) 4422 47196 yxyx ++ d) 3322 2 bababa −−++ 
 
 
 1+x 1x − x + 2 x - 2 x + 3 x - 3 x + 4 x - 4 
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e) bcacba +−− 24 22 f) bbaaba −++− 22 2 h) ( ) ( )( )22222 816 baaxbax −−−− 
 
 
Realizar la siguiente tabla de producto. Esta tabla ayudará rápidamente los binomios y trinomios que 
solicite cada grupo. 
 
 
 
 
 
FFUUNNCCIIOONNEESS RRAACCIIOONNAALLEESS 
 
Las fracciones algebraicas se emplean en toda actividad matemática y científica, éstas se presenta:" 
cuando se compara una cantidad con otra, una parte con e! todo, al resolver ecuaciones, entre otros 
casos. 
 
DIVISOR COMÚN MAXIMO Y MULTIPLO COMÚN MINIMO 
 
Divisor Común._ Divisor común de varias expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que 
divide exactamente a cada una de ellas. 
Ejemplo: 
 
a) x es divisor común 3x2 y b) 3xy2 es divisor común de 6x2y3 y 9xy2 
 
1x + 
x2+2x+1 x2 - 1 x2+3x+2 x2-x-2x2+4x+3 x2-2x-3 x2+5x+4 x2-3x-4 
1x − x2-2x+1 x2+x-2 x2-3x+2 x2+2x-3 x2-4x+3 x2+3x-4 x2-5x+4 
x + 2 x2+4x+4 x2 - 4 x2+5x+6 x2-x-6 x2+6x+8 x2-2x-8 
x - 2 x2-4x+4 x2+x-6 x2-5x+6 x2+2x-8 x2-6x+8 
x + 3 x2+6x+9 x2-9 x2+7x+12 x2-x-12 
x - 3 x2-6x+9 x2+x-12 x2-7x+12 
x + 4 x2+8x+16 x2-16 
x - 4 x2-8x+16 
x + 1 
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Divisor Común Máximo.- Divisor común máximo de varias expresiones algebraicas es su divisor 
común de mayor grado. 
 
Ejemplo: 
 
a) Determinar el d.c.m. de 72x2y4, 48x3y3z, 60x4y3z 
 
Descomponiendo: 
de 72x2y4= 23 32 x2 y4 48x3y3z = 24 3 x3 y3 z 60x4y3z= 22 3 5 x4 y3 z 
Múltiplo Común.- Múltiplo común de varias expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que 
sea exactamente divisible por cada una de ellas. 
Ejemplo: 
 
a) 12 a3 b2 es común múltiplo de 3 a2 y 4 a3 b porque 12 a3 b2 es divisible exactamente para 3 a2 y 4 a3 
b. 
 
Múltiplo Común Mínimo.(m.c.m).- Múltiplo común mínimo de varias expresiones algebraicas es su 
múltiplo de menor grado. 
 
Ejemplo: 
 
a) Determinar el m.c.m de a2 – 4 y a3 – 8 
 
 a2 – 4 = ( a – 2)( a + 2) a3 – 8= ( a – 2)( a2 + 2 a + 4) 
 
m.c.m = ( a – 2)( a + 2) ( a2 + 2 a + 4) 
 
 
FFRRAACCCCIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS 
 
Fracción algebraica.-Es el cociente indicado entre dos expresiones algebraicas. La expresión 
algebraica dividendo se llama numerador, y la expresión algebraica divisor se llama denominador. 
 
2x
1x4x4 2
+
++
 ; 
ba
bab3 2
−
−
 ; 
mn2
mn2m2 −
 
 
Cuando el numerador y el denominador son expresiones racionales, la fracción se llama racional. 
Ejemplos: 
 
yx
yx 22
−
−
 ; 
2
22
)ba(
baba2
−
+−
 ; 
xy2
yx 22 −
 
 
Cuando el numerador, el denominador o ambos términos son expresiones fraccionarias, la fracción se 
llama compleja. Ejemplos: 
 
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y2x2
yx
yx
x2
+
+
−
+
 ; 
yx
yx
yxy2x
33
22
−
+
++
 ; 
yx
yx
x3
yx
yxyx 3223
−
+
+
−
−
 
 
 
PRINCIPIO FUNDAMENTAL 
 
 
Si se multiplica o divide ambos términos de una fracción algebraica por un mismo factor, la fracción 
resultante es equivalente a la fracción original. 
 
Sea la fracción: 
22
33
yx
yx
−
−
 
 
Si multiplicamos a ambos términos de la fracción por x + y tenemos. 
 
( )( )
( )( ) 3223
4334
22
33
3223
4334
22
33
yxyyxx
yxyyxx
yx
yx
yxyyxx
yxyyxx
yxyx
yxyx
−−+
−−+
=
−
−

−−+
−−+
=
+−
+−
 
 
Sea la fracción: 
22
33
yx
yx
−
−
 
 
Si dividimos a ambos términos de la fracción por x+y tenemos. 
 
3223
4334
22
33
3223
4334
22
33
yxyyxx
yxyyxx
yx
yx
yxyyxx
yxyyxx
yx
yx
yx
yx
−−+
−−+
=
−
−

−−+
−−+
=
+
−
+
−
 
 
 
SIGNOS DE LA FRACCIÓN 
 
En una fracción se debe considerar tres signos: 
El signo del numerador, 
El signo del numerador y 
El signo propio de la fracción (que se antepone a la línea de fracción). 
 
y
x−
− ; 
y
x
−
− ; 
y
x
−
−
+ 
Se puede cambiar dos signos cualesquiera de la fracción, y la nueva fracción es equivalente a la 
fracción original. 
 
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Derechos Reservados de los Autores 41 
 
y
x
 = 
y
x−
− = 
y
x
−
− = 
y
x
−
−
 
 
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES 
 
Simplificar una fracción es convertida en otra equivalente, cuyo numerador y denominador son primos 
entre sí. Para simplificar fracciones se descomponen tanto el numerador como el denominador y se 
simplifican los factores comunes. Ejemplo: 
 
Simplificar 
( )
( )22
4
yxa
yxab4
+
+
; En este caso el numerador y el denominador tienen los factores comunes: a, 
(x+y)2 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
a
yxb4
yxa
yxyxab4
yxa
yxab4
2
22
22
22
4
+
=
+
++
=
+
+
 
 
EJERCICIOS: 
Reduce a su mínima expresión. 
 
 
1. 
2x
x3
7x
1x
−
−
+
+
−
 
 
2. 
4x
1x
2x
2x
+
+
−
+
−
 
 
3. 
1x
2x
4x
1x
−
+
−
+
−
 
 
4. 
5x
1x
3x
3x
+
−
−
+
−
 
5. 
6x
3x
1x
5x
+
+
−
−
+
 
6. 
6x
3x
4x
3x
+
+
−
−
+
 
 
7. 
2xx
1
1x
1
22 −−
−
−
 
8. 
2x5x2
2
4x
1
22 ++
−
−
 
 
9. 
5x4x
6x7x
1x2x
3x4x
2
2
2
2
−+
+−
−
++
++
 
 
10. 
30x7x
15x2x
12x8x
4x4x
2
2
2
2
−−
−−
−
++
++
 
 
11. 
5x
1x2
3x
3x
5x
6x
+
+
−
−
+
+
+
+
 
 
 
 
12. 
2x
3x2
1x
1x
2x
8x
+
−
−
−
+
+
+
+
13. 
1y
1y3
3y
5y
5y
3y2
+
+
−
−
−
+
+
−
 
 
14. 
2x5x2
3x2
6xx
1x
22 ++
−
−
−−
+
 
 
 
1m2m
1m
3m
5m2
2mm
4m4m
2
2
2
2
+−
−
−
−
+
+
−+
++
 
 
15. 
)1b)(ba(
b2a
1b
b3a
1a
b2a
++
−
−
+
−
−
+
+
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Derechos Reservados de los Autores 42 
 
 
MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIIÓÓNN YY DDIIVVIISSIIÓÓNN DDEE FFRRAACCCCIIOONNEESS 
 
 
Multiplicación 
 
 
Para multiplicar dos o más fracciones el procedimiento es: 
 
• Factorizar las fracciones. 
• Simplificar los factores comunes. 
• Los factores no comunes se multiplican numeradores con numeradores y denominadores con 
denominadores. 
 
Ejemplo: 
 
 
xa
yb2
xba523
yxba652
bx5
yb6
a2
xya5
ab3
yax2
2
92
425
9343
4
54
4
322
=


= 
 
 
División 
 
Para dividir dos fracciones, se multiplica la fracción dividiendo por la fracción divisor invertido. 
 
Ejemplo: 
 
 
2
2
33
25
32
42
4
322
by15
xa4
bxya15
yxa4
xya5
a2
ab3
yax2
a2
xya5
ab3
yax2
=== 
 
 
EJERCICIOS: 
 
a. Multiplica las siguientes fracciones: 
 
 
a. 
70x17x
11x12x
44x15x
28x3x
2
2
2
2
+−
++

++
−−
 
 
b. 
2xx3
1x2
1xx2
2xx3
22
2
−−
+

−−
−−
 
 
c. 
2x3x
16x4
4x11x3
2x7x3
22
2
+−
+

−−
+−
 
d. 
40x10x5
5x5
3xx2
12xx2
22
2
−−
−

−+
−−
 
 
e. 
3x5x2
30x7x
10x9x
3xx2
2
2
2
2
++
−+

−+
−+
 
 
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Derechos Reservados de los Autores 1 
 
 
f. 





+−
−
−
−+
+






−−
−
+
−
−
6x5x
2x
4x3x
4x
2xx
2x
1x
1x
2222
 
 
g. 





−−
−
−
++
+






−−
−
+
−−
−
32x4x
8x
12x7x
3x
10x3x
5x
6xx
3x
2222
 
 
h. 





−−
+
−
+−
−






−+
+
+
−+
+
32x4x
3x3
30x11x
6x
8x2x
4x
20x8x
10x
2222
 
 
 
i. 





−+
+
−
−+
+






++
−
+
−+
+
16e6e
16e2
20e8e
30e3
10e7e
5e
8e2e
4e
2222
 
 
b. Divide y simplifica las siguientes expresiones: 
 
1. 





−−
−+






−−
−+
30xx
60x4x
14x5x
2xx
2
2
2
2
 
 
2. 





−−
−+






−+
++
6x5x
54x3x
6xx
27x12x
2
2
2
2
 
 
3. 





−−
−−






−−
−−
28y3y
32y4y
7y6y
8y7y
2
2
2
2
 
 
4. 





−+
−+






++
++
6mm
10m3m
12m7m
50m15m
2
2
2
2
 
 
5. 





−+
+−






−+
−+
2pp
18p9p
24p5p
48p2p
2
2
2
2
 
 
6. 












−
+













−
−
m
1
1
1m
m
1
1
m1
 
 
7. 












−
−













−
+
2
1
y
y2
y
1
2
1y
 
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Derechos Reservados de los Autores 2 
 
 
8. 












+
+













−
+
x
1
1
1x
x
1
1
x
1
x 2
 
 
9. 












+
−













+
−
b
1
1
b
1
1
b
1b
b
1
b
 
 
10. 












−
+













+−
a
1a
a
1
1
a
2a
a
4
a
2
 
 
 
 
 
 
 FRACCIONES COMPLEJAS 
 
Son las funciones racionales en las que: el numerador, el denominador o ambos son expresiones 
fraccionarias. Ejemplos: 
 
x
x
y
y
x
y
2
2
−
−
 ; 
yx
x
x
yx
yx
x
−
−
−
+
−
 ; 
1a
1
1a
1
1a
1
1a
1
+
+
−
+
−
− 
 
Para resolver una fracción compleja se reducen el numerador y denominador a fracciones simples, se 
dividen las dos fracciones que resultan. Ejemplo: 
 
( )
( ) y
x
xyy
xyx
x
xy
y
xy
x
x
y
y
x
y
22
22
22
22
2
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
 
Ejercicios Resueltos 
 
1) =
+
−
3
x
1
3
x
3
2
x3
3x
)x3)(x3(
3x
x9
3
x3
3
x9
2
2
−=
+
−+
=
+
−
=
+
−
 
 
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Derechos Reservados de los Autores 3 
 
2) =
−
−
+
−
a
1
1
1
1
a1
1
1
1a
)a1(a
)1a(
)1a(a
1a
1
1a
a
1a
a1a
1a
a
1a
a
1
1a
a
a
1a
1
1
1
1a
1a1
+
−
=
+−
−
=
−
−
+=
−
−−
+=
−
−
+=
−
−
+
−+
 
 
EJERCICIOS: 
 
Simplifica las siguientes fracciones compuestas. 
 
1) 
2
y
3
4
y
2
3
y
1
2
y
1
−
+
−
+
−
 2)
3
m
3
2
m
2
m
1
1
m
1
1
+
−
−
+
−
 3)
12xx
5x
3x
6x5x
1
2x
1x
2
2
−−
+
+
−
++
+
−
 
 
 
4) 
20x9x
1
4x
3x
14x5x
1
7x
4x
22 ++
+
+
−
−+
+
+
 5)
1x
3x
5x
3x
2x
1
1x
2x
2 −
+
−
+
−
+
−
+
 
 
SSIISSTTEEMMAA DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS LLIINNEEAALLEESS 
 
Si tenemos una ecuación lineal de la forma ax + by = c, donde a, b, c son constantes y a, b distintas de 
cero. Dos ecuaciones de esta forma constituyen un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 
El sistema se llama lineal porque todas sus ecuaciones son de primer grado. 
 
Sistemas lineales. Sistemas no lineales. 
5x – y = 9 5x – y = 9 
3x – y = 13 2x2 + 4y2 = 8 
 
La solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, constituye todo par de valores x e y 
que satisfagan simultáneamente ambas ecuaciones. Las soluciones de un sistema pueden ser: 
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Derechos Reservados de los Autores 4 
 
 
 
 
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen los métodos analíticos y el método gráfico. 
MÉTODOS ANALÍTICO.- tenemos reducción, sustitución, igualación, determinante. 
 
Método de Reducción o Eliminación 
 
Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones dadas por números adecuados de tal manera que una 
de las incógnitas se anule, se suman las ecuaciones y el sistema se transforma en una ecuación lineal. 
Ejemplo: 
 
* Resolver el sistema de ecuaciones: 
 
2x – y = 4 
X + 2y = -3 
 
Para eliminar x multiplicamos a la segunda ecuación por -2. 
 
 
 2x – y = 4 Sumamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación. 
-2x – 4y = 6 
 - 5y = 10 
 
5
10
y −= → y = -2 
SOLUCIÓN 
ÚNICA 
El sistema tiene una sola 
solución. Su gráfica son 
2 rectas que se intersecan 
en un punto. 
INFINITO 
El sistema tiene infinitas 
soluciones. Su gráfica es 
una sola recta. 
NO EXISTE 
El sistema no tiene 
solución. Su gráfica son 
dos rectas paralelas. 
a1x + b1y = c1 
a2x + b2y = c2 
ax + ay = ac1 
x + y = c2 
ax + ay = c1 
x + y = c2 
 
SISTEMAS 
CONSISTENTES 
SISTEMAS 
INCONSISTENTES 
L2 L1 
L2 
L1 
L2 
L1 
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Derechos Reservados de los Autores 5 
 
Para determina el valor de x, reemplazamos el valor de y en una de las ecuaciones originales, 
 
Reemplazamos en la primera ecuación. 
 
2x – (-2) = 4 
2x + 2 = 4 
1x
2
24
x =
−
= 
 
Verificación: 
 
Para comprobar si la solución del sistema de ecuaciones es correcta, reemplazamos los valores de x e y 
en las ecuaciones originales y se obtiene una igualdad así: 
 
Reemplazando en cada ecuación 
 
2(1) – (-2) = 4 (1) + 2(-2) = -3 
2 + 2 = 4 1 - 4 = -3 
4 = 4 -3 = -3 
 
 
EJERCICIOS: 
 
a. Resuelve por reducción los siguientes sistemas de ecuaciones: 
b. 
 
1) 



=−
=+
2yx3
5y2x3
 2) 



−=+
=−
3y6x
13y4x3
 
 
3) 



=+
=−
13yx4
9y6x5
 4) 



−=+
=−
9y7x3
23yx5
 
 
5) 



=+
=−
7y3x8
31y7x10
 6) 



=−
=+
7yx2
64y3x11
 
 
7) 



=−
=+
46y3x7
47y5x6
 8) 



=−
−=+
31y9x2
2y4x5
 
 
9) 



=−
=+
46y7x6
1y2x3
 10) 



=+
−=−
11b5a6
1b15a14
 
 
 
Método de Igualación 
 
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Derechos Reservados de los Autores 6 
 
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, se igualen estos resultados, 
transformándose el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en ua ecuación lineal. 
* Resolver el sistema de ecuaciones 
2x – y = 4 (1) 
x + 2y = -3 (2) 
 
Despejamos y en las dos ecuaciones 
 
 (1) (2) 
-y = 4 – 2x 2y = -3 – x 
4x2y −= y 
2
3x
y
−−
= 
 
Igualamos estos resultados y resolvemos 
 
1x
5
5
x5x583xx43x6x4
2
3x
4x2
===+−=+−−=−
−−
=−
 
 
Reemplazamos este valor en una de las ecuaciones despejadas. 
 
Reemplazando en la primera ecuación. 
 
y = 2(1) – 4 
y = 2 – 4 
y = -2 
 
EJERCICIOS: 
 
a. Resuelve por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 
1) 



−=+−
=+
2yx3
9y4x5
 2) 



=−
=+
2yx2
16y3x10
 
 
3) 



=+
=−
18y5x4
4yx3
 4) 



=+
=−
5yx2
15y3x4
 
 
5) 



−=−
−=+
46y5x6
12y9x5
 6) 



=+
=−
45yx11
37y3x10
 
 
7) 



−=−
−=+
8n5m6
25n2m7
 8) 



−=+
−=−
9b2a3
75b5a12
 
 
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Método de Sustitución 
 
Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación. 
Transformándose el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación lineal. 
 
* Resolver el sistema de ecuaciones 
 
2x – y = 4 
x + 2y = -3 
 
Despejamos y en la primera ecuación: 
 
-y = 4 – 2x 
y = 2x – 4 
 
Reemplazamos en la segunda ecuación y resolvemos: 
 
x + 2 (2x – 4) = -3 
x + 4x – 8 = -3 
5x = -3 + 8 
5x = 5 
x = 1 
 
Para determinar el valor de y reemplazamos el valor de x en una de las ecuaciones originales. 
 
Reemplazamos en la segunda ecuación: 
 
1 + 2y = -3 
 
2y = -3 – 1 
 
y = -2 
EJERCICIOS: 
a. Resuelve por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 
 
1) 



=−
=+
2yx3
8y3x5
 2) 



=+
=−
1yx2
7y3x4
 
3) 



−=−
=+
23nm7
4n5m2
 4) 



−=+
−=−
20q5p4
30q3p6
 
 
5) 



=−
=+
8ba9
10b3a7
 6) 



−=+
−=−
5y5x3
54y2x10
 
 
7) 



−=+
−=−
21b3a10
66b8a13
 8) 



−=−
=+
10yx2
3y6x7
 
 
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Derechos Reservados de los Autores 8 
 
 
 
Método por Determinantes 
 
 
Un determinante es una disposición de números en filas y columnas. 
 
Un determinante de segundo orden está formado por dos filas y dos columnas, su valor es igual 
al producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. 
 
 
 
En un sistema de ecuaciones, las filas representan cada ecuación y las columnas cada una de las 
variable x e y. Pero únicamente se toman en cuenta los coeficientes. Sea el sistema de ecuaciones: 
 



=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
 
 
 
El valor de x, es una fracción dondeel numerador es el determinante que se forma: Reemplazando en la 
primera columna, los coeficientes de x por los términos independientes y en la segunda columna van 
los coeficientes de y. El denominador es otro determinante formado por los coeficientes de x e y. 
 
1221
1221
22
11
22
11
baba
bcbc
ba
ba
bc
bc
x
−
−
== 
 
 
El valor de y, es una fracción donde el numerador es el determinante que se forma: Reemplazando en la 
segunda columna, los coeficientes de y por los términos independientes y en la primera columna van 
los coeficientes de x. El denominador es otro determinante formado por los coeficientes de x e y. 
 
1221
1221
22
11
22
11
baba
caca
ba
ba
ca
ca
x
−
−
== 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
a. Usa la regla de Cramer y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 
 
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Derechos Reservados de los Autores 9 
 
 
1) 



=−
=+
8yx5
20y5x2
 
 
Resolución: 
 
27D252D)5(5)1(2D
15
52
D −=−−=−−=
−
= 
 
60Dx4020Dx)8(5)1(20Dx
18
520
Dx −=−−=−−=
−
= 
 
84D10016Dy)5(20)8(2Dy
85
202
Dy −=−=−== 
 
 
9
28
x
27
84
x
D
Dy
y
9
20
x
27
60
x
D
Dx
x
=
−
−
==
=
−
−
==
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
a. Aplica la regla de Cramer y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 
 
1) 



=+
−=−
7y2x5
1y4x3
 2) 



=+
=−
22y3x4
37yx5
 
 
3) 






=+
−=−
12
91
b5a2
4
27
b7a3
 4) 



=−
=+
31n3m5
43n9m2
 
5) 





=+
−=−
3
44
w9u4
8w7u2
 6) 






=+
−=−
15
16
y7x2
5
19
y11x3
 
 
7) 



−=−
−=+
7nm2
59n8m7
 8) 



−=−
−=+
28w7u2
47w8u9
 
 
 
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Derechos Reservados de los Autores 10 
 
9) 



=+
=−
3y4x3
25y5x2
 10) 



−=+
=−
16b4a2
59b9a7
 
 
 
 Método Gráfico 
 
Consiste en trazar en un plano cartesiano la gráfica de cada una de las ecuaciones. Para realizar la 
gráfica elaboramos una tabla de valores. 
 
La solución del sistema viene dado por la coordenada (x,y) del punto de intersección de ambas rectas. 
Ejemplo: 
 
* Resolver el sistema de ecuaciones: 
 
2x – y = 4 
x + 2y = -3 
 
Despejamos y en las dos ecuaciones y elaboramos las respectivas tablas de valores. 
 
 
 
 
Primera ecuación Segunda Ecuación 
2x – y = 4 x + 2y = -3 
y = 2x – 4 
 
y = 
2
x3 −−
 
 
 
 
 
 
 
Como las rectas se intersecan en el plano (1, -2) la respuesta es: x = 1 y = -2 
 
Observación: 
 
Si las rectas que corresponden a las ecuaciones dadas son paralelas, el sistema de ecuaciones es 
incompatible, es decir: no tiene solución. 
 
* Resolver el sistema de ecuaciones 
 
x + y = 2 
2x + 2y = 8 
 
 
x y 
1 
0 
-1 
-2 
-4 
-6 
x y 
1 
0 
-1 
-2 
-1,5 
-1 
 
 
 
 
 
 
 (1,- 2 ) 
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Despejamos y en las dos ecuaciones y elaboramos las respectivas tablas de valores. 
 
Primera Ecuación Segunda Ecuación 
x + y = 2 2x + 2y = 8 
y = -x + 2 y = 
2
x28 −
 
 
x y 
2 
0 
0 
2 
 
 
 
 
 
 
Este sistema de ecuaciones no tiene solución 
 
 
Si las dos ecuaciones están representadas por una misma recta, las ecuaciones son equivalentes, y 
todos los puntos de la recta son una solución, es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. 
 
 
* Resolver el sistema de ecuaciones 
 
x + y = 1 
4x + 4y = 4 
 
 
Despejamos y en las dos ecuaciones y elaboramos las respectivas tablas de valores. 
 
Primera Ecuación Segunda Ecuación 
 
 x + y = 1 4x + 4y = 4 
 y = 1 - x y = 
4
x44 −
 
 
x y 
0 
1 
1 
0 
 
 
 
 
x y 
0 
4 
4 
0 
x 
y 
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Todos los puntos de la recta son una solución. El sistema tiene infinitas soluciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
a. Resuelve los sistemas de ecuaciones por el método gráfico 
 
1) 



=+
=−
9y2x
4y3x2
 2) 



=−
−=−
12y3x
4yx3
 
 
3) 



=−
=+
5yx3
4y2x
 4) 



=−
=−
4yx
9y3x5
 
 
5) 



=−
=−
4yx2
6y2x4
 6) 



=+
=+
2y10x6
1y5x3
 
 
7) 



=−
=+
9y6x5
4yx
 8) 



−=−
=+
2y3x
9y5x4
 
 
9) 



=+
=+
4yx15
12y3,0x5,0
 10) 



=+
=+
1yx
8y10x9
 
 
 
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 
 
Exponente entero positivo.- Si n es un número entero positivo, por lo tanto 
na representa el producto de n 
factores iguales a “a” 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
n aaaaa ..........=
Base 
N factores 
Exponente 
y 
x 
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Ejemplo: 
 
1) 27=3×3×3=33 
2) 16)2()2()2()2()2( 4 =−−−−=− 
 
Exponente entero negativo.- Toda potencia de exponente negativo equivale a una fracción que tiene como 
numerador la unidad y como denominador la misma potencia con exponente positivo. 
n
n
a
a
1
=− 
Ejemplo: 
 
1) 
9
1
3
1
3
2
2 ==− 
2) 
5
1
5
1
5 1 ==− 
3) 
n
n
n
n
n
n
nn
a
b
a
b
b
a
b
a
b
a






====





−
−−
1
1
 
4) 
9
25
=
3
5
3
5
=)
5
3
(=)
5
3
(
2
2
 
 
Exponente fraccionario positivo.- Si m y n son enteros positivos entonces: 
 
n maa n
m
= 
Ejemplos: 
 
1) ( ) ( ) 42288 223 32332 ==== 
 
2) 
5
1
25
1
25
1 2
1
==





 
 
Exponente fraccionario negativo.- Si m y n son enteros negativos entonces: 
 
n
m
n
m
a
a
1
=
−
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
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1) 
3
2−
x 
 
 
3 2
11
3
2
xx
= 
2) 
2
3
9
−
 
27
1
3
1
)3(
1
)9(
1
9
1
332 2322
3
==== 
 
Exponente cero.-Por definición: 010 = asia 
Toda potencia de exponente cero es igual a la unidad. 
 
Ejemplos: 
 
1) 150 = 
2) 1)5( 0 =− 
 
Propiedades de la potenciación 
Sean m y n enteros, y sea a y b representaciones de números reales, variables o expresiones algebraicas. 
Se verifica: 
1) 
nmnm aaa +=. 
 
Ejemplos: 
53+232 x=x=x.x 
 x=x=x=x.x 2
2
2
1
+
2
1
2
1
2
1
 
2) 0=
− asia
a
a nm
n
m
 
 
Ejemplos: 
224
2
4
xx
x
x
== − 
 2555
5
5 246
4
6
=== − 
 
3) ( ) nmnm aa .= 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplos: 
( ) 63×22 a=a=a 
 343=7=7=)7(=)49(
32 262323
 
 
4) ( ) mmm baba .. = 
 
 
 
Ejemplos: 
 ( ) 2222 933 aaa == 
 
yx
yx
yxyx
2
2
2424
2
..)2(
)()(4)4(
2
2
2
4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
=
=
 
5) m
mm
b
a
b
a
=





 
 
Ejemplos: 
 
 n
n
n
b
a
b
a
3
2
3
2
=




 
( )
( ) 5
4
5
2
5
2
5
2
2
5 2
2
4
2
4
4
2
2
1
2
1
2
1
2
1
===





=





−
 
 
 
EJERCICIOS: 
 
 
1) Calcule el valor de las siguientes potencias: 
 
a) 6
1
64 
b) 7
5
128 
c) 
3
2
125
8
−






 
 
d) 4
3
81
−
 
e) 
( )
3
1
3
2
2
3
8
84 −
−
 
f) ( ) ( ) 2
1
2
1
412
−−
−− 
 
2) Simplifique: 
 
a) 
( ) ( )
baba
bbaba
−−
+−+
2.2
2.2.2
3
12
 
b) ( )  121 −−−x 
 
c) 
3
1
6
33
4
3.2
−






−
−
 
d) 
3
2
3.4
−
x
xx
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 3) Realice el cálculo 
 
 
a) 3
1
2
1
2
1
025,04.425,025 10 +−+ − 
b) n
n+62
6 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Simplifique las siguientes expresiones: 
 
a) 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 221
2
1
3
12
1
3
2
32
232
2
1
13323.13
3
1
−






−+−−+
−−
x
xxxx
 
 
 
b) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 3
4
3
1
2
1
2
1
3
2
1
1
3
2
11
2
1
.1
+






+−−





++
−−
x
xxxx
 
 
 
 
RADICALES 
 
 
Radicación.- Es una operación inversa de la potenciación, en la que dado dos números uno llamado 
radicando y otro llamado índice, se halla un tercero llamado raíz. 
 
Si an = M entonces a=Mn de manera que las siguientes operaciones será: 
Si 7=49entonces49=72 Si 6=216entonces216=6 33 
 
Raíces positivas y Negativas.- Se pueden dar los siguientes casos: 
 
a) ÍNDICE PAR Y RADICANDO POSITIVO 
 
Las raíces son enteras e iguales en valor absoluto y de signos opuestos. 
Ejemplo: 
 
4
3
4
3
256
81
5
6
5
6
25
36
5525
4
4
4
4
2
2
2
==
==
==
 
 
 
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b) ÍNDICE PAR Y RADICANDO NEGATIVO 
 
No tiene solución en el conjunto de los números reales. 
Ejemplo: 
solucionno
realesnumeroslosdeconjuntoelensoluciontieneno
=−
=−
25
1
4
 
Nota: Son cantidades imaginarias. 
 
c) ÍNDICE IMPAR Y RADICANDO POSITIVO 
 
La raíz es positiva. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
d) ÍNDICE IMPAR Y RADICANDO NEGATIVO 
 
La raíz es negativa. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades de los radicales.- Los radicales obedecen las mismas leyes de los exponentes. 
 
1) ( ) aa nn = 
 
 
Ejemplos: 
( )
( ) 2=2
5=5
33
2
 
 
2) nnn baba .. = 
 
 
 
 
 
 
4
5
4
5
64
125
228
3
3
3
3
3 33
==
==
3
2
3
2
342
32
3327
5
5
5
5
3 33
−=−=−
−=−=−
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3) Ejemplos: 
33333 42=4.8=4×8=32
23=2.9=2×9=18
 
 
 
4) 0= b
b
a
b
a
n
n
n 
 
 
 
 
Ejemplos: 
5
2
=
5
2
=
625
16
=
625
16
3
2
=
3
2
=
27
8
=
27
8
4 4
4 4
4
4
4
3 3
3 3
3
3
3
 
5) ( )mnn m aa = 
 
Ejemplos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 42232
16228
2
2
5 525
4
4
3 343
===
===
 
 
6) mnn m aa = 
Ejemplos: 
226464
33
6 663
1 05
===
=
 
 
Descomponer la raíz de un producto.- Un radical puede descomponerse sin cambiar su valor 
Ejemplos: 
4244 44444 44444 85
333 33 33
xxy2=x.y.y.x.2=y.y.x.x.2=yx16
22=2.2=2.2=16)a
 
 
 
( ) ( ) ( ) 33 3336 236 626 6
23 63
3a=a3=a3=a3=a3=a3=a9
4=2=2=2=64)b
3
1
6
2
3
6
 
 
 
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a) RACIONALIZANDO EL DENOMINADOR. 
 
Cuando la cantidad subradical es una fracción y el denominador es irracional hay que multiplicar ambos 
términos de la fracción por la cantidad necesaria para que el denominador tenga raíz exacta. 
 
Ejemplos: 
33
3
3
2
3
2
2
3
2
18
3
1
=
3
18
=
3×3
9×2
=
3
3
×
3
2
=
3
2
6
3
1
=
3
6
=
3
3
×
3
2
=
3
2
 
Radicales semejantes.- Dos o más radicales son semejantes cuando reducidos a su forma más simple, 
tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical. 
 
Ejemplos: 
 
semejantesradicalessonno22y,52
semejantesradicalesson5
2
1
y,55,52
 
 
SUMA Y RESTA DE RADICALES SEMEJANTES 
 
Se simplifican los radicales dados; se reducen los radicales semejantes y a continuación se escriben los 
radicales no semejantes con su propio signo. 
Ejemplos: 
 
335335253523353
:
52525420
33333927
53535945
202745
2
2
2
+=+−=−+
===
===
===
−−
entonces
rSimplifica
 
 
 
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MULTIPLICACION DE RADICALES 
 
Se presentan los siguientes casos: 
 
 
Multiplicación de radicales del mismo índice. 
 
Se multiplica los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo 
producto bajo el signo radical común. 
 
nnn x.mb.a=xb×ma 
Ejemplos: 
 
( )( ) 333 33333 1012=102×6=10.26=806=16.53.2=16352 
 
 
 
 Multiplicación de radicales.-Es como el producto de un polinomio por un monomio o polinomio por 
polinomio. 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicación de radicales con distintos índices. 
Se reducen los radicales al mínimo común índice y se multiplican como radicales del mismo índice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( ) x2x3x2x3x2xx3x2x3
xpor2x3
:rmultiplica
2 −=−=−=−
−
( ) ( )
10518
3010512
)5(6525)2(6
256524
52946
5223
5322
5223por5322
:rmultiplica
+−
−+
−+
−−
+
−
+
−+
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Ejemplos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 66
1
6
1
6
1
23
6
1
6
1
3
108=108=4×27=2.3=23
23:rmultiplica
 
 
 
 
DIVISION DE RADICALES 
Se presentan los siguientes casos: 
 
División de radicales del mismo índice. 
 
Se dividen los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si colocando este ultimo cociente 
bajo el signo radical común y se simplifica el resultado. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
División de radicales de distinto índice. 
Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen como radicales del mismo índice. 
Ejemplos: 
 
44
2
4
18
2
36
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
4
1
4
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
==





====

 
 
Racionalización.- Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo 
denominador sea irracional en una equivalente cuyo denominador sea racional. 
Se consideran los siguientes casos: 
 
Racionalizar una Fracción cuando el denominador es monomio. 
Se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador, que 
multiplicando por este dé como resultado una cantidad racional. 
Ejemplos: 
 
a
a
a
a
a
a
aa
a
arRacionaliz
2
25
2
25
2
2
.
2
5
2
5
2
5
:
22
===
 
 
 
33
3
3
2
2
3
3
3
18
3
1
3
18
3
3
3
2
3
2
3
2
====
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Derechos Reservados de los Autores 22 
 
 
3
32
3
32
3
32
3
3
.
3
2
9
2
9
2
:
3 23 2
3 33
3 2
3 2
3 2
3 23
3
a
a
aa
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
arRacionaliz
====
 
 
Racionalizar una Fracción cuando el denominador es un binomio. 
Se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el 
resultado. 
Ejemplos: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )232
23
232
23
232
23
23
.
23
2
23
2
23
2
:
22
−=
−
−
=
−
−
=
−
−
+
=
+
+
arRacionaliz
 
 
 
 
 
( )( )
( ) ( )
( )154154
2
152
2
8
2
1528
53
1528
53
5353
53
53
.
53
53
53
53
53
53
:
22
+−=−−=
−
+
−
=
−
+
=
−
+
=
−
++
=
+
+
−
+
=
−
+
−
+
arRacionaliz
 
 
Si eldenominador es un trinomio o una suma o diferencia de raíces cúbicas, la racionalización de estas 
expresiones, se realiza en base a la siguiente tabla: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
7
22129
43
2.2129
43
16129
4433
4433
.
43
1
43
1
43
1
:
3333 333
3 33 3
333
3 233 2
3 233 2
3333
33
+−
=
+
+−
=
+
+−
=
+−
+−
+
=
+
+
arRacionaliz
 
 
 
EJERCICIOS: 
DENOMINADOR FACTOR RACIONALIZANTE 
( ) cba −+ ( ) cba ++ 
33 yx + 3 233 2 yxyx +− 
33 yx − 3 233 2 yxyx ++ 
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Simplificar: 
 
a) 404 
b) 
5298
5
yx
xy
 
c) 3 128
2
1
 
d) 3
2
3
3
2
x
x
 
 
e) 4
4
9
2 
f) 5 1 0232
5
2
yx 
g) yx 279 + 
h) 3
29
8
x
 
 
2) Suma y resta de radicales: 
 
a) 50034053252280 −+− 
b) 72
6
1
48
5
3
18
3
1
12
2
1
++− 
c) 
4
3
2
1
3
1
+− 
d) 64 27293 − 
e) 3333 126
4
1
375
5
3
54
3
2
24
2
1
−+−
6
3
3
4 22
5
3
4
x
y
yxy
x
−+ 
 
3) Multiplicar los radicales: 
 
a) xyzxy 53 
b) 33 322 
c) ( )( )3 53 27532 aa 
d) ( )( )4 435 2 yxx 
e) ( )234− 
f) ( )23322 + 
g) ( )( )54335234 −+ 
h) 
2
2
5
3
2








− 
 
4) Dividir o racionalizar: 
 
a) 
24 832 aa  
b) 4 23 3 48 aba  
c) 23 2
10
1
4
5
4
aab 
d) 
4 9
3
a
 
e) 
23
4
−
 
f) 
5234
5432
−
+
 
g) 
xyyx
xyyx
+
−
 
h) 
322
322
++
−+
 
i) 
33 23
10
−
 
j) 
aa
aa
++
+
1
 
 
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TRIGONOMÉTRIA 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
Teorema de Pitágoras._ En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a los 
cuadrados de los catetos. 
 
El teorema de Pitágoras es de gran utilidad para el estudio matemático, ya que nos permite relacionar 
los lados de un triángulo rectángulo y nos prepara para las funciones trigonométricas. 
 
Recordar: Un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo recto (90º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si tenemos un triángulo rectángulo como el de la figura en donde el ángulo C es el ángulo recto, se 
pueden escribir las siguientes formulas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 6cm. 
 
 
c2 = a2 + b2 
c2 = 82 + 62 
c2 = 64 + 36 
c2 = 100 
 
2c = 100 
 c = 100 
 c = 10 
 
 La hipotenusa mide 10cm 
R 
P 
p 
Q 
q 
r 
P = 90º 
q y r son los catetos 
p es la hipotenusa 
B 
C 
c 
A 
a 
b 
C2 = a2 + b2 
a2 = c2 - b2 
b2 = c2 - a2 
B 
C 
c = ? 
A 
a = 8cm 
c = 6cm 
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d l = 4cm
l = 4 cm
 
 
TALLER 
 
1) ¿Cuál es la proposición del Teorema de Pitágoras? 
 
2) ¿Cuáles son las fórmulas del teorema de Pitágoras? Dibuja un triángulo Rectángulo. 
 
4) En el triángulo rectángulo propuesto a continuación, verifica el teorema de Pitágoras, construyendo 
cuadrados a partir de cada uno de sus lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcula la hipotenusa del triángulo 
rectángulo, cuyos lados miden 5 y 12 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
5) En el triangulo MPN, determina el cateto m, 
si el otro cateto n mide 14 cm y la hipotenusa p 
mide 24 cm. 
 
 M 
 p = 24cm
 n =14cm 
 
 
 P m =? N 
 
6) Utiliza la fórmula del teorema de Pitágoras y compruebe que el triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 
3 13 cm, es un triángulo rectángulo. 
 
Aplicación del Teorema de Pitágoras en un Cuadrado. 
La función que relaciona la diagonal d y el lado l de un cuadrado, está dada por la siguiente formula. 
 
 
 
“En función de la longitud del lado (l) de un cuadrado, determinamos 
la longitud de la diagonal 
(d)” 
 
a = 5 cm
BC
A
b = 12 cm
c = ?
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Derechos Reservados de los Autores 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TALLER 
 
1) ¿Cuál es la función que relaciona la diagonal y el lado de un cuadrado? 
2) Determina la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado mida 6 cm 
3) Calcula la diagonal del rectángulo, correspondiente a la aula en que estudia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) La diagonal de un cuadrado mide 50 cm, calcula la medida del lado. 
 
Aplicación del Teorema de Pitágoras en un Triángulo. 
 
La función que relaciona la altura y el lado de un triángulo equilátero, está dada por la formula: 
 h = l · 
2
3
 
“En función de la longitud l, determinemos la altura de un triángulo equilátero”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TALLER 
 
1) Calcula la altura del triángulo equilátero cuyo lado mide 8 cm. Aplica directamente la formula. 
 
 
2) Determina la altura del triángulo isósceles propuesto. 
 
d = ?
9 cm
18 cm
½ l½ l
h
C
BA
ll
h2 = l2 – (1/2)2l 
h2 = l2 – 
4
2l
 
4
3
h
2
2 l= 
h = 3 · l/2 
l2 = h2 + (1/2)2 
 
Despejando h 
 
 
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Derechos Reservados de los Autores 80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) La altura de un triángulo equilátero mide 50 cm, determine la longitud de su lado. 
 
Aplicación del Teoremas de Pitágoras en un Rombo 
 
La función que relaciona las diagonales y el lado de un rombo, está dada por la siguiente formula: 
 
l = 
22 Dd
2
1
 + 
 
“En función de las diagonales, determinemos el lado de un rombo” 
En el triángulo sombreado, observemos que los catetos son 
2
d
y 
2
D
, mientras que la hipotenusa es l. 
Entonces, según el teorema de Pitágoras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinemos el área del triángulo isósceles cuyos vértices son los puntos A (0, 3), 
B (0, 3) y C (6, 6) 
 
Primero, graficar el triángulo en el sistema cartesiano. 
Recordar el área de un triángulo es 
2
h . b
 por lo que calcular la base y la altura. 
12 cm 
h 
10 cm 
l = 
22
2
D
 
2
d






+





 
 
l2 = 
4
D
 
4
d 22
+ 
 
l2 = 
4
D d 2 2 +
 
 
l = 
4
D d 2 2 +
 
2
d
D
2
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Derechos Reservados de los Autores 81 
 
C = (6, 6)
A = (3, 0)
B = (0, 3)
P
 
La base del segmento BA . Por lo que, aplicamos la formula de la distancia entre dos puntos: 
 
d = ( ) ( )
2
12
2
12 y y x x −+− ; P2 (3, 0) y (0, 3) 
 
 ( ) ( )22 3 0 0 3 AB −+−= 
 
 
 ( ) ( )22 3 3 AB −+= 
 9 9 AB += 
 23 2 . 9 2 . 9 18 AB ==== 
 
Hallemos la longitud del lado AC, a través de la fórmula de la distancia: 
 
d = ( ) ( )
2
12
2
12 y y x x −+− ; P2 (6, 6) y P1 (3, 0) 
22 0) (6 3) (6 AC −+−= 
36 9 )6( )3( AC 22 +=+= 
53 5 . 9 9.5 45 AC ==== 
 
Entonces, en el triángulo APC podemos aplicar el teorema de Pitágoras y calcular la altura h. 
 
h2 = (3 5 )2 – (
2
23
)2 
h2 = 9(5) – )2(
4
9
 
h2 = 
2
8 1
 
h2 = u
2
81
Finalmente el área solicitada será: 
 
A = 
2
h . AB
 
2
h.b
= 
 
A = 
2
2
81
 . 23
 
2
2
81
 . 23
= 
 
C 
P 
3 5 
A 
h 
2
23
 
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Derechos Reservados de los Autores 82 
 
A = 
2
27
 
2
9 . 3
 
2
813
== 
 
A = 13.5 u2 
 
TALLER 
 
1) ¿Cuál es la función que relaciona las diagonales y el ladode un rombo? 
 
2) Determina la longitud del lado de un rombo, cuyas diagonales son 16 y 12 cm. Aplica directamente 
la formula. 
3) Determina la diagonal menor del rombo propuesto. Despeja da la formula l = 
22 D d
2
1
+ 
 
 SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 
 
Sistema Sexagesimal 
 
El grado es la unidad del sistema sexagesimal. 
 
En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes iguales (360°) cada una corresponde a un 
ángulo central de 1 grado sexagesimal (1°). 
 
1° = 60’ = 3600’’ 
1’ = 60’’ 
 
Sistema Circular, Radial o Cíclico 
 
La unidad de medida angular en este sistema es el radián. 
 
 
Radián (rad): Es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que cortan sobre la 
circunferencia un arco de longitud igual a la de su radio. 
 
 
 
Longitud OA = Longitud AB 
Circunferencia = 2π rad 
 
 
Relación entre Grados y Radianes 
 
2π radianes = 360° π radianes = 180° π = 3,1416 (aproximadamente) 
1° = 
180

radianes = 0,0174532 radianes 1 radián = 

180
= 57,29578 grados 
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Transformaciones 
 
De Grados a Radianes 
Para convertir grados sexagesimales a radianes se multiplica por 


180
. Ejemplos: 
Transformar 90° a radianes 
rad
2180
90

=


 
Transformar 120° a radianes 
 
rad
3
2
180
120

=


 
De Radianes a Grados 
Para convertir radianes a grados sexagesimales se multiplica por 

180
 
 
Transformar rad
2

 a grados. 
=




90
180
2
 
 
Transformar rad
3
2
 a grados. 
=




120
180
3
2
 
 
Ejercicios Propuestos 
 
a. Expresa en radianes: 
 
1) 160° = 2) 235° = 3) 180° 30’ = 4) 40° = 5) 15° = 6) 45° 45’ 30’’ = 
 
7) 240° = 8) 415° = 9) 840° = 
 
b. Expresa en grados: 
 
1) =

rad
4
 2) =rad4,2 3) =

rad
2
5
 
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4) =

rad
4
5
 5) =rad3 6) =

rad
9
6
 
 
7) =

rad
12
 8) =rad15,2 9) =

rad
10
3
 
 
10) =rad3,2 11) =

rad
7
2
 12) =

rad
10
 
 
 
Funciones Trigonométricas 
 
Las funciones trigonométricas establecen seis relaciones entre ángulos y cocientes de lados de un 
triángulo rectángulo. 
 
Un punto P(a, b), ubicado en el primer cuadrante de un plano cartesiano, define las siguientes 
relaciones llamadas funciones trigonométrica de un ángulo. 
 
 
b
h
opuesto cateto
hipotenusa
csc
a
h
adyacente cateto
hipotenusa
sec
b
a
opuesto cateto
adyacente cateto
tanc
a
b
adyacente cateto
opuesto cateto
tan
h
a
hipotenusa
adyacente cateto
cos
h
b
hipotenusa
opuesto cateto
sen
==
==
==
==
==
==
 
 
 
a 
b 
h 
x 
y 
P(a.b) 
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Derechos Reservados de los Autores 85 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 
 

=
tan
1
cot 

=
sen
1
sec 

=
cos
1
csc 


=
cos
sen
tan 


=
sen
cos
cot 
 
 1cossen 22 =+ =+ 22 sectan1 =+ 22 csccot1 
 
 
 Ejercicios 
a. Observa cada triángulo y completa los cuadros 
 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Hallar los valores de 60o , 30o ,45o 
 
Resolución de los triángulos rectángulos 
 
 
Función Valor 
sen 
cos 
tan 
ctg 
sec 
csc 
Fnción Valor 
sen 
cos 
tan 
ctg 
sec 
csc 
Función Valor 
sen 
cos 
tan 
ctg 
sec 
csc 
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Derechos Reservados de los Autores 86 
 
 
=
−−=
=
==
=
=
+=
30B
6090180B
60c
857,0
83,5
5
c sen
a
c
c sen
83,5a
35a 22
 
 
 
Ejercicios Propuestos 
 
a. En cada triángulo encuentra el valor de los catetos y ángulos que se indica: 
 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
 
3) 4) 
 
 
 
 
 
 
5) 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 8) 
 
 
 
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87 
 
 
 
 
 
c. Encuentra el área de la región sombreada 
 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
d. Resuelve los siguientes problemas: 
 
1. Encuentra la altura de la pared y la longitud de la escalera. 
 
 
 
3. Un avión deja caes un proyectil sobre un objetivo. Calcular la distancia a la que debe saltar 
el proyectil antes del objetivo sabiendo que el ángulo de tiro es de 39°, el avión vuela a 3.200 
m de altura. 
 
 
 
 
 
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88 
 
 
 
APLICACIONES DE LA LEY DEL SENO Y COSENO. 
 
Tiene su aplicación en los triángulos oblicuángulos en los siguientes casos. 
 
Ley de los senos. 
▪ Dados dos ángulos y un lado 
▪ Dos lados y un ángulo opuesto a uno de sus lados. 
 
senC
c
senB
b
senA
a
== 
 
 
 
 
Ley de los cosenos. 
 
▪ Dado dos lados y el ángulo que forman entre ellos. 
▪ Dado los tres lados. 
 
 a2 = b2 + c2 – 2bc cos A c2 = a2 + b2 – 2ab cos C b2 = a2 + c2 – 2ac cos B. 
 
 
EJERCICIOS. 
a = 125 A = 54º40’, B= 65º10’ Resp b = 139, c= 133, C = 60º10’ 
b = 321, A = 75º20’, C = 38º30’ Resp a = 339, c = 218, B = 66º10’ 
b= 215, c = 150, B = 42º40’ Resp a = 300 , A = 109º10’ 
b = 40,2 a = 31,5 B = 112º20’ Resp c = 15,7 A = 46º30’ 
a = 482,3 c= 395,7 B = 137º32’ Resp b = 819,2 A = 23º26’ 
b = 561,2 c = 387,2 A = 56º44’ Resp a = 475,9 B = 80º24’ C = 42º52’ 
 
 
Ilustración 1ECUACIONES TRIGONOMETRICAS. 
 
Las ecuaciones trigonométricas, es decir, las ecuaciones que involucran funciones 
trigonométricas de ángulos desconocidas se llaman: Ecuaciones Identidades, ecuaciones 
condicionales. 
Ejemplo. 
Resuelva sen x – 2 senx cos x = 0 
 Sen x ( 1 – 2 cos x ) = 0 
 Sen x = 0 cos x = ½ solución x = 0, 
3
5
,
3
,

 
 A 
 c 
 b 
 B 
 
 a C 
MATEMÁTICAS Nivelación General. Colegio Internacional Océano Pacifico MANTA 
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EJERCICIOS 
 
1.- sen x cos x = 0 Resp 0, /2, , 3/2 2.- (tan x – 1 )(2sen x + 1) = 0 
 
 
3.- 2 sen2 x – sen x – 1 = 0 Resp /2, 7/6, 11/6. 4.- 2 tan x sen x – tan x = 0 
 
 
5.- 2 cos x + csc x = 3 Resp 0, /3, 5/3. 6.- tan2 x – 3 tan x + 1 = 0 
 
 
7.- 2 sen2x = 1 + cos x 8.- tan2 t = 3 tan t. 9.- cos2t + 2 cos t – 3 = 0 . 
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Lógica Matemática 
La matemática.- es una disciplina que se desarrolla en base a una cadena de razonamiento, 
expresado mediante el lenguaje simbólico, el mismo que debe ser claro, exacto, sin lugar a 
interpretaciones erróneas. 
 
La lógica matemática.- es el estudio de métodos y principios válidos para distinguir cuando 
un razonamiento matemático es correcto o incorrecto. 
 
PROPOSICIÓN 
 
Es la expresión hablada o escrita de un juicio de valor definido, en donde se puede afirma con 
absoluta seguridad si es verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Esta característica de 
afirmar si es verdadera o falsa se denomina valor de verdad. 
Las proposiciones se las representa con letras minúsculas p, q, r, s, t…….. 
 
Ejemplo: 
 
p: Manta es el primer