Determinantes de Matrizes

Vista previa del material en texto

_ Determinantes: 
Un determinante es una matriz cuadrada que se resuelve por el método de 
Sarrus o a traves de la expansión de un determinante cuando este resulte ser de 
orden 4x4 o mayor. Empleando para ello el método de los menores y cofactores 
Un determinante es el módulo asociado de una matriz y se puede utilizar Sarrus 
en matrices de 1x1,2x2, y 3x3 pero al encontrar una matriz de 4x4 o mayor se 
debe utilizar el método de menores y cofactores. 
 
M= 2 -3 cambio signo –(-15) 
 5 9 respeto signo 18 y los sumo 
 
/M/= 33 
 
Para matrices de 3x3, se utiliza Sarrus o se expande el determinante: 
 
S= 3 0 -1 
 9 1 1 
 -2 4 5 
 3 0 -1 
 9 1 1 
Se repiten los 2 primeros renglones y se resuelve igual que una de 2x2 
Por Sarrus es exactamente lo mismo pero sin repetir los renglones. Se le da la 
“vuelta” 
 
S= 3 0 -1 
 9 1 1 
 -2 4 5 
/S/=-35 
Menores y Cofactores:
El menor correspondiente de una matriz de orden nxn es el elemento que resulta 
al suprimir tanto loe elementos del renglón como de la columna a que pertenece 
ese elemento. El cual se representa Mai,j 
 
A= 3 -1 7 
 2 0 9 
 5 8 6 
 
Renglón a2,1 
2 -1 7 0 3 7 9 3 -1 
 8 6 5 6 5 8 
 
Columna a2,1 
2 -1 7 3 0 9 5 -1 7 
 8 6 8 6 0 9 
 
cofactor: se llama cofactor de una matriz cuadrada cuyo símbolo es cofactor de 
ai,j 
C ai,j a la expresión (-1)i+j(M ai,j) 
Renglón a2,1 
2 -1 7 0 3 7 9 3 -1 
(-1)2+1 8 6 (-1)2+2 5 6 (-1)2+3 5 8 
 
Columna a2,1 
2 -1 7 3 0 9 5 -1 7 
(-1)2+1 8 6 (-1)1+1 8 6 (-1)3+1 0 9 
 
Por lo tanto: 
Renglón a2,1 
-2 -1 7 +0 3 7 +9 3 -1 
 8 6 5 6 5 8 
 
Columna a2,1 
-2 -1 7 +3 0 9 +5 -1 7 
 8 6 8 6 0 9 
 
 
-2(-6-56)+0-9(24+5)=124-261=-137 
-2(-6-56)+3(0-72)+5(-9-7)=124-216-45=-137 
 
Cuando tengo una de 5x5, saco 5 matrices de 4x4 
Una manera más fácil para saber los signos es alternar empezando de izquierda 
a derecha y por signo positivo y en zigzag hasta recorrer todos los renglones 
 
A= +3 --1 +7 
 -2 +0 -9 
 +5 -8 +6 
 
Si la matriz cuadrada es par, la diagonal secundaria es negativa, si es non, es 
positiva 
Ejemplo: 
 
B= 3 6 5 5 9 
 2 7 -1 6 8 
 1 8 2 7 7 
 4 -3 3 8 6 
 -1 1 4 9 5 
 
B= -2 6 5 5 9 
 8 2 7 7 
 3 3 8 6 
 1 4 9 5 
 
 7 3 6 5 9 
 1 8 2 7 
 4 -3 3 6 
 -1 1 4 5 
 
 +1 3 6 5 9 
 1 8 7 7 
 4 -3 8 6 
 -1 1 9 5 
 
 6 3 6 5 9 
 1 8 2 7 
 4 -3 3 6 
 -1 1 4 5 
 
 8 3 6 5 5 
 1 8 2 7 
 4 -3 3 8 
 -1 1 4 9 
 
 
 
B= -2 -1 5 5 9 
 2 7 7 
 3 8 6 
 
 
 4 6 5 9 
 8 7 7 
 -3 8 6 
 
 -9 6 5 9 
 8 2 7 
 -3 3 6 
 
 +5 6 5 5 
 8 2 7 
 -3 3 8 
 
 
7 1 6 5 9 
 8 2 7 
 -3 3 6 
 
 1 3 5 9 
 1 2 7 
 4 3 6 
 
 -4 3 6 9 
 1 8 7 
 4 -3 6 
 
 5 3 6 5 
 1 8 2 
 4 -3 3 
 
 
 
 1 1 6 5 9 
 8 7 7 
 -3 8 6 
 
 
1 3 5 9 
 1 7 7 
 4 8 6 
 
 -9 3 6 9 
 1 8 7 
 4 -3 6 
 
 5 3 6 5 
 1 8 7 
 4 -3 8 
 
 6 -1 6 5 9 
 8 2 7 
 -3 3 6 
 
 1 3 5 9 
 1 2 7 
 4 3 6 
 
 -4 3 6 9 
 1 8 7 
 4 -3 6 
 
 5 3 6 5 
 1 8 2 
 4 -3 3 
 
 8 -1 6 5 5 
 8 2 7 
 -3 3 8 
 
 1 3 5 5 
 1 2 7 
 4 3 8 
 
 -4 3 6 5 
 1 8 7 
 4 -3 8 
 
 9 3 6 5 
 1 8 2 
 4 -3 3 
 
 
 
 
 
/B/=4536