S16 s1 - Material - Limites

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LÍMITES
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
¿Cuál es la utilidad de Limites?
Al referirnos a limites en la vida cotidiana nos referimos a condiciones a las que no
debemos llegar aun cuando nos acercamos.
En la construcción sirve para saber 
los materiales que estén aptos para 
el uso de acuerdo al ambiente y 
resistencia.
A diario podemos tener limites para 
no ocasionar un desastre como el 
aterrizaje de un avión.
Un ingeniero puede calcular las 
dimensiones de un cuerpo cuando son 
imposibles de medir.
LIMITES 
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje los estudiantes reconocen el concepto de 
límite, realizan el cálculo de límites e identifican las formas indeterminadas y 
como abordarlas.
Datos/Observaciones
DEFINICIÓN PROPIEDADES
LÍMITES
¡Una Noción Intuitiva de Límite!
Sea la función 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 y su correspondiente tabla de 
valores 𝑓(𝑥) para valores de 𝑥 cercanos a 2, pero no iguales a 2 .
𝒙 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇 𝒙
1.0 2.000000 3.0 8.000000
1.5 2.750000 2.5 5.750000
1.8 3.440000 2.2 4.640000
1.9 3.710000 2.1 4.310000
1.95 3.852500 2.05 4.152500
1.99 3.970100 2.01 4.030100
1.995 3.985025 2.005 4.015025
1.999 3.997001 2.001 4.003001
Podemos observar que cuando 𝑥 se aproxima a 2, tanto 
por su derecha como por su izquierda, la función 𝑓 𝑥
se aproxima a 4 . 
A menudo, en el cálculo y sus aplicaciones nos 
interesamos por los valores que toma una función 
𝑓 cuando 𝑥 esta muy cerca de un número 𝑐, pero no es 
igual a 𝑐. También cabe considerar que el número 𝑐
puede no estar en el dominio de 𝑓 ; esto es 𝑓(𝑐) no está 
definido.
Límites, propiedades y cálculo de límites.
1 DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
Se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene límite 𝐿 en el punto 𝑥 = 𝑎, si 𝑓(𝑥) está tan cerca 
como queramos de 𝐿 haciendo que 𝑥 esté suficientemente cerca al 𝑎, con 𝑥 diferente 
de 𝑎. En términos matemáticos se expresa como sigue:
lim
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺ ∀ 𝜀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 / 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 ⇒ 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿
Límites, propiedades y cálculo de límites.
2 PROPIEDADES DEL LÍMITE
𝑆𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑳 ; 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑴 , 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
Límites, propiedades y cálculo de límites.
Datos/Observaciones
Evalué el siguiente límite aplicando propiedades
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−2
3𝑥2 − 𝑥 + 5
𝑥 + 1
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−2
3𝑥2 − 𝑥 + 5
𝑥 + 1
=
=
3 −2 2 − −2 + 5
−2 + 1
=
19
−1
= −19
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−2
3𝑥2 − 𝑥 + 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−2
𝑥 + 1
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−2
3𝑥2 − 𝑥 + 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−2
𝑥 + 1
=
𝑳
𝑴
𝑴 ≠ 𝟎
Datos/Observaciones
Determine el límite de 
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2
𝑥 − 2
4 − 𝑥2
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2
𝑥 − 2
4 − 𝑥2
=
2 − 2
4 − 22
=
0
0
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2
− 2 − 𝑥
2 − 𝑥 2 + 𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2
−1
2 + 𝑥
=
−1
2 + 2
= −
1
4
Datos/Observaciones
Determine el límite de 
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶0
𝑥 + 4 − 2
𝑥
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶0
𝑥 + 4 − 2
𝑥
=
0 + 4 − 2
0
=
0
0
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶0
𝑥 + 4 − 2
𝑥
∙
𝑥 + 4 + 2
𝑥 + 4 + 2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶0
𝑥 + 4
2
− 22
𝑥 𝑥 + 4 + 2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶0
𝑥
𝑥 𝑥 + 4 + 2
=
1
0 + 4 + 2
=
1
4= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶0
1
𝑥 + 4 + 2
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 − 𝒃 (𝒂 + 𝒃)
Datos/Observaciones
Determine el límite de 
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶3
2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3
4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶3
2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3
4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3
=
2 27 − 5 9 − 2 3 − 3
4 27 − 13 9 + 4 3 − 3
=
0
0
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶3
𝑥 − 3 2𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥 − 3 4𝑥2 − 𝑥 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶3
2𝑥2 + 𝑥 + 1
4𝑥2 − 𝑥 + 1
=
2 9 + 3 + 1
4 9 − 3 + 1
=
22
34
=
11
17
𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒛𝒂𝒓
3 LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO
Límites, propiedades y cálculo de límites.
3 LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO
Límites, propiedades y cálculo de límites.
Una forma de calcular los límites cuando 𝑥 → +∞ o 𝑥 → −∞ donde exista una indeterminación de la forma 
∞
∞
es 
dividir tanto el numerador como el denominador entre la variable 𝑥 elevada a la mayor potencia que aparece en el 
denominador, y luego aplicar las propiedades correspondientes.
Datos/Observaciones
Resuelva el siguiente limite
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶∞
𝑥2 + 13𝑥 − 12
𝑥2 − 3𝑥 − 5
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶∞
𝑥2 + 13𝑥 − 12
𝑥2 − 3𝑥 − 5
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶∞
𝑥2 + 13𝑥 − 12
𝑥2
𝑥2 − 3𝑥 − 5
𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶∞
𝑥2
𝑥2
+
13𝑥
𝑥2
−
12
𝑥2
𝑥2
𝑥2
−
3𝑥
𝑥2
−
5
𝑥2
lim
𝑥→∞
1 + 13 lim
𝑥→∞
1
𝑥 − 12 lim𝑥→∞
1
𝑥2
lim
𝑥→∞
1 − 3 lim
𝑥→∞
1
𝑥 − 5 lim𝑥→∞
1
𝑥2
=
1 + 13 0 − 12(0)
1 − 3 0 − 5(0)
= 1
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Determine el límite de: 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶1
𝑥−1
𝑥+3−2
2. Determine el límite de: 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶0
𝑥+1−1
𝑥
3. Determine el límite de: 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶−3
𝑥+3
𝑥2+7−4
4. Determine el límite de: 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶∞
1
𝑥+2
+
1
𝑥−2
5. Determine el límite de: 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶+∞
9𝑥4+10
2𝑥2−7
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Primero se debe evaluar el límite y si hubiera una indeterminación hay que 
salvar esa indeterminación utilizando distintas estrategias, tales como 
factorizar, multiplicar por la conjugada y simplificar.
2. Para afirmar que el límite existe deben coincidir los límites laterales.
Datos/Observaciones
Calcular límites
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
Excelente tu 
participación
La confianza en ti 
mismo es el primer 
paso al éxito.
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.