Clase_11_M3

Vista previa del material en texto

Matemáticas III
Clase 11
Profesor:Humberto Cipriano Zamorano
Agenda
Objetivos de la clase
Derivadas parciales
Gradiente de una función de varias variables a valores reales
Reglas de derivación
Objetivos de la clase
1. Conocer la idea y concepto de la derivada parcial (primer orden) de
una función de varias variables a valores reales.
2. Conocer qué es el gradiente de una función de varias variables a
valores reales.
3. Conocer las reglas de derivación de la suma y ponderación, producto
y cociente de funciones de varias variables a valores reales.
Motivación
• Una superficie (cerro) en el espacio (R3) se puede entender como el
gráfico de una función f : R2 → R.
• Un punto P en esa superficie tiene “coordenadas”
P : f (x̄1, x̄2, f (x̄1, x̄2))
t ∈ R3.
Figura: Punto P en superficie definida por f : R2 → R
• Parados en P, al movernos en la dirección del eje X1 recorremos un
sendero sobre la superficie tal como se muestra en la siguiente figura.
Figura: Sendero desde el punto P en la dirección del eje X1
• Parados en P, al movernos en la dirección del eje X2 recorremos un
sendero sobre la superficie tal como se muestra en la siguiente figura.
Figura: Sendero desde el punto P en la dirección del eje X2
• Parados en P, la pendiente del sendero rojo, es decir, según la
dirección del eje X1, es la derivada de la curva roja.
Figura: Pendiente del sendero rojo desde el punto P
Pendiente = ĺım
h→0
f (x̄1 + h, x̄2)− f (x̄1, x̄2)
h
.
• De manera análoga, parados en P, la pendiente del sendero azul,
según la dirección del eje X2, es la derivada de la curva azul.
Figura: Pendiente del sendero azul desde el punto P
Pendiente = ĺım
h→0
f (x̄1, x̄2 + h)− f (x̄1, x̄2)
h
.
Concepto de derivada parcial
• La pendiente del sendero en la dirección del eje X1 (rojo) se llama
derivada parcial de la función f (x1, x2) con respecto a la primera
variable, la que evaluada en (x̄1, x̄2) se representa como
∂f (x̄1, x̄2)
∂x1
.
• La pendiente del sendero en la dirección del eje X2 (azul) se llama
derivada parcial de la función f (x1, x2) con respecto a la segunda
variable, que evaluada en (x̄1, x̄2) se representa como
∂f (x̄1, x̄2)
∂x2
.
• Aśı:
∂f (x̄1, x̄2)
∂x1
= ĺım
h→0
f (x̄1 + h, x̄2)− f (x̄1, x̄2)
h
,
∂f (x̄1, x̄2)
∂x2
= ĺım
h→0
f (x̄1, x̄2 + h)− f (x̄1, x̄2)
h
.
Definición
En general, para una función f : Rk → R, la derivada parcial de f
respecto de la variable i ∈ {1, 2, . . . , k} evaluada en el vector
x̄ = (x̄1, x̄2, · · · , x̄k)t ∈ Rk se define como
∂f (x̄)
∂xi
=
ĺım
h→0
f (x̄1, x̄2, · · · , x̄i−1, x̄i + h, x̄i+1, · · · , x̄k)− f (x̄1, x̄2, · · · , x̄i−1, x̄i , x̄i+1, · · · , x̄k)
h
.
• En términos prácticos, ¿cómo se encuentra una derivada parcial
respecto de cierta variable? Por la definición, el cálculo de derivadas
parciales de funciones de varias variables es análogo al cálculo de
derivadas de funciones de una variable, solo que el ejercicio se repite
tantas veces como variables haya: se deriva respecto de la variable de
interés suponiendo que las demás variables son constantes.
Ejemplo 1
Si f (x , y) = x2 − xy + ln(y + x2), se tiene que:
• La derivada parcial ∂f (x,y)∂x se obtiene derivando la expresión de f (x , y)
suponiendo que la variable es “x” y que “y” es una constante:
∂f (x , y)
∂x
= 2x − y + 2x
y + x2
.
NOTA. Dada α una constante, ¿cuál es la derivada de la función
h(x) = x2 − αx + ln(α + x2)? Claramente es
h′(x) = 2x − α + 2x
α + x2
.
• La derivada parcial ∂f (x,y)∂y se obtiene derivando la expresión de f (x , y)
suponiendo que la variable es “y” y que “x” es una constante:
∂f (x , y)
∂y
= −x + 1
y + x2
.
• Para la función anterior, determinemos ∂f (4,3)∂x .
Para responder, sigue aplicando la regla de oro: primero se deriva y
luego se evalúa. Se tiene entonces que:
∂f (x , y)
∂x
= 2 ·x−y + 2 · x
y + x2
x=4, y=3
=⇒ ∂f (4, 3)
∂x
= 2 ·4−3+ 2 · 4
3 + (4)2
,
es decir,
∂f (4, 3)
∂x
= 5− 8
19
=
87
19
.
• Por otro lado:
∂f (4, 3)
∂y
= −4 + 1
3 + 16
= −75
19
.
• La lectura de lo anterior es la siguiente: parados en el punto (4, 3), la
pendiente del “sendero” sobre la superficie que define la función f (x , y)
según el eje X es 8719 , mientras que la pendiente del “sendero” según el
eje Y es − 7519 .
Ejemplo 2
Si f (K , L) = Kα · Lβ , con α, β > 0, se tiene que
∂f (K , L)
∂K
= α · Kα−1 · Lβ , ∂f (K , L)
∂L
= β · Kα · Lβ−1.
• Por lo tanto:
∂f (s, s)
∂K
= α·sα−1 ·sβ = αsα+β−1, ∂f (1,m)
∂L
= β ·1α ·mβ−1 = β ·mβ−1.
• Por otro lado:
f (2, 3)
∂K
= α2α−13β ,
f (2, 3)
∂L
= β2α3β−1.
• Finalmente, notamos que (cociente de derivadas parciales):
∂f (K ,L)
∂K
∂f (K ,L)
∂L
=
α · Kα−1 · Lβ
β · Kα · Lβ−1
=
αL
βK
.
Idea y concepto
Para la función f (x , y) = x2 − xy + ln(y + x2) teńıamos que
∂f (x , y)
∂x
= 2x − y + 2x
y + x2
,
∂f (x , y)
∂y
= −x + 1
y + x2
.
• Desplegando esas dos derivadas parciales como un vector de R2 se
obtiene: ∂f (x,y)∂x
∂f (x,y)
∂y
 =
2x − y + 2xy+x2
−x + 1y+x2
 ∈ R2.
• El vector anterior se llama gradiente de f , evaluado en (x , y), que se
denota como ∇f (x , y) ∈ R2 (se lee “nabla f”). Aśı,
f (x , y) = x2−xy+ln(y+x2) =⇒ ∇f (x , y) =
2x − y + 2xy+x2
−x + 1y+x2
 ∈ R2.
En general: dada f : Rk → R y dado x̄ = (x̄1, x̄2, . . . , x̄k)t ∈ Rk , se tiene
que
∇f (x̄) =

∂f (x̄)
∂x1
∂f (x̄)
∂x2
...
∂f (x̄)
∂xk
 ∈ R
k .
• Note que si la función es de dos variables entonces su gradiente es un
vector de R2, si la función es de tres variables entonces su gradiente es
un vector de R3, etc.
• Obtener el gradiente evaluado en algún punto en particular implica
obtener todas las derivadas parciales de manera genérica, y luego
evaluarlas en el punto en cuestión.
Ejemplo 3
Dada f (x , y) = xy se tiene que
∂f (x , y)
∂x
= yxy−1,
∂f (x , y)
∂y
= ln(x)xy .
NOTA. Para la función g(x) = xα se tiene que g ′(x) = αxα−1, y para
la función h(x) = βx se tiene que h′(x) = ln(β)βx .
• Volviendo a la función f (x , y) = xy , tenemos que
∂f (2, 3)
∂x
= 3 · 23−1 = 12, ∂f (2, 3)
∂y
= ln(2) · 23 = 8 · ln(2).
Por lo tanto:
∇f (2, 3) =
 12
8 · ln(2)
 ∈ R2.
Ejemplo 4
Dada g(x1, x2) = x
2
1 − 2x22 + x1x2 + x1 − x2, encontrar los valores de las
variables para que ∇g(x1, x2) = 02 (vector de ceros de R2).
• Para el caso, se tiene que:
∂g(x1, x2)
∂x1
= 2x1 + x2 + 1,
∂g(x1, x2)
∂x2
= −4x2 + x1 − 1,
por lo que ∇g(x1, x2) = 02 cuando se cumple que 2x1 + x2 + 1 = 0 y
−4x2 + x1 − 1 = 0. Es decir, el punto que buscamos resuelve el siguiente
sistema de ecuaciones:
2x1 + x2 = −1 (1)
x1 − 4x2 = 1 (2)
De (1) se tiene que x2 = −1− 2x1, y eso en (2) implica que
x1 − 4 · (−1− 2x1) = 1, por lo que x1 = − 13 , y aśı x2 = −
1
3 . De esta
manera:
∇f (−1/3,−1/3) =
(
0
0
)
∈ R2.
Comentario
En general, para el sistema de ecuaciones
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
definiendo
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, A1 =
[
b1 a12
b2 a22
]
, A2 =
[
a11 b1
a21 b2
]
,
la regla de Cramer sostiene que la solución del sistema lineal es:
x1 =
det(A1)
det(A)
, x2 =
det(A2)
det(A)
.
Reglas de derivación: suma y ponderación, producto,
cociente
• Ya que las derivadas parciales de una función de varias variables a
valores reales son, en definitiva, una serie de derivadas de funciones de
una variable, las reglas de derivación que teńıamos para funciones de R
en R siguen aplicando.
Dadas f : Rk → R, g : Rk → R, β ∈ R una constante y
x = (x1, x2, . . . , xk)
t ∈ Rk , para todo i ∈ {1, . . . , k} se tiene lo siguiente:
(a) Regla de la suma y ponderación:
∂(f (x) + β g(x))
∂xi
=
∂f (x)
∂xi
+ β
∂g(x)
∂xi
.
(b) Regla del producto:
∂(f (x) · g(x))
∂xi
=
∂f (x)
∂xi
· g(x) + f (x) · ∂g(x)
∂xi
.
(c) Regla del cociente:
∂
(
f (x)
g(x)
)
∂xi
=
∂f (x)
∂xi
· g(x)− f (x) · ∂g(x)∂xi
[g(x)]2
.
Ejemplo 5
Para
f (x , y) =
x2y − ey
1 + exy
se tiene que
∂f (x , y)
∂x
=
(1 + exy ) · (2xy)− (x2y − ey ) · yexy
(1 + exy )2
,
mientras que
∂f (x , y)
∂y
=
(1 + exy ) · (x2 − ey)− (x2y − ey ) · xexy
(1 + exy )2
.
Note entonces lo siguiente:
∂f (1, 1)
∂x
=
(1 + e) · 2− (1− e) · e
(1 + e)2
=
2 + e + e2
(1 + e)2
,
y, por otro lado,
∂f (0, 1)
∂y
=
(1 + e0) · (02 − e1)− (021− e1) · 0e0
(1 + e0)2
= −e
2
	Objetivos de la clase
	Derivadas parciales
	Gradiente de una función de varias variables a valores reales
	Reglas de derivación