Clase_7

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Matemáticas II
Clase 7: Espacio vectorial y SEV
Jorge Rivera
6 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 67 a 79
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Agenda
Objetivos de la clase
Rn y operaciones básicas
Espacio vectorial y subespacio vectorial
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer Rn, suma y ponderación de sus elementos
• Saber que Rn es un espacio vectorial
• Conocer qué es un subespacio vectorial de Rn y su caracterización
• Geometŕıa de subespacios vectoriales: rectas y planos por el origen.
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Rn y operaciones básicas
Rn
• Dado n ∈ N:
Rn = R× R× · · · × R︸ ︷︷ ︸
n veces
• Se tiene entonces que:
• R1 = R: recta real.
• R2: plano cartesiano.
• R3: “espacio usual”.
• R4: “no se puede ver” desde un punto de vista geométrico.
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Notación importante
• Los elementos de Rn se escribirán como columnas
• La n-tupla ordenada cuya primera componente es x1 ∈ R, cuya
segunda componente es x2 ∈ R, . . ., cuya n-ésima componente es
xn ∈ R, se representará como:
x1
x2
...
xn
 ∈ Rn.
• El vector de ceros (origen) de Rn se denota como:
0n =

0
0
...
0
 ∈ Rn.
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Traspuesto
• Traspuesto de un elementos de Rn
Para X ∈ Rn (visto como columna), su traspuesto es la fila que
denotamos como X t. Es decir:
X =

x1
x2
...
xn
 ∈ Rn ⇐⇒ X t = (x1, x2, . . . , xn).
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Suma y ponderación de elementos de Rn
• Dado β ∈ R (escalar) y dados
X =

x1
x2
...
xn
 ∈ Rn ∧ x̄ =

x̄1
x̄2
...
x̄n
 ∈ Rn,
definimos la suma de elementos de Rn como
X + X̄ =

x1
x2
...
xn
+

x̄1
x̄2
...
x̄n
 =

x1 + x̄1
x2 + x̄2
...
xn + x̄n
 ∈ Rn.
• NOTA: solo se suman elementos del “mismo tamaño”.
7
• Definimos la ponderación (multiplicación) de escalar por elemento de
Rn como
β X = β

x1
x2
...
xn
 =

β x1
β x2
...
β xn
 ∈ Rn.
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Geometŕıa
• Suma de elementos de R2: para (x1, x2)t ∈ R2 y (x̄1, x̄2)t ∈ R2,
entonces la suma de ambos es(
x1
x2
)
+
(
x̄1
x̄2
)
=
(
x1 + x̄1
x2 + x̄2
)
∈ R2.
Figura 1: Geometŕıa de la suma elementos de R2
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• Ponderación por escalar de un elemento de R2: para X = (x1, x2)t ∈ R2
y β ∈ R (escalar, número real) entonces “β veces X” es
βv = β (x1, x2) = (βx1, βx2).
Figura 2: Ponderación de v ∈ R2 por escalar β
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Figura 3: Combinando operaciones en R2
11
Ejemplo
Dados
X1 =
(
1
1
)
y X2 =
(
2
1
)
,
¿para qué valores de α y β se cumple que(
8
5
)
= αX1 + β X2?
Por lo indicado, se debe cumplir que(
8
5
)
= αX1+β X2 ⇐⇒
(
8
5
)
= α
(
1
1
)
+β
(
2
1
)
=
(
α + 2β
α + β
)
⇒
α + 2β = 8 ∧ α + β = 5 ⇒ α = 2 ∧ β = 3.
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Propiedades de suma y ponderación
Proposición
La suma de elementos de Rn y la ponderación por escalar de sus elementos
cumplen las siguientes propiedades: dados X ,Y ,Z ∈ Rn y dados α, β ∈ R, se
tiene que:
(i) X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z (suma de vectores es asociativa);
(ii) X + Y = Y + X (suma de vectores es conmutativa);
(iii) el vector 0n ∈ Rn es tal que X + 0n = X (existencia de elemento neutro
aditivo en Rn);
(iv) existe un vector −X ∈ Rn tal que X + (−X ) = 0n (existencia inverso
aditivo en Rn);
(v) α (X + Y ) = αX + αY ∈ Rn (propiedad distributiva de la ponderación);
(vi) 1X = X (existencia de elemento neutro para la ponderación);
(vii) (αβ)X = (α)(β X );
(viii) (α + β)X = αX + β X .
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Espacio vectorial y subespacio
vectorial
Espacio vectorial y subespacio vectorial
• Ya que se cumplen las 8 propiedades indicadas previamente, uno dice
que Rn con la suma de sus elementos y con la ponderación por escalar es
un espacio vectorial.
• Un subespacio vectorial de Rn es un conjunto V ⊆ Rn que con la
suma y la ponderación de sus elementos cumple las 8 propiedades
indicadas.
Proposición
V ⊆ Rn, con la suma y ponderación por escalar de sus elementos, es un
subespacio vectorial de Rn śı y solo śı cumple que
(a) 0n ∈ V .
(b) para todo X1,X2 ∈ V se cumple que X1 + X2 ∈ V .
(c) para todo α ∈ R y para todo X ∈ V se cumple que αX ∈ V .
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• Visto de otra manera: V es un subespacio vectorial de Rn cuando el 0n
está en V y cuando ese conjunto es cerrado para la suma y ponderación
de sus elementos.
Ejemplo
Rn+ = R+ × R+ × · · ·R+︸ ︷︷ ︸
n veces
no es un sev de Rn.
• 0n ∈ Rn+
• dados X1,X2 ∈ Rn+ se tiene que X1 + X2 ∈ Rn+
• Pero: dado X ∈ Rn+, con X 6= 0n, y dado α ∈ R, si α < 0 entonces
αX no está en Rn+: no es cerrado para la ponderación.
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Ejemplos
Ejemplo
Se tiene que
V1 = {0n} ∧ V2 = Rn
son subespacios vectoriales de Rn.
Que V2 lo sea es directo. Para V1:
• 0n ∈ V1.
• Dados X1,X2 ∈ V1 se tiene que X1 + X2 ∈ V1 ya que ambos son 0n.
• Dado X ∈ V1 y dado α ∈ R se tiene que αX ∈ V1 ya que X es 0n.
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Ejemplo
Además de {02} y de R2, ¿qué otros conjuntos son subespacios
vectoriales de R2?
Respuesta: los conjuntos de puntos que conforman una recta que pasa
por el origen. Es decir:
V = {(x1, x2)t ∈ R2 : x2 = γ x1}.
Note que V anterior se puede escribir como:
V = {(x1, x2)t ∈ R2 : α1 x1 + α2 x2 = 0},
donde α1 = −γ y α2 = 1.
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• Note ahora lo siguiente: dado el conjunto V anterior (recta por origen),
sea X̄ = (x̄1, x̄2)
t ∈ V un punto cualquiera del mismo.
• Notamos entonces que
V = {αX̄ : α ∈ R}.
• Es decir, la recta por el origen es el conjunto de todos los ponderados
de un vector X̄ cualquiera de él.
Figura 4: Recta por el origen
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• ¿Por qué V es un sev de R2?
V = {(x1, x2)t ∈ R2 : α1 x1 + α2 x2 = 0}.
(a) 02 ∈ V ya que α10 + α20 = 0
(b) Si X1 = (x1, x2)
t ∈ V y X2 = (x∗1 , x∗2 )t ∈ V entonces
α1x1+α2x2 = 0 ∧ α1x∗1 +α2x∗2 = 0 ⇒ α1 (x1+x∗1 )+α2 (x2+x∗2 ) = 0
⇒ X1 + X2 ∈ V
(c) Dado β ∈ R y X1 = (x1, x2)t ∈ V :
α1x1+α2x2 = 0
β⇒ β·(α1x1+α2x2) = 0 α1(βx1)+α2(βx2) = 0
⇒ βX1 ∈ V
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Ejemplos: sev de R3
(1): rectas por el origen
Sea
X̄ =
x̄1x̄2
x̄3
 ∈ R3.
• V son todos los ponderados de X̄ : V = {α X̄ : α ∈ R} ⊂ R3.
Figura 5: Recta por el origen en R3
• V es un sev de R3.
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(2): plano por el origen
Dados
X1 =
x̄1x̄2
x̄3
 ∈ R3, X2 =
x∗1x̄∗2
x̄∗3
 ∈ R3,
el conjunto V son la suma de todos los ponderados de X1 y X2:
V = {α1X1 + α2X2 : α1, α2 ∈ R} ⊂ R3.
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• Cualquier vector X del plano es de la forma α1X1 + α2X2 para ciertas
cantidades α1 y α2.
Figura 6: Plano por el origen en R3
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• ¿Por qué un plano por el origen es un sev de R3?
(a) 03 ∈ V ya que 03 = 0X1 + 0X2.
(b) Si v1, v2 ∈ V entonces existen α1, α2 y ᾱ1, ᾱ2 tal que
v1 = α1X1 + α2X2 y v2 = ᾱ1 X1 + ᾱ2 X2. Luego:
v1+v2 = (α1X1+α2X2)+(ᾱ1 X1+ᾱ2 X2) = (α1+ᾱ1)X1+(α2+ᾱ2)X2 ∈ V .
(c) Para un escalar γ cualquiera, notamos que
γv1 = γ(α1 X1 + α2 X2) = (γα1)X1 + (γα2)X2 ∈ V .
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Forma alternativa del plano por el origen
• Dadas constantes a1, a2, a3 ∈ R, el conjunto
V = {(x1, x2, x3)t ∈ R3 : a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0}
define un plano por el origen en R3.
• Extensión natural de la recta por el origen en R2:
a1x1 + a2x2 = 0.
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Resumen
• Subespacios vectoriales de R2:
(a) {02}
(b) R2
(c) Rectas por el origen.
• Subespacios vectoriales de R3:
(a) {03}
(b) R3
(c) Rectas por el origen (en el espacio).
(d) Planos por el origen (en el espacio).
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Ejemplo importante
Dadas las constantes a1, a2, · · · , an ∈ R, definamos
V = {(x1, x2, . . . , xn)tRn : a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = c}.
Veamos que V es un subespacio vectorial de Rn si y solo si c = 0.
⇒: V es sev entonces c = 0.
En efecto: si V es sev, entonces 0n ∈ V Luego, se debe cumplir que
a1 0 + a2 0 + · · ·+ an 0 = c ⇒ c = 0.
⇐: Si c = 0 entonces V es sev. Bajo la condición:
V = {(x1, x2, . . . , xn)tRn : a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = 0}.
(a) 0n ∈ V ya que a1 0 + a2 0 + · · ·+ an 0 = 0.
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(b) Supongamos que X1 = (x1, x2, · · · , xn)t ∈ V y que
X2 = (x
∗
1 , x
∗
2 , · · · , x∗n )t ∈ V . Entonces:
n∑
i=1
ai xi = 0 ∧
n∑
i=1
ai x
∗
i = 0 ⇒
n∑
i=1
ai xi +
n∑
i=1
ai x
∗
i = 0 ⇒
n∑
i=1
ai (xi + x
∗
i ) = 0 ⇒ X1 + X2 ∈ V .
(c) Ya que X1 ∈ V se tiene que
n∑
i=1
ai xi = 0. Luego, dado β ∈ R:
β
n∑
i=1
ai xi = 0⇒
n∑
i=1
(βaixi ) = 0 ⇒ βX1 ∈ V .
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	Objetivos de la clase
	Rn y operaciones básicas 
	Espacio vectorial y subespacio vectorial