Clase_16_2022__1_

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Matemáticas II
Clase 16: Sistemas de ecuaciones lineales
(SEL)
Jorge Rivera
1 de septiembre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 169 - 177
1
Agenda
Objetivos de la clase
Sistemas de ecuaciones lineales
Solución homogénea y particular de un SEL: teoŕıa
Solución del sistema de ecuaciones lineales
2
Objetivos de la clase
(a) Explicar qué es un sistema de ecuaciones lineales (SEL).
(b) Forma matricial de un SEL.
(c) Soluciones homogénea y particular de un SEL, y solución (general)
de un sistema de ecuaciones lineales.
3
Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto
• Ilustramos el concepto - idea a través de ejemplos.
Ejemplo
Considere el siguiente problema: encontrar x1 y x2 tal que
2x1 − 3x2 = 3 (1)
5x1 − 4x2 = 8 (2)
Este es un sistema de dos ecuaciones (la ecuación (1) y la ecuación (2))
y dos incógnitas (x1 y x2).
Ejemplo
x1 − 3x2 + 4x4 = 2 (3)
x1 − x2 − x3 = 7 (4)
Es un sistema de dos ecuaciones (las ecuaciones (3) y (4)) y cuatro
incógnitas: x1, x2, x3 y x4.
4
Problema general
Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) de n incógnitas y m ecuaciones
es de la forma
a11x1 + a12x2 + ...+ a1jxj + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2jxj + ...+ a2nxn = b2
...
ai1x1 + ai2x2 + ...+ aijxj + ...+ ainxn = bi
...
am1x1 + am2x2 + ...+ amjxj + ...+ amnxn = bm
donde los coeficientes aij y bi son conocidos. Las incógnitas del
problema son x1, x2, . . . , xn.
5
Forma matricial de un SEL
Sobre la base de lo anterior, definiendo los siguientes elementos:
A =

a11 ... a1j ... a1n
a21 ... a2j ... a2n
...
...
...
...
...
ai1 ... aij ... ain
...
...
...
...
...
am1 ... amj ... amn

∈ Rm×n, X =

x1
x2
...
xn
 , b =

b1
b2
...
bm

el sistema de ecuaciones general se puede escribir de la siguiente manera,
llamada forma matricial del sistema de ecuaciones lineales:
AX = b. (5)
6
Ejemplo
La forma matricial del SEL
2x1 − 3x2 = 3
5x1 − 4x2 = 8
es dada por [
2 −3
5 −4
]
︸ ︷︷ ︸
A
[
x1
x2
]
︸︷︷ ︸
X
=
[
3
8
]
︸︷︷︸
b
,
mientras que la del SEL
x1 − 3x2 + 4x4 = 2
x1 − x2 − x3 = 7
es dada por [
1 −3 0 4
1 −1 −1 0
]
︸ ︷︷ ︸
A

x1
x2
x3
x4

︸ ︷︷ ︸
X
=
[
2
7
]
︸︷︷︸
b
.
7
Nota: “forma de la matriz del sistema”
Para un SEL definido por la matriz A ∈ Rm×n y el lado derecho b ∈ Rm:
AX = b,
el número de ecuaciones es igual a la cantidad de filas de la matriz
(cantidad m), y el número de incógnitas es igual al número de
columnas de la matriz (n).
• Si el sistema de ecuaciones tienemás ecuaciones que incógni-
tas (m > n), la matriz A del sistema es rectangular, pero “acha-
tada”
• Si el sistema de ecuaciones tienemás incógnitas que ecuacio-
nes (n > m), la matriz A del sistema del sistema es rectangular,
pero “alargada”.
• Si el sistema de ecuaciones tiene igual número de incógnitas
que ecuaciones (m = n), la matriz A del sistema es cuadrada.
8
• Más ecuaciones que incógnitas: tres ecuaciones y dos incógnitas
2x1 − x2 = 6
x1 − x2 = 8
x1 + 6x2 = 5
A =
 2 −11 −1
1 6
 ∈ R3×2, b =
 68
5
 ∈ R3 ∧ X = [ x1
x2
]
∈ R2.
9
• Más incógnitas que ecuaciones: cuatro incógnitas y tres ecuaciones:
4x1 − x2 − x3 = 1
x1 + 2x2 + x4 = 2
2x1 − x4 = 5
A =
 4 −1 −1 01 2 0 1
2 0 0 −1
 ∈ R3×4, b =
 12
5
 ∈ R3 ∧ X =

x1
x2
x3
x4
 ∈ R4.
10
• Igual número de incógnitas que de ecuaciones: cuatro incógnitas y
cuatro ecuaciones:
4x1 + x2 + x4 = 7
x1 − x4 = 3
7x1 + x2 + 2x3 − x4 = 8
x3 + 6x4 = 9
A =

4 1 0 1
1 0 0 −1
7 1 2 −1
0 0 1 6
 ∈ R4×4, b =

7
3
8
9
 ∈ R3 ∧ X =

x1
x2
x3
x4
 ∈ R4.
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Solución homogénea y particular
de un SEL: teoŕıa
Solución homogénea
• Para A ∈ Rm×n y b ∈ Rm, dado el sistema de ecuaciones lineales
AX = b, definimos el sistema homogéneo asociado (correspondiente)
como
AX = 0m.
• Las soluciones homogéneas del sistema de ecuaciones AX = b
corresponden a los vectores Xh ∈ Rn tal que
AXh = 0m,
• En otras palabras: el conjunto de las soluciones homogéneas del SEL
AX = b es el núcleo de la matriz A.
NOTA. Se observa que el sistema homogéneo AX = 0m siempre tiene
solución: al menos Xh = 0m lo resuelve (pudiendo, eventualmente, haber
más soluciones...).
12
Comentario
• Si todas las columnas de la matriz A ∈ Rm×n del sistema AX = b
son l.i, entonces la ecuación homogénea AX = 0m tiene una única
solución, dada por Xh = 0n. ¿Por qué? Simplemente porque si las
columnas de A son l.i entonces el núcleo de A es {0n}.
• En particular, si la matriz A ∈ Rn×n del sistema es invertible,
entonces la ecuación homogénea tiene una única solución: Xh = 0n.
• Si las columnas de la matriz A ∈ Rm×n del sistema AX = b son l.d
(en particular, si A no es invertible), entonces la ecuación
homogénea AX = 0m tiene soluciones que son diferentes del vector
0m. En este caso, las soluciones de la ecuación homogénea son
dadas por el núcleo de la matriz A del sistema (que es un
subespacio vectorial, con “infinitos” elementos).
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Comentario (continuación)
Teniendo presente que un subespacio vectorial diferente de {0n} tiene
infinitos elementos, como resumen de lo anterior tenemos que:
• el sistema AX = 0m tiene solución única cuando las columnas de A
son l.i (en particular cuando A es invertible).
• el sistema AX = 0m tiene infinitas soluciones cuando las columnas de
A son l.d (en particular cuando A no es invertible).
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Solución particular
• Considere el SEL AX = b, con A ∈ Rm×n y b ∈ Rm.
• Una solución particular de ese sistema (si es que existe) es un vector
Xp ∈ Rn tal que
AXp = b.
• A diferencia de lo que ocurre con la solución homogénea (que siempre
existe), puede ocurrir que la solución particular no exista.
• ¿Bajo qué condiciones existe la solución particular?
Respuesta: el SEL AX = b admite solución particular śı y solo
śı b ∈ Im(A).
En efecto: el hecho de que exista solución particular es porque existe
Xp ∈ Rn tal que AXp = b, es decir, porque el vector b se escribe como
combinación lineal de las columnas de A, lo que equivale a decir que b
está en la imagen de A.
• Por lo tanto, no hay solución particular cuando b /∈ Im(A). 15
Consecuencias de lo anterior:
(a) Si la matriz A del sistema es invertible (cuadrada) entonces el
sistema AX = b siempre tiene solución particular. En efecto: si
A ∈ Rn×n es invertible entonces sus columnas son una base de Rn, y
luego generan dicho espacio. Luego, cualquier vector b ∈ Rn se
puede escribir como combinación lineal de las columnas de A.
(b) Más general: si las columnas de A ∈ Rm×n generan Rm, entonces el
sistema AX = b tiene solución particular.
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Ejemplo
Si la matriz del sistema es A =
[
2 7
3 10
]
∈ R2×2, el sistema de
ecuaciones (general) es [
2 7
3 10
]
︸ ︷︷ ︸
A
[
x1
x2
]
︸︷︷︸
X
=
[
b1
b2
]
︸ ︷︷ ︸
b
.
Se tiene entonces que:
(i) A es invertible.
(ii) Por (i), la única solución de la ecuación homogénea es Xh = 02.
(ii) Por (i), para cualquier b ∈ R2, existe solución particular del SEL
AX = b, eso ya que las columnas de A son una base de R2.
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Ejemplo
Si la matriz del sistema es A =
[
2 7 6
3 10 12
]
∈ R2×3 el sistema de
ecuaciones (general) es
[
2 7 6
3 10 12
]
︸ ︷︷ ︸
A
x1x2
x3

︸ ︷︷ ︸
X
=
[
b1
b2
]
︸ ︷︷ ︸
b
.
(i) La matriz A no es invertible (no es cuadrada).
(ii) Por (i), la ecuación homogénea es AX = 02 tiene infinitas soluciones
(Ker(A) ̸= {03}).
(iii) Para cualquier b ∈ R2, existe solución particular del SEL AX = b,
eso ya que las columnas de A generan R2, aunque no son una base
de ese espacio.
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Ejemplo
Si la matriz del sistema es A =
2 73 10
1 1
 ∈ R3×2 el sistema de
ecuaciones (general) es 2 73 10
1 1

︸ ︷︷ ︸
A
[
x1
x2
]
︸︷︷︸
X
=
b1b2
b3

︸ ︷︷ ︸
b
.
(i) La matriz A no es invertible.
(ii) Por (i), la ecuación homogénea es AX = 03 tiene única solución
(dada por Xh = 02), eso ya que las columnas de A son l.i.
(ii)Para cualquier b ∈ R2, existe solución particular del SEL AX = b,
siempre y cuando el vector b esté en el espacio generado por las
columnas de A. Caso contrario, no hay solución particular.
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Solución del sistema de
ecuaciones lineales
• Dado el sistema de ecuaciones AX = b, con A ∈ Rm×n y b ∈ Rm,
supongamos que
(1) Xh ∈ Rn es una solución de la ecuación homogénea,
(2) Xp ∈ Rn es una solución particular..
Definamos entonces el siguiente vector: para β ∈ R,
Xs = Xp + β Xh ∈ Rn.
• Notamos entonces que:
AXs = A(Xp + β Xh) = AXp + βAXh = b + β0m = b.
Conclusión muy importante: si es que existe, la solución Xs del sistema
de ecuaciones AX = b tiene dos partes: una componente dada por la
solución de la ecuación homogénea (βXh) y otra dada por la solución
particular (Xp).
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Consecuencias y conclusiones
• La solución de un sistema de ecuaciones siempre tiene dos
componente: una homogénea y una particular.
• La homogénea siempre existe, pudiendo ser única (solo Xh = 0n) o
pudiendo haber infinitas de ellas (todos los elementos de
Ker(A) ̸= {0n}).
• La particular puede o no existir: todo depende de si b está o no en la
imagen de A.
• Combinando todo lo anterior: para un sistema de ecuaciones AX = b
puede ocurrir solo uno de los siguientes tres casos:
(i) El sistema tiene solución única.
(ii) El sistema no tiene solución.
(iii) El sistema tiene infinitas soluciones.
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• ¿Cuándo ocurre (i)?
• La matriz A del sistema es invertible.
• Todas las columnas de la matriz A son l.i y b ∈ Im(A).
• ¿Cuándo ocurre (ii)?
• La matriz no es invertible y b /∈ Im(A).
• ¿Cuándo ocurre (iii)?
• La matriz A no es invertible y b ∈ Im(A).
Nota. La cuestión numérica se verá en la próxima clase.
22
	Objetivos de la clase
	Sistemas de ecuaciones lineales
	Solución homogénea y particular de un SEL: teoría
	Solución del sistema de ecuaciones lineales