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Matemáticas II
Clase 18: Sistemas de ecuaciones lineales
(SEL): aplicaciones
Jorge Rivera
16 de octubre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 193 - 198
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Agenda
Objetivos de la clase
Aplicaciones
2
Objetivos de la clase
• Aplicar la resolución de un SEL para encontrar núcleo e imagen de
una matriz.
• Aplicar la resolución de un SEL para encontrar la inversa de una
matriz.
• Basado en rango de matriz ampliada, conocer criterio para saber si
un SEL tiene o no solución.
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Aplicaciones
Encontrar núcleo de una matriz
Ejemplo
Encontrar el núcleo de la matriz:
A =
 2 3 11 0 2
3 1 5
 .
• El núcleo de una matriz son los vectores X tal que AX = 0n.
• Ya que el lado derecho es cero, al operar las filas de la matriz
ampliada siempre quedara cero en la última columna. Por lo tanto, no es
necesario usar la matriz ampliada.
• Se tiene entonces que: 2 3 11 0 2
3 1 5
 f1∗(−1/2)+f2=⇒
 2 3 10 −3/2 3/2
3 1 5

4
 2 3 10 −3/2 3/2
3 1 5
 f1∗(−3/2)+f3=⇒
 2 3 10 −3/2 3/2
0 −7/2 7/2

 2 3 10 −3/2 3/2
0 −7/2 7/2
 f2∗(−7/3)+f3=⇒
 2 3 10 −3/2 3/2
0 0 0

• De esta manera, sobre la base de lo anterior, el sistema de ecuaciones
de matriz triangularizada es
2x1 + 3x2 + x3 = 0
−3
2
x2 +
3
2
x3 = 0
0x3 = 0
• De la tercera ecuación tenemos que x3 es arbitrario. Esto en la segunda
ecuación implica que x2 = x3, y ambos en la primera ecuación implica que
2x1 + 3x2 + x3 = 0 ⇒ x1 = −2x3.
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• Sobre la base de lo anterior,
X =
x1x2
x3
 ∈ ker(A) ⇐⇒ X = x3
 −21
1
 .
• Lo anterior corresponde a decir que el núcleo de A es generado por el
vector
 −21
1
 .
6
Encontrar el rango de una matriz (y sus columnas l.i)
Para
A =

2 5 1
3 3 −3
1 3 1
4 6 −2

se tiene que:
2 5 1
3 3 −3
1 3 1
4 6 −2
 f1∗(−3/2)+f2→

2 5 1
0 −9/2 −9/2
1 3 1
4 6 −2
 f1∗(−1/2)+f3→

2 5 1
0 −9/2 −9/2
0 1/2 1/2
4 6 −2

f1∗(−2)+f3→

2 5 1
0 −9/2 −9/2
0 1/2 1/2
0 −4 −4
 f2∗(1/9)+f3→

2 5 1
0 −9/2 −9/2
0 0 0
0 −4 −4
 f2∗(−8/9)+f4→

2 5 1
0 −9/2 −9/2
0 0 0
0 0 0

• Ya que el rango por filas es 2 (número de filas l.i), ocurre que el rango por
columnas (es decir, el rango de la matriz) es 2: rg(A) = 2.
• Las columnas l.i de A son dos cualquiera de ella.
NOTA. La cantidad máxima de columnas l.i es igual a la cantidad máxima de
filas l.i. Esa cantidad es el rango de la matriz.
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Encontrar la Inversa de una Matriz
Determinar la inversa de una matriz A ∈ Rm×m corresponde a resolver m
sistemas de ecuaciones con m incógnitas (los elementos de la matriz
inversa), donde cada ecuación tiene como lado derecho las columnas de
la matriz identidad, es decir, los vectores de la base canónica. Aśı, dada
A ∈ Rm×m y dado ej ∈ Rm el j-vector de la base canónica de Rm, la
columna j de la inversa de A es el vector X j que resuelve el sistema de
ecuaciones:
AX j = ej .
Repitiendo este ejercicio para j = 1, . . . ,m obtenemos todas las columnas
de A−1.
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Encontrar la Inversa de una Matriz
Dada
A =
 1 2 32 5 4
0 3 −1

si la matriz A−1 es dada por
A−1 =
 x11 x12 x13x21 x22 x23
x31 x32 x33
 ,
se debe cumplir que:
9
Encontrar la Inversa de una Matriz
 1 2 32 5 4
0 3 −1

x11x21
x31
 =
10
0

,  1 2 32 5 4
0 3 −1

x12x22
x32
 =
01
0

,  1 2 32 5 4
0 3 −1

x13x23
x33
 =
00
1
 .
Los indicados son tres sistemas de ecuaciones, que podemos resolver
usando la técnica ya expuesta. Con esto obtenemos la inversa de A.
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Comentario Importante
Dada A ∈ Rm×m y b ∈ Rm, considere el sistema de ecuaciones AX = b
para el cual la matriz ampliada es
B = [A |b] ∈ Rm×(m+1).
Sobre la base de lo anterior, tenemos dos posibilidades: primero, el rango
de A es igual al rango de B o, segundo, el rango de A es menor que el
rango de B.
En el primer caso, si el rango de A es igual al rango de B informa que el
vector b es l.d con las columnas de A, por lo que b se puede escribir
como combinación lineal de las columnas de A. Eso quiere decir que el
sistema AX = b tiene solución particular.
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Comentario Importante
Por otro lado, si el rango de B es mayor que el rango de A, entonces
informa que b es l.i de las columnas de A, es decir, el vector b no se
puede escribir como combinación lineal de las columnas de A. Esto
último es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones AX = b no
tiene solución particular.
En resumen:
• Si rg(A) = rg(B) entonces el sistema AX = b tiene solución.
• Si rg(A) < rg(B) entonces el sistema AX = b no tiene solución.
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Śıntesis
Para cualquier sistema de ecuaciones AX = b se dará uno de los
siguientes tres casos:
(i) el sistema tiene solución única,
(ii) el sistema tiene infinitas soluciones.
(iii) el sistema no tiene solución.
Para explicar las condiciones de cada caso, lo primero es tener claro que
un sistema de ecuaciones lineales tiene solución śı y solo śı b ∈ Im(A).
Por otro lado, también debemos recordar que si las columnas de A son l.i,
entonces el núcleo de la matriz es {0n}. En consecuencia:
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Śıntesis
• Caso (i): el sistema AX = b tiene solución única cuando
b ∈ Im(A) ∧ ker(A) = {0n}.
• Caso (ii): el sistema AX = b tiene infinitas soluciones cuando
b ∈ Im(A) ∧ ker(A) ̸= {0n}.
• Caso (iii): el sistema AX = b no tiene solución cuando
b /∈ Im(A).
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