Clase_4_Potencias__4_

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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Matemáticas I
Clase 4
Potencias
Apunte de Curso: Págs. 35 a 45
Marzo de 2021
Matemáticas I - Clase 4
Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Agenda
1 Objetivo de la clase
2 Potencias con exponente natural (entero)
3 Exponente real
4 Ecuaciones con potencias
Matemáticas I - Clase 4
Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Objetivos de la clase
Conocer aspectos generales sobre potencias con exponente natural y
entero: reglas de las potencias, exponente negativo, crecimiento
Conocer aspectos generales de potencias con exponente real: reglas
de las potencias con exponente real, crecimiento
Resolver ecuaciones con potencias.
Matemáticas I - Clase 4
Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Potencias con exponente natural
La expresión en potencias resume un producto reiterado de cierta
cantidad. Esa cantidad se llama base y el número de veces que se
multiplica es el exponente:
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces
.
Ejemplo
De acuerdo con la definición lo anterior, se tiene que:
a1 = a, a2 = a · a, a3 = a · a · a, etc.
Por otro lado, notamos ahora lo siguiente:
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, etc..
(−2)1 = −2, (−2)2 = 4, (−2)3 = −8, , (−2)4 = 16, etc.
Matemáticas I - Clase 4
Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Cuando la base es positiva (a = 2), el resultado de la potencia es
positivo, mientras que si la base es negativa, por ejemplo a = −2,
entonces el signo de la potencia con exponente natural es positivo
cuando el exponente es par (negativo si el exponente es impar).
En lo que sigue, trabajaremos con potencias cuya base positiva. Por
lo tanto, las potencia an es positiva cuando a es positivo.
Ejemplo
Note que para cualquier n ∈ N:
1n = 1 · 1 · 1 · · · 1= 1
0n = 0 · 0 · 0 · · · 0= 0
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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Reglas de potencias
Regla del producto:
an · am =
a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces
 ·
a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
m veces
 = a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
m+n veces
= an+m.
Regla del cociente:
an
am
=
a · a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces

a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
m veces
 =
cancelarm terminos︷ ︸︸ ︷�a · ·�a · �a · �a · �a · quedan n−m︷ ︸︸ ︷a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces

�a · �a · �a · �a · · ·�a︸ ︷︷ ︸
m veces

por lo tanto:
an
am
= a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
(n−m) terminos
= an−m.
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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Consecuencias de las regla del cociente:
Exponente cero: cuando m = n se tiene que
an
am
= an−m
m=n
=⇒ 1 = a0.
Exponente negativo cuando n = 0 y m es cualquiera se tiene que
a0
am
= a0−m =⇒ 1
am
= a−m.
Es decir, una base elevada a cero es uno y una base elevada a
exponente negativo es el inverso de la potencia correspondiente:
a0 = 1 y a−m =
1
am
.
Note que 0−n no existe: 0−n = 10n .
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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Notemos ahora lo siguiente:(
1
a
)m
=
1
a
· 1
a
· · · 1
a︸ ︷︷ ︸
m veces
=
1
am
.
Por lo tanto, para exponente negativo tenemos la triple igualdad:
a−m =
1
am
=
(
1
a
)m
.
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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Potencia de una potencia
Regla: potencia de potencia:
(an)m =
(a · a · · · a)︸ ︷︷ ︸
n veces
 ·
(a · a · · · a)︸ ︷︷ ︸
n veces
 · · ·
(a · a · · · a)︸ ︷︷ ︸
n veces

︸ ︷︷ ︸
m bloques cada uno con “a” n veces: totalm·n veces“a”
.
Por lo tanto
(an)m = an·m.
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Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Ejemplo
Usando los resultados anteriores, tenemos que:(
a2 · qn
s t
)−2
· q
m
s r
=
(
s t
a2 · qn
)2
· q
m
s r
(1)
=
s2t
a4 · q2n ·
qm
s r
(2)
= s2t−r · a−4 · qm−2n. (3)
Ejemplo
Primero: del hecho que
a
b
· b
a
= 1 ⇒
( a
b
)−1
=
b
a
.
Segundo: consecuencia de lo anterior es que( a
b
)−m
=
bm
am
.
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Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Crecimiento de las potencias
Si a > 1 entonces an es cada vez mayor cuando n aumenta.
Por ejemplo:
30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, etc.
Si 0 < a < 1 entonces an es cada vez menor cuando n aumenta.
¿Por qué? Si 0 < a < 1 entonces “a” se puede escribir como a = 1b
con b > 1. Por lo tanto, an = 1bn , donde el lado derecho disminuye
cuando n aumenta.
Por ejemplo:(
1
2
)1
=
1
2
,
(
1
2
)2
=
1
4
,
(
1
2
)3
=
1
8
,
(
1
2
)4
=
1
16
, etc.
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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Idea
Primero: √
a = a
1
2 ,
3
√
b = b
1
3 , n
√
c = c
1
n .
Segundo: √
a3 = a3·
1
2 = a
3
2 ,
5
√
b2 = b
2
5 , etc .
El exponente fraccionario cumple que:
a
m
n = n
√
am.
En general, sobre la base de lo anterior, la idea se puede extender
para considerar que el exponente es un real cualquiera. Aśı, tiene
sentido escribir
ax con x ∈ R.
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Objetivo de la clase
Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Reglas de las potencias con exponente real
Nota.
Cuando uno trabaja con exponente real, asume que la base es positiva.
Caso contrario, la cantidad ax podŕıa no existir en los reales:
(−2) 12 no es un número real.
Reglas de las potencias con exponente real: dado a > 0,
x , y ∈ R se cumple que:
Regla del producto y del cociente:
ax · ay = ax+y y a
x
ay
= ax−y .
Potencia de una potencia:
(ax)y = ax·y .
Exponente negativo:
a−x =
1
ax
=
(
1
a
)x
.
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Exponente real
Ecuaciones con potencias
Ejemplo
Por las propiedades de las potencias, tenemos que:(
1
1 + a
)−3
= (1 + a)3.
(
1√
1 + a
)−3
= (1 + a)
3
2 .(
1
1 +
√
a
)−3
= (1 +
√
a)3.
Por otro lado: (
1
1 + a
)3
=
1
(1 + a)3
= (1 + a)−3.(
1√
1 + a
)3
=
1
(1 + a)
3
2 .
= (1 + a)−
3
2 .
(
1
1 +
√
a
)3
=
1
(1 +
√
a)3
= (1 +
√
a)−3.
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Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Ejemplo
Tenemos que:
eax
1 + eax
=
eax
1 + eax
· e
−ax
e−ax
=
eax e−ax
(1 + eax) e−ax
,
es decir,
eax
1 + eax
=
1
1 + e−ax
.
Ejemplo
Tenemos que: (
1
ax2+1
)− 1
x
=
(
ax
2+1
) 1
x
= a
x2+1
x
= ax+
1
x
= ax · x
√
a.
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Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Crecimiento de potencias con exponente real
El crecimiento de las potencias con exponente real sigue las mismas
reglas del crecimiento de las potencias con exponente natural
(entero):
Si a > 1 entonces ax crece en la medida que x aumenta.
Si 0 < a < 1 entonces ax decrece en la medida que x aumenta.
Ejemplo
¿Qué es mayor: a3 o a?
La respuesta es “depende”:
si a > 1 entonces a3 > a ya que las potencias crecen con el exponente
cuando la base es mayor que 1.
si 0 < a < 1 entonces a3 < a ya que las potencias decrecen con el
exponente cuando la base es menor que 1.
Con exponente real, recordar que estamos asumiendo base positiva.
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Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Ecuaciones con potencias
Se tiene que:
si xa = b ⇒ x = b 1a .
Ejemplo
Suponga que x0, α y δ son cantidades conocidas. Se pide p tal que:
x0 = α · (1 + p)δ.
Setiene entonces que:
x0 = α · (1 + p)δ ⇒ (1 + p)δ =
x0
α
⇒
(1 + p) =
(x0
α
) 1
δ ⇒ p =
(x0
α
) 1
δ − 1.
Note que p aumenta si x0 aumenta.
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Potencias con exponente natural (entero)
Exponente real
Ecuaciones con potencias
Ejemplo
Suponga que x0, α y δ son cantidades conocidas. Se pide p tal que:
x0 = α · (1 + p)−δ.
Se tiene entonces que:
x0 = α · (1 + p)−δ ⇒ (1 + p)−δ =
x0
α
⇒
(1 + p) =
(x0
α
)− 1
δ ⇒ p =
(x0
α
)− 1
δ − 1 =
(
α
x0
) 1
δ
− 1.
Note que p disminuye si x0 aumenta.
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