1 Metodo Matricial para el Analisis de Armaduras Planas y Espaciales

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MÉTODO MATRICIAL PARA 
EL ANÁLISIS DE 
ARMADURAS PLANAS Y 
ESPACIALES
Gabriel Santiago Silva Vega 
Objetivo
• Propuesta de un procedimiento 
alternativo para el análisis y diseño de 
armaduras
• Implementación computacional 
• Motivar a los estudiantes de ingenieria 
a aprender con estructuras cada vez 
más grandes y metodologias 
productivas
Análisis de armaduras
• Calcular reacciones 
• Determinar fuerzas en los elementos
Estática - método de los nudos 
y de las secciones
Propuesta → Método matricial
Estática
Análisis estructural
• Paso 1: m+R=D*N
Donde m = Cantidad de elementos
R = Cantidad de reacciones
D = 2 para 2D y 3 para 3D
N = Cantidad de nudos
Indeterminación estructural
Método matricial
Fundamento matemático.
• Paso 2: Equilibrio de cada nudo
Método matricial
Fundamento matemático.
Problema resuelto 6.1 (Beer, Johnston Jr., & Eisenberg, 2007 pag 295)
• Paso 2: Equilibrio de cada nudo
Método matricial
Fundamento matemático.
• Paso 2: Equilibrio de cada nudo
Método matricial
Fundamento matemático.
• Paso 2: Equilibrio de cada nudo
Método matricial
Fundamento matemático.
• Paso 2: Equilibrio de cada nudo
Método matricial
Fundamento matemático.
• Paso 2: Equilibrio de cada nudo
Método matricial
Fundamento matemático.
• Paso 3: Planteamiento del sistema de 
ecuaciones
Método matricial
Fundamento matemático.
Donde c=cos(φ) y s=seno(φ)
Solución de la matriz
Método matricial
Fundamento matemático.
¿Cuál es el paso crucial?
1. Comprobación de 
indeterminación
2. Equilibro de cada nudo
3. Planeamiento y solución 
del sistema de ecuaciones
Paso 1
Método matricial
Optimización del método 
Paso 3
Paso 3. ¿Cómo se hace el ensamble? 
1. Cada una de las filas corresponde a una ecuación de 
equilibrio
Paso 1
Método matricial
Optimización del método 
Paso 3
Paso 3. ¿Cómo se hace el ensamble? 
2. En la parte superior de la matriz se reescribe la 
transpuesta del vector de incógnitas → variables
Paso 1
Método matricial
Optimización del método 
Paso 3
Paso 3. ¿Cómo se hace el ensamble? 
3. En amarillo: Vector unitario de la componente del 
elemento según el nodo donde se hizo el equilibrio
Paso 1
Método matricial
Optimización del método 
Paso 3
Paso 3. ¿Cómo se hace el ensamble? 
4. Para cada elemento la sumatoria de las columnas es 
cero (0) y para las reacciones da uno (1) → CONTROL
Paso 1
Método matricial
Optimización del método 
Paso 3
Paso 3. ¿Cómo se hace el ensamble? 
5. Las reacciones son también unitarios y están en la 
respectiva componente de los nudos
Paso 1
Método matricial
Optimización del método 
Paso 3
Paso 3. ¿Cómo se hace el ensamble? 
6. Las fuerzas externas son las magnitudes de la fuerza y 
están en la respectiva componente del nudo
• Proceso alternativo sistemático → 
Programación → rendimiento
Método matricial
CONCLUSIONES
IR
IR
IR
IR
• Manejo de fuerzas externas de manera 
“independiente” → +Alcance y +Control
• Aplicación en los cursos de Estática y 
Analisis de estructuras
• Aplicación en 3D
• Implementación de competencias del 
estudiante
• Implementación práctica FIN
Método matricial
Sistematización del método 
Volver a 
conclusiones
Método matricial
CURSO DE ESTÁTICA
- Reacciones 
- Fuerzas en los 
elementos
CURSO DE ANALISIS
- Reacciones
- Fuerzas en los 
elementos → esfuerzos
- Desplazamientos 
(trabajo virtual)
Volver a 
conclusiones
Método matricial
Volver a 
conclusiones
Manejo de fuerzas externas de manera 
“independiente” → +Alcance y +Control
- Calculo de solicitaciones para cada tipo de 
carga
- Combinaciones de carga
Bienvenido a Armasive
El programa le servirá para calcular las fuerzas en los miembros de una armadura en 2D o
3D a partir de la geometría de esta, las condiciones de apoyo y de carga en los nudos
Antes de comenzar es importante que dibuje el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) de la
armadura teniendo en cuenta lo siguiente:
-- Todos los nudos se deben numerar de manera consecutiva a partir del 1
-- Todos los elementos y las reacciones se deben numerar también de manera consecutiva a
partir del 1, comenzando por los elementos y continuando con las reacciones
¿En qué espacio va a trabajar?
Dos dimensiones = 2
Tres dimensiones = 3
3
Número de elementos? E= 8
Número de reacciones? R= 7
Número de nudos? n= 5
Ingrese matriz de COORDENADAS X,Y,Z DE LOS NODOS de la armadura teniendo en cuenta:
-- Cada fila corresponde a un nodo
-- Así trabaje en 2D o 3D ingrese coordenadas X, Y, Z
-- Cuatro columnas en las que se consigna:
[N° Nodo, Coord X, Coord Y, Coord Z]
[1 0 0 0;2 5 0 0;3 5 5 0;4 0 5 0;5 2.5 2.5 10]
Ingrese matriz de ELEMENTOS de la armadura teniendo en cuenta:
-- Cada fila corresponde a un elemento
-- Tres columnas en las que se consigna:
[N° Elemento, N° Nodo inicial, N° Nodo final]
[1 1 2;2 2 3;3 3 4;4 4 1;5 1 5;6 2 5;7 3 5;8 4 5]
Aplicación 3D
Ingrese matriz de REACCIONES EN LOS APOYOS de la armadura teniendo en cuenta:
-- Cada fila corresponde a un apoyo
-- Cuatro columnas en las que se consigna:
[N° Nodo, Componente unitaria de la Reacción X, Componente unitaria de la Reacción Y,
Componente unitaria de la Reacción Z]
[1 1 1 1;2 0 1 1;3 0 0 1;4 0 0 1]
Ingrese matriz de FUERZAS EXTERNAS en la armadura teniendo en cuenta:
-- Ingrese las fuerzas X, Y, Z únicamente de los nodos en los que estas están aplicadas
-- Cada fila corresponde a un nodo
-- Cuatro columnas en las que se consigna:
[N° Nodo, Fuerza X, Fuerza Y, Fuerza Z]
[5 0 10 -100]
Matriz de Coordenadas [NODO X Y Z]
1. 0. 0. 0.
2. 5. 0. 0.
3. 5. 5. 0.
4. 0. 5. 0.
5. 2.5 2.5 10.
Matriz de Elementos (Conectividad) [ELEMENTO NODO1 NODO2]
1. 1. 2.
2. 2. 3.
3. 3. 4.
4. 4. 1.
5. 1. 5.
6. 2. 5.
7. 3. 5.
8. 4. 5.
Matriz de Reacciones [NODO uRx uRy uRz]
1. 1. 1. 1.
2. 0. 1. 1.
3. 0. 0. 1.
4. 0. 0. 1.
Aplicación 3D
Aplicación 3D
Matriz de Fuerzas externas [NODO Fx Fy Fz]
5. 0. 10. - 100.
Elementos/Reacciones - Fuerzas
1. 3.75
2. 8.75
3. 8.75
4. 8.75
5. - 15.909903
6. - 15.909903
7. - 37.123106
8. - 37.123106
9. 0.
10. - 5.
11. 15.
12. - 5.
13. 15.
14. 35.
15. 35.
El signo positivo indica tensión o Reacción positiva
El signo negativo indica compresión o Reacción negativa
Volver a 
conclusiones
Aplicación 3D ¿Quiere ver la matriz de G y el vector F?Si = 1
No = 0
1
1. 0. 0. 0. 0.2357023 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 1. 0.2357023 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0.9428090 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.
- 1. 0. 0. 0. 0. - 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 1. 0. 0. 0. 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0.9428090 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0.
0. 0. - 1. 0. 0. 0. - 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. - 1. 0. 0. 0. 0. - 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.9428090 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0.
0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. - 1. 0. 0. 0. - 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.9428090 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.
0. 0. 0. 0. - 0.2357023 0.2357023 0.2357023 - 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. - 0.2357023 - 0.2357023 0.2357023 0.2357023 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. - 0.9428090 - 0.9428090 - 0.9428090 - 0.9428090 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
10.
- 100. 
GRACIAS
Ing. Gabriel Santiago Silva Vega
santiasilva@gmail.com
mailto:santiasilva@Gmail.com