PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-3

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Problemas de Geometría del Plano
Sección A - LUGARES GEOMÉTRICOS
A 1- Enunciar los lugares geométricos elementales.
Solución: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos que siguen una misma dirección.
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior
llamado centro.
La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos.
El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos rectas fijas están en una relación dada,
es un sistema de dos rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas dadas; en el
caso en que dicha relación sea la unidad, el lugar geométrico es el conjunto de las dos
bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas.
El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos están en una relación
dada, es una circunferencia cuyo centro está sobre la recta definida por dichos puntos y que la
corta en dos puntos cuya relación de distancias a los puntos dados es la dada.
El lugar geométrico de los puntos para los que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a
dos puntos fijos dados es constante, es una recta perpendicular a la recta que une dichos dos
puntos.
El lugar geométrico de los puntos para los que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos
puntos fijos dados es constante, es una circunferencia de centro el punto medio de dichos dos
puntos.
El lugar geométrico de los puntos desde los que se ve un segmento dado bajo un ángulo
constante, se compone de dos arcos de circunferencia (arcos capaces), que pasan por los
extremos de dicho segmento.
A 2- Hallar el lugar geométrico de los centros de los paralelogramos cuya base es fija en magnitud
y posición, y cuya altura es constante en magnitud.
Solución:
m
O
BA
n
E
C D
H
m
O
BA
n
E
C D
H
La base AB es fija y la altura CH  h es constante. El punto O, centro del paralelogramo, está
en la intersección de las dos diagonales, esto es, en su punto medio. Por tanto la distancia OE
será siempre igual a h2 . El lugar pedido está formado por dos rectas m y n, paralelas a AB, a la
distancia h2 de esta, situadas a uno y otro lado de AB.
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A 3- Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado, que dividen a
una circunferencia dada en dos partes iguales.
Solución:
A
O O’
B
A
O O’
B
Sea la circunferencia de centro O ′ la que divide a la de centro O en dos partes iguales, por lo
que, siendo A y B los puntos de intersección de ambas circunferencias, la recta AB es un
diámetro de O. Siendo OA y O ′A constantes, también lo será el cateto OO ′. Por tanto el lugar
de O ′ es una circunferencia de centro O y radio R2 − r2 , donde R  O ′A y r  OA.
A 4- Hallar el lugar geométrico de los centros de los círculos inscritos en los triángulos de base fija
AB en magnitud y posición, y cuyo ángulo C es constante en magnitud.
Solución:
C
BA
O
C
BA
O
AO, BO y CO son las bisectrices de los ángulos A, B y C. El ángulo AOB es igual a
 − A2 −
B
2   −
1
2 A  B   −
1
2  − C 
1
2   C , que es constante. Por tanto
el lugar geométrico de O está formado por los arcos capaces de 12   C trazados sobre AB.
A 5- Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las bases de los trapecios que tienen por
diagonales las secantes trazadas por el punto de contacto de dos círculos tangentes
exteriormente, cuando es constante el ángulo formado por estas dos secantes.
Solución:
C
D
O1 O2
C’
D’
T
A’
A
B’
B
C
D
O1 O2
C’
D’
T
A’
A
B’
B
Sean O1 y O2 los centros de los círculos dados, de radios O1C y O2A, respectivamente. Las
secantes ATD y BTC subtienden cuerdas DC y AB constantes en magnitud (O1 y O2 son los
arcos capaces de ángulo

T sobre ellas), por lo que son tangentes en sus puntos medios, a
circunferencias concéntricas con las dadas. Si se trazan tangentes paralelas a una dirección
dada, se obtienen dos trapecios ABCD y A′B′C ′D ′, cuyas bases AB, A′B′ y CD, C ′D ′ son
tangentes en sus puntos medios, a las circunferencias concéntricas. Luego estas circunferencias
son el lugar pedido.
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A 6- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias, paralelamente a
direcciones dadas, a dos rectas fijas es constante.
Solución:
d d’
r’
r
m
n
O P
A H
H’ A’
d d’
r’
r
m
n
O P
A H
H’ A’
Sean m y n las rectas dadas, y d y d ′ las direcciones. Las distancias según estas direcciones, de
un punto P a m y n, son PA y PA′. Las distancias (perpendiculares) a las rectas son PH y PH ′.
Cualquiera que sea la posición de P, los triángulos PAH (y los PA′H ′) serán semejantes. Por
tanto la relación entre las distancias PH y PH ′ es constante. El lugar pedido es el conjunto de
dos rectas r y r ′, que pasan por O, intersección de m y n.
A 7- Hallar el lugar geométrico de los puntos de contacto de las tangentes paralelas a una dirección
dada, trazadas a las circunferencias tangentes a una recta fija dada, en un punto fijo A de esta.
Solución:
T
P
A
T’
O
P’
T
P
A
T’
O
P’
Sea PA la recta dada, O el centro de una de las circunferencias tangentes a PA en A, y sean PT y
P′T ′ las tangentes a O paralelas a la dirección dada, siendo T y T ′ los respectivos puntos de
tangencia (los ángulos de estas tangentes con la recta dada son constantes). Siendo OT
perpendicular a PT, y OA perpendicular a PA, el ángulo TOA es suplementario del APT y por
tanto constante. Como el triángulo OAT es isósceles (OT  OA), los ángulos OAT y OTA son
iguales y constantes, midiendo la mitad del APT. El lugar pedido es el conjunto de dos rectas
AT y AT ′, perpendiculares entre sí, que pasan por A y forman con la recta dada ángulos iguales
a la mitad del APT y a la mitad de su suplementario.
A 8- Hallar el lugar geométrico de los puntos tales que la relación de sus distancias a dos
circunferencias dadas, sea igual a la relación de los radios de estas.
Solución:
P’’O’
B
A
C
O’’
P’ O P’’O’
B
A
C
O’’
P’ O
Sean O ′ y O ′′ las circunferencias dadas, R y r sus radios y sea A un punto tal que
AB
AC 
O ′B
O ′C
 Rr . Por tanto
AB  O ′B
O ′B
 AC  O
′C
O ′C
 AO
′
R 
AO ′′
r . Luego A está en el
lugar de los puntos cuya relación de distancias a dos dados, O ′ y O ′′, es constante. Este lugar es
una circunferencia cuyo centro O está en la recta O ′O ′′.
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