PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-83

Vista previa del material en texto

Luego D es un punto fijo situado en VO a una distancia de V igual a VO
sin2
. Como
VB  VA  VD2 − AD2  VO
2
sin4
− AD2, y siendo VA  VB  VA
′
sin 
VB′
sin 
VO2 − r2
sin2
, se tiene:
AD2  VO
2
sin4
− VO
2 − r2
sin2
 VO
2 cos2  r2 sin2
sin4
, que es constante. Por tanto, siendo D fijo, y
constante la distancia AD, el lugar geométrico de A es una línea esférica.
J 36- Demostrar que en un tetraedro de aristas opuestas ortogonales, los productos de las aristas
opuestas son inversamente proporcionales a sus mínimas distancias.
Solución: Sean aa ′, bb ′, cc ′, las aristas opuestas de un tetraedro ABCD. Y sean ,, sus
respectivas distancias mínimas. El volumen del tetraedro viene dado por las expresiones
V  aa
′
6 
bb ′
6 
cc ′
6 . Luego:
aa ′
1

 bb
′
1

 cc
′
1

.
247
248
Sección K - ÁREAS Y VOLÚMENES
K 1- El desarrollo del área lateral de un tronco de cono es un sector de corona circular de radios 1cm y
15cm, y de ángulo central 5 rad. Calcular el área total y el volumen del tronco de cono.
Solución:
Área lateral del tronco de cono: 152 − 12 

5
2  22,4cm
2. Radio de la base menor:
2  1  5 
1
2
2  0,1cm. Radio de la base mayor:
2  15  5 
1
2
2  1,5cm. Área de la
base menor: 0,01cm2. Área de la base mayor: 2,25cm2.
Área total: 22,4  2,26  24,66cm2  77,58cm2.
Altura del tronco de cono: 15 − 12 − 1,5 − 0,12  194,04 .
Volumen del tronco de cono: 3 194,04 1,5
2  0,12  1,5  0,1  11,19cm3  35,15cm3.
K 2- ¿A qué distancia del centro de una esfera de radio R hay que trazar un plano para que la relación
de las áreas de los dos casquetes sea 5 − 12 ?
Solución:
R
d
R
d
Área de la esfera: 4R2. Área del casquete menor: 2Rh  2RR − d. Área del casquete mayor:
4R2 − 2RR − d. Luego 2RR − d
4R2 − 2RR − d
 5 − 12 . De donde d  R 5 − 2 .
K 3- Un aviador se eleva a 12km sobre el nivel del mar. Supuesta la Tierra esférica y de radio
6400km, hallar el área visible desde esa altura.
Solución:
A
O
PQ
A
O
PQ
La superficie del casquete visible es:
2RR − OQ  2  6400 6400 − R
2
6412  153312,539  481645,5462km
2.
249
	A-PG-Kpdf