PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA-94

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K 76- Se da una esfera de radio R y centro O. Sobre un diámetro AA′ se toma un punto P situado entre
O y A. Por P se traza un plano perpendicular a AA′, y se circunscribe un cono de base el círculo
menor así determinado. Determinar P para que el volumen comprendido entre el área lateral del
cono y la esfera, sea m veces el volumen de la esfera de diámetro el del círculo menor citado.
Discusión de la solución.
Solución:
V A P O A’
Q
V A P O A’
Q
El volumen definido es la diferencia entre el volumen del cono circunscrito y el volumen del
segmento esférico de altura AP. Sea OQ  R, PQ  r, VP  H, AP  h, OP  R − h,
r2  VP  PO  HR − h  R2 − R − h2, H  h2R − hR − h , VQ  H
2  r2 
R h2R − h
R − h .
El volumen del cono circunscrito es 3 r
2H  3 
h22R − h2
R − h . El volumen del segmento
esférico es h2 R − h3 . El volumen de la esfera de radio QP es
4
3 r
3  43 2Rh − h
2
3
2 .
Luego el volumen comprendido entre el área lateral del cono y la esfera, es: 3 
h22R − h2
R − h −
−h2 R − h3  m
4
3 2Rh − h
2
3
2 . Operando se obtiene una ecuación de 5º grado en h, siendo
m2  R
4h
16R − h22R − h3
. Como 0 ≤ h ≤ R, m puede tomar cualquier valor entre 0 y .
Haciendo x  2R − hR , la ecuación queda: x
3x − 12 − 2 − x
16m2
 0, que siempre tiene una
solución en el intervalo 1  x  2.
K 77- Se da un cuadrado ABCD de lado a. Tomando A como centro se describen dos arcos de círculo
DB, CE (E está en la prolongación de AB). La figura BECD gira alrededor de la perpendicular
trazada en A a la diagonal AC. Calcular el área y el volumen engendrados.
Solución:
M
A
N
P
D C
B
E
M
A
N
P
D C
B
E
1º) El área pedida es S  SACEP  SNBEP  SMDBN  SMDCA. Se sabe que AB  AD  DC  CB  a,
AC  AE  a 2 , BE  AE − AB  a 2 − 1 , MD  NB  MA  AN  22 a, PE  AP 
 AE
2
 a, NP  AP − AN  1 − 22 a , BN  DM 
a
2
. Se utilizan las fórmulas del área
lateral del tronco de cono, R  rg, y de la zona esférica, 2Rh. El área engendrada es:
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S  2a 2 a   a  22 a a 2 − 1  2a2
2
2 a   a 2 
a
2
a  6 2 a2.
2º) El volumen pedido es V  VACEP  VMDCA − VMDBN − VNBEP. Se utilizan las fórmulas del
volumen del tronco de cono, 3 hR
2  r2  Rr, y del segmento esférico, 23 R
2h. El volumen
engendrado es:
V  23 a 2
2a  3 
2
2 a
2
2 a
2
 a 2 2  22 aa 2 −
2
3 a
22 22 a −
− 3 a 1 −
2
2 a
2  22 a
2
 a 22 a  a
3.
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