Calculo diferencial Universidad-112

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CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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4.3.4 Extremos de funciones definidos 
sobre un intervalo cerrado
Teorema de extremos de funciones definidos sobre un intervalo cerrado: El máximo 
o el mínimo de una función sobre un intervalo cerrado siempre se encuentra o en los 
puntos extremos del intervalo o en puntos críticos localizados dentro del intervalo
Vimos que una función f que es continua sobre un intervalo cerrado 
tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. A continua-
ción se verá los pasos para encontrar extremos sobre un intervalo cerrado.
Evaluar f en los puntos frontera a y b del intervalo [a,b]
Encontrar todos los números críticos en el intervalo abierto (a,b)
Evaluar la función en todos los números críticos
Los valores mayores o menores en la lista serían el máximo y el 
mínimo absoluto de la función sobre el intervalo [a,b].
Ejemplo 3: Determinar los extremos de la función f(x) = x3/3 –
x2/2 - 6x en el intervalo [-4,6]
solución
Evaluamos primero la función en los puntos frontera del inter-
valo [-4,6]
Encontramos ahora los puntos críticos en el intervalo abierto 
(-4,6)
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
1
3
3𝑥𝑥2 −
1
2
2𝑥𝑥 − 6 
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 6 
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 6 = 0 
(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 2) = 0 
Puntos críticos x = -2 x = 3
Evaluamos la función en estos puntos críticos
𝑓𝑓(−2) =
(−2)3
3
−
(−2)2
2
− 6(−2) = 7,33 
𝑓𝑓(3) =
(3)3
3
−
(3)2
2
− 6(3) = −13,5 
Observando los valores evaluados tanto en los puntos de la fron-
tera y en los puntos críticos determinamos que el máximo y mínimo 
sobre el intervalo [-4,6] son: 
Máximo: el extremo derecho de la frontera (6; 17,89)
Mínimo: el segundo punto crítico (3;-13,5)
Figura 7 
Función del ejemplo 3
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4.4 Teorema del valor medio
Antes de entrar a este tema analicemos lo siguiente: Si usted viaja 
desde Cuenca a Guayaquil y lo hace en tres horas recorriendo una dis-
tancia de 210Km ¿a qué velocidad promedio ha viajado? ¿Significa que 
todo el tiempo usted ha viajado a esa velocidad? ¿Cuántas veces durante 
el trayecto habrá usted estado viajando a la velocidad promedio?
Para llegar al teorema del valor medio primero debemos entender 
un teorema denominado Teorema de Rolle que es:
4.4.1 Teorema de rolle
Sea f una función continua sobre [a,b] y diferenciable sobre (a,b). Si f(a) = f(b) = 0 
entonces hay un número c en (a,b) tal que f ‘(c)=0.
Ejemplo 1: Comprobación del teorema de Rolle
Considere la función f(x) = -2x3 + x definida sobre [-1,1] como se 
muestra en la siguiente gráfica:
Figura 8 
Función del ejemplo 1