Calculo diferencial Universidad-119

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Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
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En la siguiente gráfica se puede observar la ubicación del punto 
de inflexión y las concavidades determinadas.
Figura 20 
Gráfica del ER3
EjErcicios propuEstos
EP1. Dada la función f(x) = x3- x + 1determinar:
a. Puntos de inflexión
b. Intervalos de concavidades
EP2. Dada la función f(x) = -4x3+ 3x -2 determinar:
a. Puntos de inflexión
b. Intervalos de concavidades
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
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4.7.4 Criterio de la segunda derivada para determinar 
maximos y minimos
Usar la segunda derivada para determinar si un punto crítico re-
presenta un máximo o un mínimo se denomina criterio de la segun-
da derivada.
4.7.4.1 Pasos para el criterio de la segunda derivada
1. Determinar los puntos críticos de la primera derivada de la fun-
ción dada
2. Encontrar la segunda derivada de la función 
3. Evaluar los puntos críticos en la segunda derivada
4. Si f ‘ (c) > 0 el punto crítico es un mínimo
5. Si f ‘ (c) < 0 el punto crítico es un máximo
6. Si f ‘ (c)=0 no es ni un máximo ni un mínimo solo es un punto 
donde la pendiente es 0
A continuación vamos a ver un ejercicio resuelto donde contem-
plemos todo lo aprendido en esta parte.
ER4 Dada la función f(x) = 4x4 - 4x² determinar:
a. Puntos críticos 
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c. Máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada
d. Puntos de inflexión
e. Intervalo de concavidades
f. Máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada
g. Graficar 
solución
a. Puntos críticos
Son los puntos en donde la pendiente es cero, se determinan a 
partir de igualar a 0 la primera derivada.
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Derivamos la función f ‘ (x)=16x3 - 8x 
Igualamos a 0 16x3 -8x = 0 
Despejamos 8x(2x2 -1) = 0 
Puntos críticos 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = ± √2
2
 
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
A parir de los tres puntos críticos formamos intervalos 
(−∞,−√2
2
) (−√2
2
, 0) (0, √2
2
) (√2
2
,∞) 
Evaluamos con valores dentro de cada intervalo en la derivada
 𝑓𝑓′(−1) = 16(−1)3 − 8(−1) = −8 𝑓𝑓′(−0,5) = 2 
 𝑓𝑓′(0,5) = −2 𝑓𝑓′(1) = 8 
Con estos datos tenemos los intervalos de crecimiento y decreci-
miento en la siguiente tabla:
Tabla 4 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento E.R.4
(−∞,−
√2
2
) (−
√2
2
, 0) (0,
√2
2
) (
√2
2
,∞) 
Decrece Crece Decrece Crece
c. Máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada
Con los datos de crecimiento y decrecimiento y la tabla generada 
encontramos: