Calculo diferencial Universidad-120

Vista previa del material en texto

CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
357
Tabla 5 
Máximos y mínimos E.R.4
−
√2
2
 0
√2
2
 
Mínimo Máximo Mínimo
Reemplazamos estos valores en la función original para determi-
nar los valores de cada ordenada y tenemos:
𝑓𝑓 �−√2
2
� = 4 �− √2
2
�
4
− 4 �− √2
2
�
2
= −1 
𝑓𝑓(0) = 4(0)4 − 4(0)2 = 0 
𝑓𝑓 �√2
2
� = 4 �√2
2
�
4
− 4 �√2
2
�
2
= −1 
Las coordenadas quedan de la siguiente manera:
Mínimo �
√2
2
,−1� Máximo (0,0) Mínimo �− √2
2
,−1� 
d. Puntos de inflexión
Llamados también puntos críticos de la segunda derivada
f ‘’(x) = 48x2 -8
Igualamos a 0 48x2 -8 = 0
Despejamos 𝑥𝑥
2 =
8
48
 
Puntos críticos segunda derivada 
Reemplazamos estos datos en la 𝑥𝑥 = −
√6
6
 𝑥𝑥 = √6
6
 función ori-
ginal para determinar los valores de las ordenadas de los puntos.
Margarita Martínez bustaMante / robinson portilla flores
358
𝑓𝑓 �−
√6
2
� = 4�−
√6
2
�
4
− 4�−
√6
2
�
2
= 
e. Intervalos de concavidades
Con los puntos críticos de la segunda derivada creamos los 
intervalos 
�−∞,−√6
6
� �− √6
6
, √6
6
� �√6
6
,∞� 
Evaluamos con valores dentro de cada intervalo en la segunda 
derivada
𝑓𝑓′′ (−0,5) = 48(−0,5)2 − 8 = 4 𝑓𝑓′′ (0) = −8 𝑓𝑓′′ (0,5) = 4 
Con estos datos tenemos los intervalos de concavidades en la si-
guiente tabla:
Tabla 6 
Intervalos de concavidad E.R.4
−∞,−
√6
6
 −
√6
6
,
√6
6
 √6
6
,∞ 
Concavidad hacia arriba Concavidad hacia abajo Concavidad hacia arriba
f. Máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada
Reemplazamos los puntos críticos de la primera derivada 
𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 = ± √2
2
 en la segunda derivada:
𝑓𝑓′′ �− √2
2
� = 16 lo cual indica que es un mínimo porque el valor es > 0 
𝑓𝑓′′ (0) = −8 lo cual indica que es un máximo porque el valor es < 0 
𝑓𝑓′′ �√2
2
� = 16 lo cual indica que es un mínimo porque el valor es > 0 
CálCulo DiferenCial Con geoMetría analítiCa para ingeniería autoMotriz
359
g. Graficar
Con todos los datos es posible graficar la función dada
Figura 21 
Gráfica E.R.4
EjErcicios propuEstos
EP1. Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥³ + 3𝑥𝑥² − 2 
a. Puntos críticos 
b. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c. Máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada
d. Puntos de inflexión
e. Intervalo de concavidades
f. Máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada
g. Graficar