PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-106

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satisfacer para que se verifique constantemente la igualdad OP  MN, e integrarla.
Solución: La ecuación de la normal en Mx,y, es: Y − y  −1
y ′
X − x. Su intersección con OX es el
punto N de coordenadas: x  yy ′, 0. La ecuación de la perpendicular por O es: Y  y ′X. Su intersección
con MN es el punto P, cuyas coordenadas son: x  yy
′
1  y ′2
, xy
′  yy ′2
1  y ′2
. Por tanto, se tiene que:
OP2  x  yy
′
1  y ′2
2
 xy
′  yy ′2
1  y ′2
2
 x  yy
′
1  y ′2
2
1  y ′2  x  yy
′2
1  y ′2
, MN2  yy ′2  y2. Luego:
x  yy ′2
1  y ′2
 yy ′2  y2  y21  y ′2, de donde: x  yy ′  y1  y ′2. 1º) Tomando el signo positivo, se
tiene que: x  yy ′  y1  y ′2. Haciendo y ′  p, se tiene: y  x
y ′2 − y ′  1
 x
p2 − p  1
. Siendo:
1
p2 − p  1
≡ fp, se tiene: y  xfp, de donde: dy  fpdx  xf ′pdp, dydx  p  fp  xf
′p dpdx ,
dx
x 
−f ′pdp
fp − p 
−f ′pdp
fp − p 
dp
fp − p −
dp
fp − p 
−f ′p − 1dp
fp − p −
dp
fp − p 
−f ′p − 1dp
fp − p −
− dp1
p2 − p  1
− p

−f ′p − 1dp
fp − p −
p2 − p  1dp
−p3  p2 − p  1

−f ′p − 1dp
fp − p 
dp
2p − 1 
pdp
2p2  1
−
− dp
2p2  1
. Integrando, se tiene: ln xc  − lnfp − p 
1
2 lnp − 1 
1
4 lnp
2  1 − arctanp2 . Por
tanto, la ecuación pedida, en paramétricas, es: x  C p
2 − p  1
p3 − p2  p − 1
p − 1
1
2 p2  1
1
4 e
−arctanp
2 ,
y  x
p2 − p  1
. 2º) Tomando el signo negativo: x  yy ′  −y1  y ′2. Procediendo como en el caso
anterior, la ecuación pedida es: x  C p
2  p  1
p3  p2  p  1
p  1
1
2 p2  1
1
4 e
arctanp
2 , y  −x
p2  p  1
.
I 109- Hallar la curva que coincide con su cuarta evoluta.
Solución: Sea xcos  y sin  p, la tangente a la curva buscada. Sus sucesivas derivadas son:
−x sin  ycos  p ′, −xcos − y sin  p ′′, x sin − ycos  p ′′′, xcos  y sin  piv. Luego piv  p.
La ecuación característica, r4  1, tiene por raíces: 1,i. por lo que: p  Ae  Be−  Ccos  D sin.
La curva buscada es la envolvente de: xcos  y sin  Ae  Be−  Ccos  D sin. Derivando
respecto a , se tiene: −x sin  ycos − Ae  Be−  C sin − Dcos  0. De este sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, se obtiene la ecuación en paramétricas de la curva buscada:
x  Aecos − sin  Be−sin  cos  C, y  Aesin  cos  Be−sin − cos  D, o bien:
x  − 2 Ae sin  − 4  2 Be
− cos  − 4  C,
y  2 Ae cos  − 4  2 Be
− sin  − 4  D.
Haciendo el cambio     4 , estas ecuaciones paramétricas se pueden presentar de la siguiente forma:
x  − 2 Ae

4 sin  2 Be−−

4 cos  C, y  2 Ae

4 cos  2 Be−−

4 sin  D.
I 110- Se da la curva y  ex − sinx
m→
lim
t→0
lim sinm!xt  sinm!x  sinx. Estudiarla, analizando su
continuidad en el origen.
Solución: Para sinm!x ≠ 0, se tiene:
m→
lim
t→0
lim sinm!xt  sinm!x  1, por lo que: y  e
x. Para
sinm!x  0, se tiene: m!x  k. Luego: x 
m→
lim km!  0. Por tanto, para x  0, la curva tiene una
discontinuidad en el origen, que es evitable haciendo que y0  e0  1.
I 111- Dadas las curvas 
2
3  a
2
3 cos 23 , a
2  2 cos2, demostrar que la longitud total de la primera es
seis veces la diferencia entre el arco infinito de la segunda y su asíntota (el arco de la segunda curva y su
asíntota comienzan en el eje polar).
Solución: Como ds2  dx2  dy2  d2  2d2, en la primera curva se tiene que:
316
ds1 
a
1
3
a
1
3
d  a
1
3
a
1
3

−
1
3 d
a
4
3 − 
4
3

a
2
3 d
a
4
3 − 
4
3
1
2
. Y en la segunda curva: ds2 
3d
a2


3
a2

a2d
4 − a4
1
2

2d
4 − a4
1
2
. La mitad de la longitud de la primera curva viene dada por:
s1  a
2
3 
0
a d
a
4
3 − 
4
3
1
2
. Siendo s2 un arco cualquiera de hipérbola, s2  a
r 2d
4 − a4
1
2
. Hay que
demostrar que
r→
lim r − s2  s13 . Haciendo   az
3 en la ecuación de s1, se tiene: s1  3a 0
1 z2dz
1 − z4
.
Y haciendo a  z en la ecuación de s2, se tiene: s2  a z
1 dz
z2 1 − z4
. Luego r − s2  az − s2 
 a 1z − z
1 dz
z2 1 − z4
. Ahora bien, como: s13a  0
1 z2dz
1 − z4
 
0
1 dz
z2 1 − z4
− 
0
1 1 − z4
1
2 dz
z2

 
0
1 dz
z2 1 − z4
− − 1 − z
4
z
0
1
− 2 
0
1 z2dz
1 − z4
 I, por tanto, se tiene que: s1  3a  I. Como,

0
1 dz
z2 1 − z4
 1 − z
4
z  2I  I, 0
1 dz
z2 1 − z4
 −I − 1 − z
4
z . Por todo ello se deduce que:
r→
lim r − s2 
z→0
lim a 1z − 0
1 dz
z2 1 − z4

z→0
lim a 1z  I 
1 − z4
z  aI 
z→0
lim 1z 
1 − z4
z 
 aI 
z→0
lim
1 − 1  z
4
2 . . .
z  aI 
z→0
lim z
3
2  aI, es decir que: r→
lim r − s2  aI  s13 , s1  3aI.
I 112- Se da la curva y 
4e ln xe
lnx2
. 1º) Estudiar la curva. 2º) Sea C el arco de ella que tiene por origen A,
donde atraviesa al eje OX, y por extremo B que corresponde al máximo de y. Hallar el área  comprendida
entre el arco C, el eje OX y la ordenada BD de B. 3º) Sea M un punto cualquiera del arco C. Se traza la
perpendicular MP a OX, que encuentra en N a AB. Se traza por N la paralela a OX que encuentra en R al
arco C y en Q a la paralela al eje OY trazada por A. Se lleva sobre la prolongación de PM una longitud
MS  QR. Cuando M describe el arco C, el punto S describe un arco de curva C ′ que pasa por A. Calcular
el coeficiente angular de la tangente a C ′ trazada en A. 4º) Sea ′ el área barrida por el segmento de recta
MS cuando M describe el arco C. Demostrar que existe entre  y ′ una relación numérica que subsiste
cuando se reemplaza en las construcciones precedentes, el arco C por otro arco de una curva cualquiera
que tenga los mismos extremos A y B, siempre que este nuevo arco esté situado por encima de AB y no
sea cortado en más de un punto por una paralela a cualquiera de los ejes coordenados.
Solución:
B
DA
2 4 6 8 10
-5
0
B
DA
2 4 6 8 10
-5
0
DA
2 4 6 8 10
-5
0
1º) y  4elnx −
4e
lnx2
. La curva solo existe para x ≥ 0, siendo el origen un punto de discontinuidad. . La
curva atraviesa al eje OX en el punto Ae, 0, siendo la pendiente de su tangente en este punto:
y ′  4e
xlnx2
2
lnx − 1  4. La curva alcanza su máximo en el punto Be
2,e. Tiene por asíntotas:
y  0, x  1. 2º)   4e 
e
e2 1
lnx −
1
lnx2
dx. Como,  dxlnx 
x
lnx  
dx
lnx2
, se tiene que:
317
 1lnx −
1
lnx2
dx  xlnx . Por tanto:   4e
x
lnx e
e2
 2e2e − 2. 3º) Las construcciones del
enunciado se representan en el siguiente esquema:
A P D
Q
R N
M
B
S
C
C’
β
A P D
Q
R N
M
B
S
C
C’
β
Recordando que si se sustituye en un punto de una curva, el arco por la tangente, al tender a cero el
incremento, la diferencia entre arco y tangente es un infinitésimo. Por ello, en un entorno infinitesimal
alrededor de A, se puede considerar que AM es la tangente en A, cuya pendiente es 4. Siendo: AP  ,
tan  BDAD 
e
e2 − e
 1e − 1 , se tiene que: PN  AQ 

e − 1 . Como,
AQ
QR  4, se tiene que:
QR  4e − 1 . Luego: PS  PM  MS  4  AP  QR  4 

4e − 1 . El coeficiente angular pedido
es: PSAP  4 
1
4e − 1  4,1455. 4º) Siendo: m  tan 
1
e − 1 , QR  a, PN  fa,   A
D
fada,
d′  MS  dAP, AP  PNm 
fa
m , dAP 
f ′ada
m , d
′  a  f
′ada
m , 
′  
A
D af ′ada
m 
 
A
D adfa
m 
1
m |afa|A
D − 1m A
D
fada  AD  DBm −

m 
e2 − ee
m −

m . Luego: m
′   
 e2e − 1. La relación pedida es: ′  e − 1  e2e − 12.
I 113- Se considera la envolvente de x sin − ycos  2 sin  2cos. 1º) Hallar la longitud del arco a
partir de   0. 2º) Hallar la expresión del radio de curvatura.
Solución: 1º) Derivando la ecuación dada, se tiene: xcos  y sin  2cos. De esta ecuación y de la
dada, se obtiene la envolvente: x  2  2sincos  2  sin2, y  −2cos2  −1 − cos2. Luego:
x′  2  2cos2, y′  2sin2, ds  4  4cos22  8cos2  4sin22a d  50sin 2t45 −
2
3 
 2 2  2cos2 d  4cosd.Por tanto: s  
0

4cosd  4sin. 2º) x2′′  −4sin2, y2
′′  4cos2.
De donde: R  x
′2  y ′2
3
2
x ′y ′′ − y ′x ′′
 64cos
3
81  cos2  4cos.
I 114- ¿Sobre qué curva debe hacerse girar una cardioide para que su polo describa una línea recta?
Solución: La ecuación de la cardioide referida a su polo, es:   a1  cos. Sea el eje de las X el
descrito por el polo doble. La normal a la trayectoria en O, cortará a la cardioide en A, punto de contacto
con la curva incógnita. Siendo P el origen de coordenadas, se tiene que las coordenadas de A son PO y
OA, siendo OA    a1  cos. Como las diferenciales de arco han de ser iguales, se tiene:
dx2  dy2  2  ′2d2. Sabiendo que y  a1  cos  , de donde: dy  ′d, se tiene que:
dx2  2  ′2d2 − ′2d2  2d2. Luego se tiene: dx  d  a1  cosd. Integrando:
x  a  sin  C. Por tanto, las ecuaciones buscadas son: x  a  sin  C, y  a1  cos, que
corresponden a una cicloide, en la que a es el radio del círculo generador.
I 115- Hallar las curvas cuyo radio de curvatura es proporcional al cubo de la normal.
Solución: El radio de curvatura es: R  1  y
′2
3
2
y ′′
. La normal mide: y 1  y ′2 . Luego se tiene que:
1  y ′2
3
2
y ′′
 k y 1  y ′2
3
, de donde: ky3y ′′  1. Haciendo y ′  p, y ′′  pp ′, se tiene: ky3pp ′  1, es
decir: kpdp  dy
y3
. Integrando, se tiene que: kp
2
2 
−1
2y2
 C1, es decir: kp2  −1y2
 C2, de donde:
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