PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-39

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2 4
-2
0
2
E 31- Representada en coordenadas cartesianas la función periódica y  50sint − , resulta la figura
adjunta, en la que AB  15mm, y el área limitada por el arco BCD y el eje de abscisas, mide
S  2250 mm
2. Determinar el periodo, la frecuencia y la fase de la función dada.
40 5
B
C
DA
40 5
B
C
DA
Solución: Para y  50sint −   0, t −   k, es decir: t    k . Como AB  t  15,
    k15 . Para k  0, se tiene:   15. Para k  1, se tiene: t 
  
 . Por tanto el área definida es:
S  
15

 50sint − dt  
15
15
 50sint − dt  50 cost −  15
15
  −50 cos − cos0 
 100 
2250
 , de donde  
2
45 . Por tanto: y  50sin
2t
45 − 15  50sin
2t
45 −
2
3 . Luego
la amplitud es 50, el periodo es 45, la frecuencia es 145 , y la fase es
−2
3 . El dibujo de la curva es el
siguiente:
20 40
-50
0
50
E 32- Hallar los focos de la curva y  sinx.
Solución: Siendo el foco ,, la recta y −   ix −  será tangente a la curva en el punto t, sin t.
Como la pendiente en este punto es y ′  cos t, ha de tenerse que: y −  − ix −  ≡ y − sin t − cos tx − t,
es decir: cos ti 
sin t − tcos t
 − i  1. Luego, cos t  i, sin t   2 , sin t − tcos t   − i, es decir:
 2 − iarccos i   − i (A). Para calcular z  arccos i, se tiene: cos z  e
zi  e−zi
2  i, de donde se
obtiene que: e2zi − 2iezi  1  0. Luego, ezi  1  5 i, zi  ln 1  5 i  ln i  ln 1  5 ,
z  −i ln i − i ln 1  5 . Ahora bien: e

2 2k i  cos 2  2k  i sin

2  2k  i. Luego
 2  2ki  ln i. Por tanto: z 

2  2k − i ln 1  5 . Sustituyendo en (A) este valor de z, se tiene:
 2 − i 2  2k − i ln 1  5   2 − ln 1  5 − i

2  2k   − i. Por tanto, las
coordenadas de los focos son:   2  2k,    2 − ln 1  5 .
E 33- Hallar los centros de la curva y  sinx.
Solución: Sea , un centro de la curva. Trasladando el origen de coordenadas a ,, se tiene:
115
y    sinx    sinxcos  cosx sin. Luego se tiene que: fx,y  y   − cos sinx − sincosx,
f−x,−y  −y    cos sinx − sincosx. Para que haya solución, han de anularse los coeficientes de
los términos que no cambian de signo. Por tanto:   0, sin  0. Luego hay infinitos centros, cuyas
coordenadas son: k, 0.
E 34- Dada la curva y2  4x3, hallar la curva diametral correspondiente a la dirección ,, es decir, la
curva conjugada con dicha dirección.
Solución: Sea a,b un punto cualquiera por el que pasa una recta paralela a la dirección dada, cuya
ecuación es: x  a  , y  b  . Su intersección con la curva dada, es: b  2  4a  3.
Desarrollando esta ecuación, se obtiene: 433  12a2 − 22  12a2 − 2b  4a3 − b2  0. Es
decir: 12a2 − 22  4a3 − b2   432  12a2 − 2b  0. Haciendo 2  t, se tiene:
1  2  0, donde 1  12a2 − 2t  4a3 − b2, 2  43t  12a2 − 2b. Eliminando t entre
1  0 y 2  0, se tiene: 434a3 − b2 − 12a2 − 2b12a2 − 2  0. Desparticularizando, se
tiene la ecuación pedida: 234x3 − y2 − 6x2 − y12x2 − 2  0.
E 35- Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva y  x
6
120 −
x5
60 . Dibujar la curva.
Solución: Derivando sucesivamente la ecuación dada, se tiene que: y ′  x
5
20 −
x4
12 
x4
60 3x − 5,
y ′′  x
4
4 −
x3
3 
x3
12 3x − 4, y
′′′  x3 − x2, yiv  3x2 − 2x, yv  6x − 2. a) Para y ′  0, se tienen las
raíces 0 y 53 . Para x  0, y
′′  y ′′′  yiv  0, yv  −2, luego 0,0 es un punto de inflexión, siendo su
tangente el eje OX. Para x  53 , y
′′  0, luego es un mínimo. b) Para y ′′  0, se tienen las raíces 0 y 43 .
La raíz 0 se ha estudiado más arriba. Para x  43 , y
′′′ ≠ 0, luego el punto 43 ,−0.0234 es de inflexión,
siendo la pendiente de su tangente: y ′ 43 
−64
1215 . El dibujo de la curva es el siguiente:
-2 2
0.2
0.4
E 36- Calcular las asíntotas de la curva y  3x
3 − 2x2  x  1
x2 − 3x  2
, y dibujarla.
Solución: Las raíces del denominador, son 1 y 2. Luego las asíntotas paralelas al eje YY ′, son: x  1,
x  2. Para estudiar la posición relativa de la curva respecto a x  1, se sustituye x  1  , con  → 0,
teniéndose que para   0, yc  , y para   0, yc  −. Con relación a x  2, sustituyendo x  2  ,
con  → 0, se tiene para   0, yc  , y para   0, yc  −. La curva no tiene asíntotas paralelas al
eje XX′. Para obtener la asíntota general, se realiza la división definida por la ecuación dada, teniéndose:
y  3x  7  16x . . . , luego la asíntota es: y  3x  7; como yc − ya 
16
x , se tiene yc  ya para x  ,
yc  ya para x  −. La curva corta a esta asíntota en el punto de abscisa 1316 . El dibujo de la curva es el
siguiente:
-5 5
-40
-20
20
40
116
E 37- Representar la función y  x3 − 5x2  5x − 1.
Solución: No tiene asíntotas. Tiene una rama parabólica según el eje OY en el primer cuadrante, y otra
según el eje OY ′ en el tercer cuadrante. Derivando e igualando a cero, se tiene: y ′  3x2 − 10x  5  0,
siendo sus raíces 5  103 . Para x 
5  10
3 , y
′′  0, luego es un mínimo. Para x  5 − 103 , y
′′  0,
luego es un máximo. Igualando a cero la segunda derivada, se tiene: y ′′  6x − 10  0, obteniéndose el
punto de inflexión cuya abscisa es x  53 , siendo la pendiente de su tangente
−10
3 . La curva corta al eje
XX′ en 1,0 y 2  3 ,0 , siendo las pendientes de sus respectivas tangentes, −2 y 6  2 3 . Corta al
eje YY ′ en 0,−1, siendo 5 la pendiente de su tangente. El dibujo de la curva es el siguiente:
2 4
-10
10
E 38- Calcular la asíntotas de la curva y  x
3
x − 1x − 2 , y dibujarla.
Solución: Las asíntotas paralelas al eje YY ′ son x  1, x  2. La posición de la curva respecto a x  1,
se obtiene sustituyendo x  1  , con  → 0, teniéndose para   0, y  −, y para   0, y  .
Procediendo análogamente con x  2, se tiene para   0, y  , y para   0, y  −. Realizando la
división definida en la ecuación dada, se tiene: y  x  3  7x . . . , luego la asíntota general es y  x  3.
Como yc − ya  7x , para x  , yc  ya, y para x  −, yc  ya. La curva corta a esta asíntota en el
punto de abscisa 67 . El dibujo de la curva es el siguiente:
-5 5
-20
20
E 39- Estudiar las asíntotas de la curva y  x − 1
xx − 22
, y dibujarla.
Solución: Las asíntotas paralelas al eje YY ′, son: x  0, x  2. Para estudiar la posición de la curva
respecto a x  0, se sustituye x  , con  → 0, teniéndose para   0, y  −, y para   0, y  .
Procediendo análogamente con x  2, se sustituye x  2  , con  → 0, teniéndose para   0, y  , y
para   0, y  −. Efectuando la división definida en la ecuación dada, se tiene y  1
x2
. . . , luego la
asíntota es y  0. Para estudiar la posición de la curva respecto a ella, se tiene: yc − ya  1x2
, luego para
x  , yc  ya. La curva corta a esta asíntota en el punto 1,0. El dibujo de la curva es el siguiente:
117