Deposito Algebra lineal (40)

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118 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
EJERCICIOS RESUELTOS CON MATHEMATICA 
 
M1. Indicar si los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de ℝ� y ℝ� 
respectivamente: 
a) � = ���, 
, �� ∈ ℝ�	|		2� + 
 = 3�, � − 
 = 0	�. 
b) � = ���, 
, �, �� ∈ ℝ�	|		� − 
 + 2� = �, � + 
 = 2� − 1�. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se definen las ecuaciones del subconjunto � y se comprueba si el vector nulo las satisface 
 
 
 
El vector nulo satisface las dos ecuaciones del subconjunto � por lo que � puede ser un 
subespacio vectorial. A continuación se comprueba si ∀	��, 
� ∈ � ∧ ∀	�, � ∈ ℝ	, ��� + �
� ∈ �. 
Se definen los vectores genéricos �� = ���, ��, ��� ∈ �, 
� = �
�, 
�, 
�� ∈ � y ��� + �
� 
 
 
Como los vectores �� e 
� pertenecen a �, verifican sus dos ecuaciones implícitas 
 
 
 
119 Espacio vectorial 
 
 
 
 
Se comprueba si el vector ��� + �
� también las verifica 
 
 
 
 
Como se cumplen las condiciones, el vector ��� + �
� ∈ �		y por tanto � es un subespacio 
vectorial de ℝ�. 
 
b) Se definen las ecuaciones del subconjunto � y se comprueba si el vector nulo las satisface 
 
 
120 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
El vector nulo no satisface la segunda igualdad del subconjunto � por lo que éste no es un 
subespacio vectorial de ℝ�. 
 
 
M2. Indicar si los vectores !� = �−2,1,0,1�, "� = �0,1,−2,0�, #!!� = �0,3,−2,−1�	 y �� =
�1,0,1,−1� son linealmente independientes. 
 
RESOLUCIÓN 
 
Se definen los vectores !�, ",!!!� #!!� y �	!!� 
 
Se plantea la relación de dependencia o independencia lineal 
 
Existen infinitas soluciones además de la solución trivial, �� = �� = �� = �� = 0, que 
satisfacen el anterior sistema de ecuaciones, luego los vectores son linealmente dependientes. 
 
 
M3. Dado el sistema $ = � !�, "�,#!!�� donde !� = �1,%,−2�, "� = �% + 1,0,1� y #!!� =
�2,0,2% − 1�, 
a) Calcular el valor del parámetro real % para que el sistema de vectores sea libre. 
b) ¿Puede ser el sistema $ una base de ℝ�? En caso afirmativo, hallar las coordenadas del 
vector �� = �−2,2,2� en dicha base para el valor % = −1.