Deposito Algebra lineal (75)

Vista previa del material en texto

223 Diagonalización 
 
 
El subespacio propio asociado al autovalor �� = −1− 2 es 
��( = ���,−�22 + 1��, �22 + 1���	|	� ∈ ℝ� = 〈�1,−�22 + 1�, 22 + 1�〉,	 con :;���� = 1 
Se calcula el subespacio propio asociado a � = −1 + 2 
 
 
 
��# = ��%, %, %�	|	% ∈ ℝ� = 〈�1,1,1�〉, siendo :;�� � = 1 
Finalmente, se calcula el subespacio propio asociado al autovalor �� = 2 
 
 
 
��( = ���, 0,0�	|	� ∈ ℝ� = 〈�1,0,0�〉, siendo :;���� = 1 
 
224 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
Como se ha mencionado anteriormente, la matriz � es diagonalizable y por ello se cumple la 
relación + = ,-��, 
 
 
 
 
Caso 2: 2 = 0. En este caso se obtienen dos valores propios distintos: 
<		 �� = 0		� = −1= donde :>���� = 1:>�� � = 2 
Se calculan los subespacios propios para comprobar si las multiplicidades geométricas y 
algebraicas coinciden 
 
El subespacio propio asociado al autovalor �� = 0 es 
 
 
 
Es decir, ��� = ���, 0,0�	|� ∈ ℝ� = 〈�1,0,0�〉, siendo :;���� = 1. 
De forma similar, el subespacio asociado a � = −1 es 
 
 
225 Diagonalización 
 
 
 
 
��# = ��%, ?, %�	|	?, % ∈ ℝ� = 	 〈�1,0,1�, �0,1,0�〉	, siendo :;�� � = 2 
Las multiplicidades algebraica y geométrica de los dos valores propios coinciden, con lo que la 
matriz 1 es diagonalizable. Véase que se cumple la relación + = ,-��, 
 
 
 
 
Caso 3: 2 = − � . En este caso se obtienen dos valores propios distintos 
<�� = −3/2� = −1/2= donde :>���� = 1:>�� � = 2 
Se calculan los subespacios propios correspondientes a �� y �