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10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES: NÚMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS
Las diferentes culturas han ido utilizando este alfabeto según se iban descubriendo
nuevos números.Y, hoy en d́ıa, con tan sólo diez śımbolos podemos expresar todos
los números que existen. ¿No os parece algo realmente maravilloso?
Gracias a la representación numérica, las matemáticas han podido desarrollarse me-
diante el juego con operaciones numéricas. Podemos afirmar que la única operación
matemática que existe es la operación de “contar”. Contar cada vez más deprisa,
más rápidamente. Y es aśı como nacieron la suma o adición, la multiplicación, la
potenciación. Y si contamos hacia atrás o negativamente obtenemos la resta o sus-
tración, la división y la radicación que no es más que dividir rápidamente. Para que
todas estas operaciones fueran haciéndose posibles, el concepto de número se fue
generalizando para adapatarse a los nuevos requerimientos. En primera instancia se
representaron los números naturales (N) con los que el recuento de bienes poséıdos
quedaba perfectamente simbolizado. Sin embargo, no aśı los bienes perdidos o sus-
tráıdos, dando lugar a la necesidad de representar los enteros negativos completando
el anillo de los enteros (Z). En cuanto a la repartición, no siempre resultaba posible
la división exacta dando lugar a la aparición de los números racionales(Q). Y, por
último, para representar aquellos números que no eran solución de fracción alguna
se constituyó el conjunto de los irracionales complementando aśı el cuerpo de los
números reales (R). Más, tampoco con los números reales es posible la radicación
pues, por ejemplo, la ráız cuadrada de un número negativo queda sin solución y,
por tanto, a los números ya existente hubo que añadir un conjunto de números
imaginarios hoy conocido como el cuerpo de los números complejos (C).
Esta representación numérica, que hoy es ampliamente admitida por todos los in-
dividuos, con cada nueva ampliación, “tuvo que luchar mucho tiempo contra la
resistencia inerte de la costumbre”(Rey Pastor, Análisis matemático).
El matemático, gracias al simbolismo de la numeración, de las operaciones y de las
relaciones entre los números, dispone de una lengua sumamente sencilla con la cual
realizar los descubrimientos más asombrosos. Laplace, gran matemático y astrónomo
francés, dice: “Es a la India que debemos el ingeniosos método para expresar todos
los números por medio de diez śımbolos, cada uno de los cuales, además de tener un
valor absoluto (representado por su figura) tiene un valor por la posición que ocupa;
es una idea profunda e importante que de tan sencilla como nos parece ahora, hace
que no nos demos cuenta de su valor real; pero su gran sencillez y la enorme facilidad
que da para todos los cálculos sitúa nuestra aritmética en la primera fila de los
grandes inventos útiles. Y apreciaremos todav́ıa mejor la importancia de esta idea
capital si tenemos presente que se escapó a los genios de Arqúımedes y Apolonio,
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dos de los hombres más eminentes que nos dio la Antigüedad”.
Ejercicios
1. Expresar en forma exponencial los números complejos siguientes:
(a) 4− 4i . (b)
√
3 + 3i . (c) 6 + 2
√
3i .
Solución:
a) z = 4− 4i, r =
√
16 + 16 = 4
√
2
cosα =
4
4
√
2
=
√
2
2
senα = − 4
4
√
2
= −
√
2
2
⇒ α = 2π −
π
4
=
7π
4
.
=⇒ z = 4
√
2ei
7π
4 .
b) z =
√
3 + 3i, r =
√
3 + 9 = 2
√
3
cosα =
√
3
2
√
3
=
1
2
senα =
3
2
√
3
=
√
3
2
⇒ α =
π
3
.
=⇒ z = 2
√
3ei
π
3 .
c) z = 6 + 2
√
3i, r =
√
36 + 12 = 4
√
3
cosα =
6
4
√
3
=
√
3
2
senα =
2
√
3
4
√
3
=
1
2
⇒ α =
π
6
.
=⇒ z = 4
√
3ei
π
6 .
— — —
12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES: NÚMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS
2. Escribir en forma binómica los números complejos siguientes:
(a) 6eiπ/4 , (b) 4e−πi/3 , (c) 5eπi .
Solución:
a) z = 6ei
π
4 ⇒ r = 6, α = π
4
z = r(cosα + isenα) = 6(cos
π
4
+ isen
π
4
) = 3
√
2 + 3
√
2i.
b) z = 4e−i
π
3 ⇒ r = 4, α = −π
3
z = r(cosα + isenα) = 4(cos−π
3
+ isen − π
3
) = 2− 2
√
3i.
c) z = 5eiπ ⇒ r = 5, α = π
z = r(cosα + isenα) = 5(cos π + isen π) = −5.
— — —
3. Calcular:
(a) (2 +
√
3i)5. (b) (1 + i)6.
Solución:
a)
(2 +
√
3i)5 =(
5
0
)
25 +
(
5
1
)
24
√
3i+
(
5
2
)
23(
√
3i)2 +
(
5
3
)
22(
√
3i)3 +
(
5
4
)
2(
√
3i)4 +
(
5
5
)
(
√
3i)5 =
(32− 240 + 90) + (−120
√
3 + 80
√
3 + 9
√
3)i = 118− 31
√
3i.
b)
(1 + i)6 = (
√
2(cos
π
4
+ isen
π
4
))6 = (
√
2)6(cos
6π
4
+ isen
6π
4
) = −8i.
— — —
4. Calcular:
√
(1 +
√
3i)60
(−1 + i)20
.