Álgebra Lineal Mora (90)

Vista previa del material en texto

Capítulo 3. Espacios vectoriales
75
La fi gura 3.12 ilustra la situación a discutir.
Notemos que la distancia de P a L es la norma del vector X, entonces debemos 
calcular ��X ��.
Sin perder generalidad, podemos suponer que AB � 0, pues si alguno de A o B es 
cero, la recta es vertical u horizontal y el problema se resuelve fácilmente.
Para determinar la norma de X, construimos un vector en la dirección de L; por 
ejemplo, U � (B, �A) tiene esta condición, pues la pendiente de este vector es la mis-
ma que la de L. El extremo del vector W � (0, �C/B) se encuentra en la recta L, pues 
sus coordenadas satisfacen la ecuación Ax 	 By 	 C � 0. El vector P1 � P � W se 
expresa como P1 � X 	 λU, pues el segundo sumando es la proyección de P1 sobre
U. Sabemos que el valor de λ es: λ � 
��U ��2
〈 〉P U1 , . Como X y λU son perpendiculares, apli-
cando el Teorema de Pitágoras se obtiene:
 ��P1��
2 � ��X ��2 	 ��λU ��2 � ��X ��2 	 �λ �2��U ��2 (3.10)
Por otro lado, tenemos que las coordenadas de P1 son (x0, y0 	 C/B). De la ecuación 
anterior, usando coordenadas, y sustituyendo el valor de λ se tiene:
��X ��2 � x20 	 (y 	 C/B)
2 � 
Bx A y C B
A B
A B0 0
2
2 2 2
2 2� 	 �
	
	
( )
( )
( )
⎡⎣ ⎤⎦
� x20 	 (y 	 C/B)
2 � 
Bx A y C B
A B
0 0
2
2 2
� 	 �
	
( )
( )
⎡⎣ ⎤⎦
� x20 	 
( )( ) ( ) (A B y C B B x ABx y C B A y C2 2 0
2 2
0
2
0
2
02	 	 � � � 	 � 	 	 ��
	
B
A B
)2
2 2
⎡⎣ ⎤⎦
� 
x A B A y C B B y C B
A B
0
2 2 2 2
0
2 2
0
2
2 2
( ) ( ) ( )	 	 	 � 	 	 �
	
	 
� 	 	 � � 	 �
	
B x ABx y C B A y C B
A B
2
0
2
0 0
2
0
2
2 2
2 ( ) ( )
� 
A x By C Ax By C
A B
2
0
2
0
2
0 0
2 2
2	 	 	 	
	
( ) ( )
� 
( )Ax By C
A B
0 0
2
2 2
	 	
	
De esta ecuación se llega a:
 ��X �� � 
Ax By C
A B
0 0
2 2
	 	
	
 (3.11)
que es la bien conocida fórmula que expresa la distancia de la recta de ecuación Ax 	 
By 	 C � 0 al punto P � (x0, y0).
75