Álgebra Lineal Mora (116)

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Capítulo 4. Transformaciones lineales y matrices
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Una forma de verifi car que la función propuesta satisface los requerimientos, es 
evaluar en puntos de la recta, es decir calcular T(x, 2x). De acuerdo con la descripción 
para T, se tiene:
 T(x, 2x) � 
1
5 
(�3x 	 4(2x), 4x 	 3(2x)) � 
1
5
 (5x 	 10x) � (x 	 2x)
como se esperaba.
La ecuación 4.4 muestra que una refl exión del plano en el plano queda determi-
nada por un vector no cero u, de manera equivalente, por una recta que pasa por el 
origen. Esta idea se puede extender a R3 o en general a Rn, pues para defi nir una re-
fl exión como la descrita por la ecuación 4.4, tomamos u � (a1, a2, ..., an) ∈ R
n no cero. 
El “plano”, W en Rn, es aquel cuyos elementos v � (x1, x2, ..., xn) ∈ W satisfacen:
T v v
v u
u u
u v( )
,
,
� � �2
Alternativamente, los elementos de W satisfacen la ecuación homogénea:
 〈v, u〉 � a1x1 	 a2x2 	 · · · 	 anxn � 0 (4.5)
cuyo conjunto solución es precisamente W, el cual resulta ser un subespacio de dimen-
sión n � 1; demuéstrelo como ejercicio.
 b) Rotaciones. Dado un vector u, se tiene u � r(cos(θ), sen(θ)), con r la norma de 
u y θ el ángulo que forma con el eje x. Si u es rotado un ángulo ω y denotamos 
por Tω(u) al resultado de aplicar tal rotación, en notación de funciones se tiene.
 Tω(u) � r(cos(θ 	 ω), sen(θ 	 ω)) � u’
Haciendo uso de las identidades trigonométricas:
 sen(θ 	 ω) � sen(θ) cos(ω) 	 sen(ω) cos(θ)
 cos(θ 	 ω) � cos(θ) cos(ω) � sen(θ) cos(ω)
la expresión para Tω(u) es:
 Tω(u) � r(cos(θ 	 ω), sen(θ 	 ω))
 � r(cos(θ) cos(ω) � sen(θ)sen(ω), sen(θ) cos(ω) 	 sen(ω) cos(θ))
Si representamos al vector Tω(u) en forma de columna, la ecuación anterior se ex-
presa como:
 T u
r
ω
ω ω
ω ω
( )
cos( ) ( )
( ) cos( )
c
�
�sen
sen
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
oos( )
( )
θ
θr sen
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ (4.6)
 A la matriz:
 Rω
ω ω
ω ω
�
�cos( ) ( )
( ) cos( )
sen
sen
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ (4.7)
le llamaremos la matriz que representa a la rotación Tω.
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