Apuntes algebra lineal y geometria vega (95)

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3.4. ENDOMORFISMOS NILPOTENTES. FORMA CANÓNICA DE JORDAN 91
Definición 3.4.1
Un endomorfismo f : V ! V se dice nilpotente de ı́ndice l si su polinomio mı́nimo es X l.
En los siguientes ejemplos se aborda este concepto.
Ejemplo 3.4.1
• El endomorfismo f de R4 definido por f(e1) = 0, f(e2) = e1, f(e3) = e2, f(e4) = 0 es nilpotente
de ı́ndice 3.
• La matriz
A =
0
@
1 1 0
0 0 1
�1 �1 �1
1
A
define en R3 un endomorfismo nilpotente de ı́ndice 3.
• Si f es un endomorfismo nilpotente de ı́ndice l entonces existe un vector v 2 V tal que v 62
ker(f l�1). También en este caso se verifica que Im(f l�1) ⇢ ker(f)
A continuación vamos a tratar de describir los métodos que permiten hallar las formas canónicas
de Jordan para matrices 2 ⇥ 2 y 3 ⇥ 3, o lo que es equivalente, para endomorfismos definidos sobre
espacios de dimensión 2 o 3. En todos los casos se supondrá que el polinomio caracteŕıstico tiene todas
sus ráıces sobre el cuerpo base.
En una primera aproximación, señalemos que una matriz (aij) se dice que tiene forma de Jordan
si verifica: aij = 0 si j 6= i, i + 1, y aii+1 = 0 o 1 (los elementos de la diagonal principal serán, como
es obvio, los autovalores correspondientes). Es claro que la forma de Jordan de un endomorfismo
diagonalizable es precisamente su forma diagonal.
Caso 1. f : V ! V con dim(V ) = 2
1. Si Pf (X) = (X � ↵)(X � �) = mf (X) = (X � ↵)(X � �), f es diagonalizable y sabemos que la
base “buena” es la de vectores propios.
2. Si Pf (X) = (X � ↵)2, puede suceder que
(a) mf (X) = (X � ↵) en cuyo caso f = ↵I y no hay nada que hacer, o bien
(b) mf (X) = (X � ↵)2. En esta situación V = ker(f � ↵I)2, y g = f � ↵I es nilpotente de
ı́ndice 2. Se puede elegir entonces un vector v 2 V tal que v 62 ker(g). El conjunto
B = {g(v), v}
es una base de V (su independencia basta por ser dim(V ) = 2):
ag(v) + bv = 0 ) ag2(v) + bg(v) = 0 )
) b = 0 (puesto que g2(v) = 0 y g(v) 6= 0) ) a = 0.
Entonces:
MB(f) = MB(g) +MB(↵I) =
✓
0 1
0 0
◆
+
✓
↵ 0
0 ↵
◆
=
✓
↵ 1
0 ↵
◆
es la forma de Jordan de f .