Apuntes algebra lineal y geometria vega (96)

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92 LECCIÓN 3. LA TEORÍA DEL ENDOMORFISMO
Caso 2. f : V ! V con dim(V ) = 3
1. Si Pf (X) = (X � ↵)(X � �)(X � �) = mf (X), f es diagonalizable.
2. Si Pf (X) = (X � ↵)2(X � �), puede suceder que
(a) mf (X) = (X � ↵)(X � �), y siendo aśı f es diagonalizable.
(b) mf (X) = (X � ↵)2(X � �). En esta situación consideramos los subespacios f -invariantes,
y suplementarios, V1 = ker(f � ↵I)2, y V2 = ker(f � �I). La dimensión de V1 es 2, y se
puede actuar en él, teniendo en cuenta el endomorfismo f1 restricción de f , como se haćıa
en el punto 2b del caso 1. Si
B = {g(v), v, w}
(v 2 V1 pero v 62 ker(f1 � ↵I), y w 2 V2) entonces
MB(f) =
0
@
↵ 1 0
0 ↵ 0
0 0 �
1
A
es la forma de Jordan de f .
3. Si Pf (X) = (X � ↵)3, pueden aparecer las siguientes situaciones:
(a) mf (X) = (X � ↵), caso trivial por cuanto f = ↵I.
(b) mf (X) = (X �↵)2. El endomorfismo g = f �↵I, es nilpotente de ı́ndice 2. Se puede elegir
entonces un vector v 2 V tal que v 62 ker(g), y un vector w 2 ker(g) � Im(g) (puesto que
Im(g) ⇢ ker(g) pero no coinciden por ser 3 = dim(V ), un número impar). Un razonamiento
en la linea del realizado en el punto 2b del caso 1 prueba que el conjunto
B = {w, g(v), v}
es base de V y que MB(f) =
= MB(g) +MB(↵I) =
0
@
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1
A+
0
@
↵ 0 0
0 ↵ 0
0 0 0
1
A =
0
@
↵ 0 0
0 ↵ 1
0 0 ↵
1
A
es la forma de Jordan de f .
(c) mf (X) = (X � ↵)3. Ahora g = f � ↵I, es nilpotente de ı́ndice 3, lo que nos permite hallar
un vector v 2 V tal que v 62 ker(g2). La demostración de que
B = {g2(v), g(v), v}
es base de V , sigue un esquema similar al ya usado en 2b (dentro del caso 1) y, en este
caso, MB(f) =
= MB(g) +MB(↵I) =
0
@
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1
A+
0
@
↵ 0 0
0 ↵ 0
0 0 0
1
A =
0
@
↵ 1 0
0 ↵ 1
0 0 ↵
1
A
es la forma de Jordan de f .