Apuntes algebra lineal y geometria vega (20)

Vista previa del material en texto

16 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
2. Sea S el subespacio generado por v1 y v2, ¿es cierto que S = {(a, b, b, a) : a, b 2 R}?
3. Dar un vector w que no esté en S y probar que {v1, v2, , w} es una parte libre de R4.
4. Sea T el subespacio generado por el conjunto de vectores {v1, v2, w} del apartado anterior. Hallar
un vector u no perteneciente a T y probar que R4 = h{v1, v2, w, u}i.
Ejercicio 1.3.1.2
Sea G el siguiente conjunto de vectores del R-espacio vectorial R4:
G = {v1 = (1,�1, 0, 1), v2 = (1, 1, 2, 1), v3 = (1, 0, 1, 1), v4 = (4, 1, 5, 4)}
1. Comprobar que G es ligada, y eliminar de G el menor número de vectores posible para llegar a
una familia libre L.
2. ¿Es cierto que hGi = hLi?
3. ¿Cuál es el número máximo de vectores linealmente independientes que hay en hLi?
4. Añade a L cuantos vectores sean necesarios para llegar a una familia libre F tal que R4 = hF i
Ejercicio 1.3.1.3
Sea C el cuerpo de los números complejos y R el de los reales. Se consideran los espacios vectoriales
siguientes:
(C2,+, ·C) (C2,+, ·R)
1. Comprobar que (1� i)(1 + i, 2i) + (�2)(1, i+ 1) = (0, 0)
2. En (C2,+, ·C), ¿los vectores (1 + i, 2i) y (1, i+ 1) son linealmente independientes? ¿Por qué?
3. En (C2,+, ·R), ¿los vectores (1 + i, 2i) y (1, i+ 1) son linealmente independientes? ¿Por qué?
Ejercicio 1.3.1.4
En R2 se consideran los conjuntos de vectores:
B = {(0, 1), (2, 1)} y B0 = {(2, 2), (2,�1)}
1. Probar que B es base de R2.
2. Escribir, si es posible, cada vector de B en función de B0.
3. ¿Si v es combinación lineal de B, v es combinación lineal de B0?
4. ¿Es B0 sistema generador de R2? ¿Es B0 base de R2?
5. Dar una representación gráfica de B y de B0 y de la forma de expresar el vector v = (3,�4) en
función de cada una de esas familias de vectores.
Ejercicio 1.3.1.5
En R2 se considera el siguiente conjunto de vectores:
G = {(x, y) 2 R2 : �3  x  1, y = 1}
1. ¿Es G es subespacio de R2?