Apuntes algebra lineal y geometria vega (23)

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1.4. SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA 19
Figura 1.5: Combinación lineal de vectores de U1 [ U2 que no está en U1 [ U2
Proposición 1.4.1
Sea V un K-espacio vectorial y U1 y U2 subespacios vectoriales de V . Entonces:
U1 + U2 = {v1 + v2 : v1 2 U1, v2 2 U2}
Análogamente para s subespacios de V se tiene:
U1 + U2 + . . .+ Us = hU1 [ U2 [ . . . [ Usi
y es muy sencillo demostrar:
U1 + U2 + . . .+ Us = {v1 + v2 + . . .+ vs : v1 2 U1, v2 2 U2 . . . , vs 2 Us}
De la definición de U1 + U2 se deduce claramente que siempre se verifica la siguiente desigualdad
dim(U1 + U2)  dim(U1) + dim(U2)
ya que la unión de dos bases B1 y B2 de U1 y U2 nos proporciona, a lo sumo, un sistema de generadores
de U1 + U2. No es dif́ıcil probar la siguiente equivalencia
B1 [ B2 base de U1 + U2 () U1 \ U2 = {0}
que también puede expresarse como
dim(U1 + U2) = dim(U1) + dim(U2) () U1 \ U2 = {0}
equivalencia que motiva la definición de suma directa de dos subespacios y la introducción de la
fórmula de Grasmann que proporciona la relación existente entre las dimensiones de los subespacios
U1, U2, U1 + U2 y U1 \ U2.
Definición 1.4.1
Sea V un K-espacio vectorial y U1 y U2 subespacios vectoriales de V . Se dice que la suma de U1 y U2,
U1 + U2, es directa si U1 \ U2 = {0}. En tal caso escribiremos U1 + U2 = U1 � U2