Apuntes algebra lineal y geometria vega (25)

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1.4. SUMA E INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA 21
• Sea M el conjunto de matrices 2⇥ 3 con coeficientes reales, y U y W los subespacios siguientes.
U = {M =
✓
a11 a12 a13
a21 a22 a23
◆
2 M : 2a11 + a22 = a23}
W = {M 2 M : M
0
@
1 2
1 �1
0 0
1
A =
✓
0 0
0 0
◆
}
Es fácil deducir que una base de U es
BU = {
✓
1 0 0
0 0 2
◆
,
✓
0 1 0
0 0 0
◆
,
✓
0 0 1
0 0 0
◆
,
✓
0 0 0
1 0 0
◆
,
✓
0 0 0
0 1 1
◆
}
y una base de W es
BW = {
✓
0 0 1
0 0 0
◆
,
✓
0 0 0
0 0 1
◆
}
Utilizando las bases obtenidas uno puede comprobar que
U \W =< {
✓
0 0 1
0 0 0
◆
>
De la fórmula de las dimensiones, se deduce que U +W = M.
• Se considera el R-espacio vectorial V = R6 , y los siguientes subespacios de V :
U = {(x, y, z, r, s, t) 2 R6 : x+ y + z = 0, r + s+ t = 0}
W = {(x, y, z, r, s, t) 2 R6 : x� y = 0, x� z = 0, r � s = 0, r � t = 0}
Puesto que un vector v = (x, y, z, r, s, t) 2 U \W si y sólo si
x+ y + z = 0, r + s+ t = 0, x� y = 0, x� z = 0, r � s = 0, r � t = 0
podemos deducir que el único vetor que está en U \W es el vector nulo.
Una base de U es
BU = {(1,�1, 0, 0, 0, 0), (1, 0,�1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1,�1, 0), (0, 0, 0, 1, 0,�1)}
Una base de W es
BW = {(1, 1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1, 1)}
La fórmula de Grasmann nos asegura que la dimensión de U +W es 6, y que dicho subespacio
es por tanto todo R6. Como U \W = {0}, R6 = U �W .
• En el R-espacio vectorial R4 se consideran los subespacios
W = {(x, y, z, t) 2 R4 : x+ y + z = 0, t = 0}
U = {(2a,�a+ b,�a+ 3b, 0) : a, b 2 R}
Un vector v que esté tanto en U como en W , verificará 2a + (�a + b) + (�a + 3b) = 0, y se
tendrá que
v 2 U \W () v = a(2,�1,�1, 0)
esto es, U \ W =< {(2,�1,�1)} >. Para hallar una base de U + W consideramos una de
U \ W y la ampliamos sucesivamente a una de U y a una de W . Aśı una base de U + W es
B = {((2,�1,�1), (0, 1,�1, 0), (0, 1, 3)}.