Clase_9

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Matemáticas II
Clase 9: Base y dimensión
Jorge Rivera
19 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 95 a 102
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Agenda
Objetivos de la clase
Base de un espacio vectorial (Rn)
Dimensión de un espacio vectorial (Rn)
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de base de Rn (de espacio vectorial en general)
• Conocer el concepto de dimensión de Rn (de espacio vectorial en
general)
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Base de un espacio vectorial (Rn)
Generación
Definición
Dado un espacio vectorial V ⊆ Rn (en particular Rn), diremos que un
conjunto {X1,X2, · · · ,Xk} genera el sev V si todos los elementos de V
se pueden escribir como combinaciones lineales de los vectores
X1,X2, · · · ,Xk .
• En otras palabras: {X1,X2, · · · ,Xk} genera el sev V ⊆ Rn śı y solo śı
para todo X ∈ V existen α1, α2, . . . , αk ∈ R tales que
X = α1X1 + α2X2 + · · ·+ αkXk .
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Ejemplo
Veamos si los vectores
X1 =
(
1
2
)
∈ R2 ∧ X2 =
(
2
3
)
∈ R2
generan R2. Para eso, dado
X =
(
x1
x2
)
∈ R2
nos preguntamos si existen escalares α1 y α2 tal que X = α1X1 + α2X2,
es decir,(
x1
x2
)
= α1
(
1
2
)
+ α2
(
2
3
)
⇒
(
x1
x2
)
=
(
α1 + 2α2
2α1 + 3α2
)
• Ya que X es dado, el problema es determinar si existen los coeficientes
α1 y α2, por lo que esas son las incógnitas del problema. Por lo
anterior, se debe cumplir que
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(i) : x1 = α1 + 2α2 ∧ (ii) : x2 = 2α1 + 3α2.
• De (i) tenemos que α1 = x1 − 2α2. Eso en (ii) implica que
x2 = 2 (x1 − 2α2) + 3α2 ⇒ α2 = 2x1 − x2 ∧ α1 = −3x1 + 2x2.
• Los vectores X1 y X2 generan R2.
• Por ejemplo, para el vector
X =
(
7
9
)
se tiene que
α1 = −3 ∗ 7 + 2 ∗ 9 = −3 ∧ α2 = 2 ∗ 7− 9 = 5
por lo que (
7
9
)
= −3
(
1
2
)
+ 5
(
2
3
)
.
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Ejemplo
Veamos que los vectores
X1 =
(
1
0
)
∈ R2, X2 =
(
0
1
)
∈ R2 ∧ X3 =
(
1
1
)
∈ R2
generan R2. Para eso, dado X =
(
x1
x2
)
∈ R2 nos preguntamos si existen
escalares α1, α2 y α3 tales que X = α1X1 + α2X2 + α3X3, es decir,(
x1
x2
)
= α1
(
1
0
)
+ α2
(
0
1
)
+ α3
(
1
1
)
⇒
(
x1
x2
)
=
(
α1 + α3
α2 + α3
)
• Lo anterior es equivalente a:
(i) : x1 = α1 + α3 ∧ (ii) : x2 = α2 + α3
De (i) tenemos que α3 = x1 − α1, y de (ii) tenemos que
x2 = α2 + (x1 − α1), es decir,
α2 = α1 + x2 − x1. 7
• ¿Cómo leemos lo anterior? Que α1 es arbitrario y que, dado ese valor,
α2 = α1 + (x2 − x1) ∧ α3 = x1 − α1.
• Aśı, por ejemplo, para construir el vector X = (x1, x2)t (arbitrario)
podemos escoger
α1 = 5, α2 = 5 + (x2 − x1) α3 = x1 − 5
de modo que(
x1
x2
)
= 5
(
1
0
)
+ (5 + (x2 − x1))
(
0
1
)
+ (x1 − 5)
(
1
1
)
.
• Existen infinitas formas de escoger los coeficientes α1, α2, α3 para que
se cumpla lo indicado. Los vectores X1,X2,X3 generan R2.
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Base
• Note que los conjuntos{(
1
2
)
,
(
2
3
)}
∧
{(
1
0
)
,
(
0
1
)
,
(
1
1
)}
generan R2.
• Sin embargo, el primero es un conjunto l.i, mientras que el segundo es
un conjunto l.d.
Definición
Un conjunto de vectores {X1,X2, . . . ,Xk} es una base de Rn (o, en
general, de un sev V ) si se cumple que:
(a) {X1,X2, . . . ,Xk} genera Rn
(b) {X1,X2, . . . ,Xk} es un conjunto l.i.
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Dimensión de un espacio
vectorial (Rn)
Resultado fundamental
• Nota: Rn puede tener muchas bases.
Ejemplo
Para R2, {(
a1
a2
)
,
(
b1
b2
)}
tal que a1b2 − a2 b1 6= 0 (para que sean l.i) es una base de R2:(
x1
x2
)
= α1
(
a1
a2
)
+ α2
(
b1
b2
)
⇒
α1 =
b2x1 − b1x2
a1b2 − a2b1
∧ α2 =
a1x2 − a2x1
a1b2 − a2b1
• R2 tiene entonces infinitas bases.
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Ejemplo
• Las bases de R2 no pueden tener ni uno, ni tres o más elementos.
• No puede tener un elemento ya que con un vector se genera una
recta (por el origen), que no coincide con R2.
• No puede tener 3 elementos ya que con dos vectores l.i se genera
todo R2, de modo que un tercero seŕıa l.d con esos dos.
• No puede tener más de tres por el argumento anterior.
• Conclusión: todas las bases de R2 tiene exactamente dos
elementos.
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Teorema fundamental
Teorema
Todas las bases de Rn tienen exactamente n elementos. Esa cantidad se
llama dimensión del espacio vectorial:
dim(Rn) = n.
• Consecuencias de lo anterior:
(a) Todo conjunto de Rn que tiene más de n elementos es l.d.
(b) Todo conjunto de k vectores de Rn, con k < n, no genera Rn.
(c) Si un conjunto {X1,X2, . . . ,Xk} genera Rn entonces k ≥ n. Más
aún, de él se pueden extraer n vectores l.i.
(d) Si un conjunto {X1,X2, . . . ,Xk} es l.i, entonces k ≤ n.
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Ejemplo
¿Cómo “demostrar” que cierto conjunto de vectores
{X1,X2, . . . ,Xk}
es una base de Rn?
• Primero, verificar que k = n.
• Segundo, sabiendo que k = n, uno verificar si ese conjunto es l.i: si lo
fuese entonces es una base.
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Ejemplo
La base canónica de Rn está conformada por los vectores e1, e2, . . . , en
donde
e1 =

1
0
...
0
 , e2 =

0
1
...
0
 , . . . , en =

0
0
...
1
 :
el vector ek ∈ Rn tiene 1 en la componente k , y el resto de sus
componentes es cero.
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Ejemplo
• La dimensión de una recta por el origen es 1.
• La dimensión de un plano por el origen es 2.
• La dimensión de un hiperplano en Rn es n − 1.
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Último resultado
Supongamos que {X1,X2, . . . ,Xn} es una base de Rn. Entonces, (i) ese
conjunto genera Rn y (ii) ese conjunto es l.i.
• Generación: para todo X ∈ Rn existen escalares α1, α2, . . . , αn tal que
X =
n∑
i=1
αi Xi .
• Supongamos que esos escalares no son únicos, es decir, que existen
otros escalares β1, β2, . . . , βn tal que
X =
n∑
i=1
βi Xi .
• Se tiene entonces que
X −X =
(
n∑
i=1
αi Xi
)
−
(
n∑
i=1
βi Xi
)
= 0n ⇐⇒
n∑
i=1
(αi −βi ) Xi = 0n
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• Como {X1,X2, . . . ,Xn} es l.i, para todo i = 1, . . . , n se tiene que
n∑
i=1
(αi − βi ) Xi = 0n ⇒ (αi − βi ) = 0 ⇒ αi = βi
• Conclusión: Todo vector X ∈ Rn se escribe de manera única como
combinación lineal de los elementos de la base.
• Los escalares correspondientes se llaman coordenadas de X c.r a la
base en cuestión.
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	Objetivos de la clase
	Base de un espacio vectorial (Rn)
	Dimensión de un espacio vectorial (Rn)