Apuntes algebra lineal y geometria vega (26)

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22 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
1.4.1 Ejercicios
Ejercicio 1.4.1.1
Se consideran los vectores de R3 siguientes v1 = (2, 4, 6), v2 = (�1, 2, 1), v3 = (�8,�8,�16) y
v4 = (6, 4, 10).
1. ¿Es la familia de vectores anterior libre? ¿Es base de R3?
2. ¿Se puede obtener una base de R3 eliminando alguno de los vectores vi? ¿Es el vector (1, 0, 0)
combinación lineal de la familia (v1, v2, v3, v4)?
3. Sea S = h{v1, v2, v3, v4}i. Determina un subespacio T de R3 tal que R3 = S � T .
Ejercicio 1.4.1.2
Sean U y W los subespacios de R4 siguientes:
U = {(x, y, z, t) 2 R4 : x+ 2y + 3z = 0, 3y + 2z + t = 0}
W = h{(�4, 1, 1, 0), (�1, 0, 0,�5)}i
1. Demostrar que BU = {(�2, 1, 0,�3), (�3, 0, 1,�2)} es una base de U .
2. Hallar una base de W .
3. Sea v un vector de R4 de la forma (�4↵ � �,↵,↵,�5�) tal que ↵ � � = 0. ¿Puede decirse que
v 2 U \W?
4. Deducir que U \W = h{(�5, 1, 1,�5)}i.
5. Hallar una base de U +W , pero antes de obtenerla determinar dim(U +W ).
Ejercicio 1.4.1.3
Se considera el R-espacio vectorial V = R3 y los siguientes subespacios
U = h{(1, 1, 2), (3, 4, 0)}i, W = {(x, y, z) 2 V : x = 0, 6y + z = 0}
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
1. U \W = {~0}
2. W ⇢ U
3. U +W = R3
4. U = W
Ejercicio 1.4.1.4
En el R-espacio vectorial R5
1. Dar una base de R5 distinta de la base canónica.
2. Dar dos subespacios U y W de R5 tales que dim(U) = 2, dim(W ) = 3 y U \W 6= {0}.
3. Hallar una base de U +W .
4. Hallar un subespacio T de R5 tal que (U +W )� T = R5.