Apuntes algebra lineal y geometria vega (31)

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1.5. PROBLEMAS DE ESPACIOS VECTORIALES 27
• Establece una combinación lineal nula de los vectores {2�X, 1 +X2, X +X3, 1, X2} en la que
no todos los escalares de la misma sean cero.
• Dı́ si es verdadera o falsa la afirmación siguiente:
Si en un K - espacio vectorial V , S = {v1, v2, . . . , vp} y T = {w1, w2, . . . , wq} son sis-
temas libres y todo vector de T es linealmente independiente de S entonces el conjunto
S [ T es un sistema libre.
Problema 1.5.9
Considera los siguientes subconjuntos de R4
S = {(5,�2, 3, 4), (1, 0,�1, 0), (7,�3, 5, 6)}
T1 = {(1, 0, 0, 0), (1,�1, 1,�1), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}
T2 = {(6,
�5
2
, 4, 5), (11,�3, 1, 6), (13
2
,
�5
2
,
7
2
, 5), (�3, 1,�1,�2)}
1. Determina una base B del subespacio generado por S.
2. Extiende el conjunto B hallado anteriormente a una base de R4 añadiendo, si es posible, vectores
de T1.
3. Realiza el mismo ejercicio que en el apartado anterior pero teniendo en cuenta T2.
Problema 1.5.10
Sea V el R–espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que 3.
En V se consideran los siguientes subconjuntos:
W = {p(X) 2 V : p0(0) = 0} y T = {p(X) 2 V : p00(1) = 0}
donde p0(X) y p00(X) representan, respectivamente, la derivada primera y la derivada segunda del
polinomio p(X).
a) Demuestra que W y T son subespacios vectoriales de V .
b) Determina bases de W y T , aśı como del subespacio W \ T .
c) Determina, si existe, una base de un subespacio U tal que U � (W \ T ) = V .
Problema 1.5.11
Se considera el R–espacio vectorial V = R5.
a) Da un subespacio vectorial U de V de dimensión 2.
b) Da dos subespacios distintos W y W 0 de V tales que V = W � U y V = W 0 � U .