Apuntes algebra lineal y geometria vega (32)

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28 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
c) Para los subespacios que hayas dado en b), determina W \W 0.
d) ¿En algún caso hubieras podido encontrar subespacios W y W 0 con las condiciones de b) y
W \W 0 = {0}?
Problema 1.5.12
En R3 se considera la base canónica {e1, e2, e3}, y los subespacios W = h{e1, e2}i, W 0 = h{e3}i y
W 00 = h{e2 + e3}i.
a) Prueba que R3 = W +W 0 +W 00 y W \W 0 = W \W 00 = W 0 \W 00 = {0}.
b) ¿Es R3 = W �W 0 �W 00?
Problema 1.5.13
En el R-espacio vectorial R4 se consideran dos subespacios U y W tales que dimU = r � 1 y
dimW = s � 1. Determinar todos los posibles valores de r y de s para que la suma U +W pueda ser
directa.
Problema 1.5.14
Considera los subespacios de R3 siguientes.
S = h{(1, 1, 2), (1,�1, 3)}i y T = {(a, 3a� 2b, a+ b) : a, b 2 R}
Determina bases de S, T , S \ T y S + T . ¿Es R3 = S � T?
Problema 1.5.15
18 Sea V un espacio vectorial n-dimensional y W y W 0 dos subespacios de V .
• Supuesto que W \W 0 = {0}
1. Demuestra que existe un subespacio U tal que V = U +W . Dicho subespacio U , ¿es único?
2. ¿Existe un subespacio U tal que V = W � U y W 0 ⇢ U?
3. ¿Existe un subespacio W 00 tal que V = W �W 0 �W 00?
• Si V = W +W 0. Prueba que V = W �W 0 si y sólo si dimV = dimW + dimW 0.
Problema 1.5.16
Sea Mn(R) el R–espacio vectorial de matrices n⇥ n con coeficientes reales.
a) Demuestra que el conjunto W formado por todas las matrices (aij) tales que aij = 0 para i > j
es un subespacio de Mn(R).