Apuntes algebra lineal y geometria vega (34)

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30 LECCIÓN 1. ESPACIOS VECTORIALES
a) ¿Es la familia de vectores anterior libre? ¿Es base de R3?
b) ¿Se puede obtener una base de R3 eliminando alguno de los vectores vi? ¿Es el vector (1, 0, 0)
combinación lineal de la familia (v1, v2, v3, v4)?
c) Sea S = h{v1, v2, v3, v4}i. Determina un subespacio T de R3 tal que R3 = S � T .
Problema 1.5.22
Una matriz 3⇥ 3 con coeficientes reales
0
@
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
1
A
se dice que es un cuadrado mágico si la suma de todos los términos de cada una de las filas y de cada
una de las columnas es un mismo número s.
1. Reescribe las condiciones para un cuadrado mágico como un sistema de ocho ecuaciones en
función de s, ai, bi, ci con 1  i  3, y aplica el algoritmo de Gauss a dicho sistema.
2. Prueba que 3b2 = s.
3. Reemplaza las estrellas por números para convertir la siguiente matriz en un cuadrado mágico.
0
@
? 1 ?
? ? ?
2 ? 4
1
A
4. Demuestra que los cuadrados mágicos forman un subespacio del R–espacio vectorial de las matri-
ces reales 3⇥ 3. Prueba que una base de dicho subespacio está dada por las matrices siguientes.
0
@
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
A
0
@
1 �1 0
�1 0 1
0 1 �1
1
A
0
@
0 1 �1
�1 0 1
1 �1 0
1
A
5. Probar que toda matriz 0
@
a1 a2 a3
? ? ?
? ? ?
1
A
puede convertirse en un cuadrado mágico. ¿Hay una única forma de hacer ésto?